22.1.1二次函数 教案 人教版数学九年级上册

教学设计
二次函数
二次函数所描述的关系
一、教学目标
1．探索并归纳二次函数的定义．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
3．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．
教学重点：二次函数的概念
教学难点：经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程
二、教学过程
（一）创设问题情境，引入新课
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
（4）大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？
请大家先独立思考，再互相交流后回答
（二）、 想一想
如果你是果园的负责人，你最关心的问题是什么 （在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？）
你能根据表格中的数据作出猜测吗？
安排学生思考，可以是小组合作，也可以是自主学习的形式，然后组织交流。在反映函数什变化过程中，教师用自己的手势向学生说明此函数的增减性，0－10时y随x的增大而增大，10－20时y随x的增大而减小，使学生形成对二次函数图象的初步印象
（三） 做一做
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．（本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，本息和就是本金和利息的和．利息＝本金×利率×期数(时间)．）
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．在这个关系式中，y是x的函数吗？
（四） 归纳总结
从我们刚才推导出的式子y＝－5x2＋100x＋60000和y＝100x2＋200x＋100中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢？
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)．
提问：
1．上述概念中的a为什么不能是0？
2．对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？
4．二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似？通过这个问题，使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可，为以后的教学做好铺垫．
由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解，也同时给出了二次函数的三个特例：y=ax2+bx（a≠0）；y=ax2+c（a≠0）；y=ax2（a≠0），使学生深刻理解：看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0．
例1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y=3(x-1) +1 (2)y=x+1/x
(3)s=3-2t (4) y=1/x -x
(5) v=Л r
例2、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m )与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
注意：(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边自变量的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
(3)二次函数y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)还有以下几种特殊表示形式:
①y=ax --------- (a≠0,b=0,c=0,).
②y=ax +c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
③y=ax +bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
（五） 课堂小结
①.下列函数中,哪些是二次函数？
(1）v=10πr (3) s=3-2t
(5) y=(x+3) -x (6) y=3(x-1) +1;
②.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m )与矩形一边长a(m)之间的关系式是什么？它是什么函数？
③.如果函数y= +kx+1是二次函数,则k的值一定是______
④.如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是______
⑤圆的半径是4cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm .
（1）写出y与x之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, 2cm时,圆的面积增加多少？