2025-2026学年度高中数学必修一1.1-2.3二次函数与一元二次方程不等式（含解析）

2025-2026学年度高中数学必修一
1.1-2.3二次函数与一元二次方程不等式
考试范围：必修第一册第一章、第二章；考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知，，，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．8 D．
2．不等式的解集是，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“一元二次方程”有实数解的
A．充分非必要条件 B．充分必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分必要条件
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若集合A＝{0，4}，B＝{2，a2}，则“a＝2”是“A∩B＝{4}”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（ ）
A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．1或3
8．我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大 小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大 小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ）
A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最大值为
10．已知实数满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．以下结论正确的是（ ）
A．若，则的最大值为
B．的最小值为2
C．若则
D．若a+b＝1，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 .
13．已知实数、满足，，则的取值范围为 ．
14．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．解不等式
16．（1）若正实数满足，求的最小值.
（2）求函数的最小值.
17．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）．
(1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？
(3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值．
18．已知集合．
(1)求的子集；
(2)若，求的取值范围．
19．设集合，．
(1)若，求实数的值；
(2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示；
(3)若，求实数的取值范围．
试卷第2页，共3页
试卷第3页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A A A A A C CD AC
题号 11
答案 AC
1．B
【分析】根据题意可得：，将式子展开利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，，，
则，
当且仅当时，即时取等，
所以的最小值为，
故选：.
2．A
【分析】根据一元二次不等式与其对应的方程之间的联系可得，结合一元二次不等式的解法计算即可求解.
【详解】设是方程的两个根，
由题意知，，解得，
所以不等式可变为，
即，解得.
所以不等式的解集为.
故选：A
3．A
【详解】“一元二次方程”有实数解，则，解得.
所以“”是“一元二次方程”有实数解的充分非必要条件.
故选：A.
4．A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可求解.
【详解】若“”，则有，可推出“”成立，
若“”，则有或，解得或，推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
5．A
【分析】先利用基本不等求出的最小值，然后根据恒成立，可得，再求出a的范围．
【详解】因为正实数x，y满足，
，
当且仅当，即时取等号，
恒成立，所以只需，
，，
的取值范围为，
故选：A.
【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题以及基本不等式求最值，解题时注意“一正、二定、三相等”的应用，本题属于中档题.
6．A
【分析】判断“a＝2”时，A∩B＝{4}是否成立；判断A∩B＝{4}成立时是否有“a＝2”成立；利用充分、必要条件的定义进行判断即可．
【详解】解：当“a＝2”成立时，B＝{2，4}，∴A∩B＝{4}成立
反之，当A∩B＝{4}”成立时，∴4∈B∴a2＝4∴a＝±2即“a＝2“不一定成立
∴“a＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件
故选A．
【点睛】本题考查充分、必要条件的定义、考查利用交集的定义解决集合的交集运算．
7．A
【分析】由必要条件和充分条件得到三个集合的关系，再分表示的数字为1,2,3,4时分别讨论即可；
【详解】由“甲：此数为小于5的正整数”可得表示的数字可能为1,2,3,4，
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
又是的充分不必要条件，所以是的真子集，
又，
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
所以“”表示的数字是1或2，
故选：A.
8．C
【分析】根据题意设买大竹子，每根单价为，可得，由，解不等式组即可求解.
【详解】依题意可设买大竹子，每根单价为，
购买小竹子，每根单价为，
所以，
即，即，
因为，
所以，
根据选项，，
所以买大竹子根，每根元.
故选：C
【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.
9．CD
【分析】由基本不等式逐项判断即可.
【详解】因为，
当且仅当时，等号成立，所以，
的最大值为2，故A错误；
，
当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故B错误.
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为，则C正确；
因为为正实数，，
则，当且仅当时，等号成立，
故的最大值为1，所以的最大值为，则D正确；
故选：CD
10．AC
【分析】根据给定条件，利用不等式性质，结合作差法、特例法比较大小即得.
【详解】对于A，由，得，A正确；
对于B，由，得，所以，B错误；
对于C，由，得，所以，C正确；
对于D，当时，，D错误.
故选：AC
11．AC
【分析】对式子进行变形，运用基本不等式，结合乘1法进行计算判断各选项即可.
【详解】对于选项A，已知，又因为，所以，即，当且仅当时等号成立.
将代入可得.
因为，所以，则.
对不等式两边同时开平方，可得，所以的最大值为，故选项A正确.
对于选项B， .
但是等号成立的条件是，即.
而因为，所以，那么，等号不成立，所以，故选项B错误.
对于选项C，已知，则（因为），所以.
在不等式两边同时加上，可得.
不等式两边同时除以，得到.
因为，且，，开平方，可得，故选项C正确.
对于选项D， .
根据基本不等式则，所以，当且仅当，即时等号成立.
由于；则，故选项D错误.
故选：AC.
12．
【分析】分析可知命题“”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解.
【详解】由题意可知，题“”为真命题，
当时，由可得，不符合题意，
当时，根据题意知不等式恒成立则，
解之可得.
故答案为：
13．
【分析】设，利用待定系数法求出的值，然后根据不等式的性质即可求解.
【详解】解：设，则，解得，
所以，
因为，，
所以，，
所以，
故答案为：.
14．
【分析】由公式得到面积表达式，后由基本不等式可得答案.
【详解】由题， ，则.
由基本不等式，.
当且仅当，即时取等号.
故答案为：.
15．答案见解析
【分析】将原不等式分三种情况进行讨论.易解不等式；当时，按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可.
【详解】解：将原不等式化为，
（1）当时，有；
（2）当时，有，解得；
（3）当时，有，
若时，即，解得或，
若时，即，解得，
若时，即，解得或，
综上，时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为且；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为.
【点睛】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法问题，解题时需要分类讨论，是易错题.
16．（1）18 （2）
【解析】（1）将看成整体，对直接利用基本不等式求得答案；
（2）设，将函数转化为，再利用基本不等式求得最小值.
【详解】（1），当且仅当等号成立
令，可得.又，解得，故的最小值为18.
（2）设，则，
.
当且仅当，即，且此时时，取等号，.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.
17．(1)长为，宽为
(2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为．
(3)．
【分析】（1）先由题意得，，，每间虎笼面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时的值.
（2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时的值.
（3）法一：利用基本不等式“1”的代换可求得的最小值.
法二：利用基本不等式求得，进而可得的最小值.
【详解】（1）由题得，即，，，
设每间虎笼的面积为，则，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为．
（2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时，
可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为．
（3）依题意，得．
方法一： ，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
方法二：，则，，
当且仅当时等号成立．
故，当且仅当时等号成立．
所以的最小值为．
18．(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合，再根据交集的定义即可求出答案.
（2）根据题干分两种情况分类讨论并列式计算.
【详解】（1）由题意得，则，的子集为．
（2）当时，，得；
当时，，得或．
故的取值范围为．
19．(1)或
(2)，
(3)
【分析】（1）由已知，代入后解方程并检验是否满足题意；
（2）根据根与系数关系和完全差的平方公式化简求值即可；
（3）由条件可得，结合集合确定集合，再根据集合情况分类求解即可．
【详解】（1）由题意得，因为，所以，，
所以即，
化简得，即，解得或，
检验：当时，，满足，
当时，，满足，
所以或．
（2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根，
所以且，，
所以，．
（3）因为，所以，又，
所以或或或，
当时，，解得，符合题意；
当时，则，无解；
当时，则，所以；
当时，则，无解，
综上，的范围为．
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