安徽省淮南市第二中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（含解析）

安徽省淮南市第二中学2025-2026学年高二上学期开学考试
数学试题及答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
. . . .
2.在复平面内，为虚数单位，若复数，则（ ）
. . . .
3.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ）
.两人都中靶的概率为0.12 .两人都不中靶的概率为0.42
.恰有一人中靶的概率为0.46 .至少一人中靶的概率为0.74
4.已知函数图象恒过定点，且点在函数 图象上，则的最小值为（ ）
. . . .
5.已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则（ ）
. . . .
6.如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（ ）
. .
. .
7.已知函数有且仅有一个零点，则正数的取值范围为（ ）
. . . .
8.通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，我们有如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论正确的是（ ）
.若，，则
.若，，则
. .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知事件满足，，则下列说法正确的是（ ）
.若，则 .若互斥，则
.若互斥，则 .若相互独立，则
10.已知为锐角，，，则（ ）
. . . .
11.如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得截面记为，下列命题正确的是（ ）
.直线与直线所成角的正切值为
.当时，截面形状为等腰梯形
.当时，与交于点，则
.当时，直线与平面的夹角正弦值的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在中，角的对边分别为，已知，，，则 .
13.已知命题，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .
14.高一某班有24名男生和40名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为4，若男生分数的方差为94，全班分数的方差为84，则女生分数的方差为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）为了调查某厂工人生产某种商品的能力，随机抽查了40名工人某天生产该产品的数量，得到频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求这40名工人一天生产该产品的数量的众数，80%分位数和平均数.
16.（15分）如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将,,分别沿折起，使三点重合于点.
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求点到平面的距离.
17.（15分）已知向量，，函数.
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）若在区间上的值域为，求实数的取值范围.
18.（17分）已知（且）.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）令，写出的单调区间（只需写出结论）；
（3）在（2）的条件下，文：是否存在实数且，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由.
19.（17分）在锐角中，内角的对边分别为，且.点在上，满足，且.
（1）求角；
（2）求证：；
（3）求面积的取值范围.
答案解析
一、选择题
1.C 解析：，则.
2.C 解析：依题意，.
3.C 解析：设甲中靶为事件A,乙中靶为事件B，，
则两人都中靶的概率为，
两人都不中靶的概率为，
恰有一人中靶的概率为，
至少一人中靶的概率为.
4.C 解析：由得，又，∴定点为，从而，
，
当且仅当时等号成立.
5.A 解析：由题意可得向量在上的投影向量为，∴，
又向量为单位向量，∴.
6.D 解析：连接交于，连接，
∵平面，平面，
平面平面，
∴，∴，
又，为的中点，∴，∴.
7.B 解析：当，解得或，当，解得.
当时，有一个零点，符合题意，故A错误；
当时，有两个零点和，不符合题意，故C错误；
当时，有一个零点，符合题意，故D错误；故B正确.
8.D 解析：对于A，，故A 错误；
对于B，，
∴，故B错误；
对于C，，∴，
，∴，
∵，∴ 不一定相等，故C错误；
对于D，设，则，
∴，
故D正确.
二、选择题
9.BD 解析：对于A，，∴发生，则一定发生，∴，∴，
故A错误；
对于B，若互斥，则，故B正确；
对于C，若互斥，则事件不可能同时发生，∴，故C错误；
对于D，若相互独立，则，
∴，故D正确.
10.ABC 解析：∵为锐角，∴，∴，
∴，∵，∴，∴，
∵，∴，
对于A，，故A正确；
对于B，
，故B正确；
对于C,D，∵，∴ ，∴，
，故C正确，D错误.
11.ABD 解析：对于A，∵，故即直线直线与直线所成的角，∵，故A正确；
对于B，如图，连接，
∵，∴，
∵平面平面，连接即为截面与正方体的一条截线，
连接，计算易得，故截面形状为等腰梯形，故B正确；
对于C，如图，过点作的平行线交直线于点，
连接，交于点，
∵，∴，则，
于是，，则，
∵，∴，则，即，
解得，故C错误；
如图，取中点，连接，交于点，
连接，
易得，，则，
又∵平面，平面，则，
∵，平面，故平面，
则即为直线与平面的夹角，设为，不妨设，则，
在中，，
∵，∴，可得，故D正确.
三、填空题
12. 解析：由正弦定理得，又，，，
∴，其中，则，故C为锐角，∴.
13. 解析：由得，即，记，
由得，即，记，
∵是的充分不必要条件，∴是的真子集，
即或，解得或，∴实数的取值范围是.
14. 解析：设男生分数为，男生分数均值为，
女生分数为，女生分数均值为，
则，总体均值为，
男生分数方差为，则，
全班分数方差为，
由，
∴，解得，
∵，∴，
化简得，
解得，则女生分数的方差为.
四、解答题
15.解：（1）由频率分布直方图的性质，可得，
解得.
（2）由频率分布直方图，可得众数为，
∵前2组的频率和为，
前3组的频率和为，
∴80%分位数在第3组，设80%分位数为，
则，解得，∴80%分位数为73，
这40名工人一天生产该产品的数量的平均数为：
，
∴这40名工人一天生产该产品的数量的平均数为64.
16.解：（1）折叠前，折叠后，
∵，平面，故平面，
∵平面，∴.
（2）由（1）知，平面，∴三棱锥的高，
又∵折叠前为，点分别为的中点，
∴，
∴.
（3）设点到平面的距离为，则有，
又有，解得.
17.解：（1）由题意得：，
∴函数的最小正周期，
由，得，
∴函数的单调递增区间为.
（2）由（1）知，
当时，，
由在区间上的值域为，
得，解得，∴实数的取值范围是.
18.解：（1）为奇函数，证明如下：
由，得或，即的定义域为，关于原点对称
，
∴为奇函数.
（2）由题意知，，由，解得或，
即的定义域为，
又函数在上单调递增，
当时，在上单调递减，
此时的减区间为，无增区间；
当时，在上单调递增，
此时的增区间为，无减区间.
（3）由，，∴，
又，，得，，∴.
∴在上单调递减，则在上的值域为，
得，即，
∴是方程，即在的两个不同的根，
则，解得.
∴存在满足题意的，此时的取值范围为.
19.解：（1）由余弦定理得，∵，
∴，整理得，可得，
∴，又，∴.
（2）∵，∴是边上靠近的三等分点，
由向量三等分线定理得，
两侧同时平方得：，
则，
又，故，
整理可得：，即原命题得证.
（3）由（1）得：，则，
设，∵是锐角三角形，∴，，
由余弦定理得，，
则，，
先解，此时代入，得，
解得，故，
再解，此时带入，得，
解得，故，综上，，
∵，∴，则，又，
故，则，
可得，故，
则，
由三角形面积公式得，
令，则，
由对勾函数性质得在上单调递增，
故在上单调递减，当时，，
当时，，故，
则，故面积的取值范围为.