2025-2026学年度高中数学第一次月考模拟卷(范围：第一章集合与简易逻辑+第二章不等式)（含解析）

2025-2026学年度高中数学第一次月考模拟卷
考试范围：必修第一册第一章、第二章；考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．命题“”的否定是（　　）
A． B．
C． D．
3．若正实数x，y，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
5．关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知实数，，且，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别，则（ ）
A．365 B．256 C．484 D．516
二、多选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
9．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．集合，且，实数a的值为 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
11．已知，为正实数，且，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，，则的取值范围是 .
13．已知实数，则函数的最小值为 .
14．若对，使得成立，则实数a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．已知集合.
(1)若是空集，求的取值范围；
(2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来;
(3)若中至多只有一个元素，求的取值范围;
16．已知
(1)求ab的最大值；
(2)求的最小值．
17．已知集合，集合（）.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
18．函数
(1)当恒成立时，求实数的取值范围；
(2)当时方程有两个实数根，且，求实数的取值范围
(3)若恒成立，求实数的取值范围
19．已知集合，1，2，，，集合，记的元素个数为．若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”．
(1)若，分别判断集合，2，3，，，1，2，是否为“理想集”，并说明理由；
(2)若，写出所有的“理想集”的个数并列举；
(3)若，证明：集合T必为“理想集”．
试卷第2页，共3页
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《2025-2026学年度高中数学第一次月考模拟卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D D B D B C BCD ABC
题号 11
答案 ACD
1．A
【分析】解一元二次不等式可求出集合，再利用交集的定义即可得解.
【详解】集合，
，
.
故选：A．
【点睛】本题考查了集合交集的求解及一元二次不等式的求解，考查了运算求解能力，属于基础题．
2．D
【分析】根据存在量词命题的否定概念即可.
【详解】命题“”的否定为．
故选：D．
3．D
【分析】借助“1”的代换，利用基本不等式求最值可得.
【详解】若正实数x，y，且，
则
，
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为.
故选：D.
4．D
【分析】由图示分析阴影部分与集合A,B的关系，再根据集合的运算可得结果.
【详解】由图可知，阴影部分包含于集合，与集合的交集为空集，
所以阴影部分表示的集合是集合与集合的交集.
因为全集，集合，所以或.
因为集合，所以.
故选：D.
5．B
【分析】将不等式化为，讨论和两种情况，求出不等式的解集，从而求得的取值范围．
【详解】原不等式可化为，
若，则不等式的解集是，不等式的解集中不可能有个正整数；
所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中个正整数分别是，，，，
令，解得,所以的取值范围是．
故选：B．
6．D
【分析】利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可.
【详解】，，且a，b为正数，
当且仅当，即时，
若不等式对任意实数x恒成立，
则对任意实数x恒成立，
即对任意实数x恒成立，
，
，
故选：D
7．B
【分析】根据取整函数的定义，结合特列法以及充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】如果，那么和的整数部分是相同的，所以，
即“”是“”的必要条件，
如果，那么和的整数部分不一定相同，
例如，所以“”不是“”的充分条件.
综上，“”是“的必要不充分条件.
故选：B.
8．C
【分析】根据题意分析，结合容斥原理求解即可.
【详解】设敲钟持续的时间为秒，
则甲乙丙钟敲响次数分别为，，，
由于甲乙敲响周期的最小公倍数为20，则甲乙同时敲响次数为，
由于甲丙敲响周期的最小公倍数为12，则甲丙同时敲响次数为，
由于乙丙敲响周期的最小公倍数为30，则乙丙同时敲响次数为，
由于甲乙丙敲响周期的最小公倍数为60，则甲乙丙同时敲响次数为，
由容斥原理易知，
解得，则．
故选：C．
9．BCD
【分析】由不等式的性质可判断ABC，作差可判断D.
【详解】对于A：当时，，故错误；
对于B：由可得：，所以，正确；
对于C：因为，故，所以，正确；
对于D：，
因为，所以，
所以，正确，
故选：BCD
10．ABC
【分析】由题设且，讨论是否为空集求对应的参数值即可.
【详解】由题设，又，故，
当时，；
当时，1或2为的解，则或.
综上，或或.
故选：ABC
11．ACD
【分析】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可.
【详解】由得，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
此时取得最小值，对
,
，
当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错
因为，当且仅当时取等号，
解不等式得，故的最大值为，C对
，
当且仅当即时取等号，
此时取得最小值，D正确
故选：ACD.
12．
【分析】根据不等式的性质，可得结果.
【详解】因为，，
所以，，
所以，
即，即.
故答案为：.
13．6
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为6.
故答案为：6.
14．
【分析】构造函数，，由已知可知，代入即可求解.
【详解】令函数，开口向上，对称轴为，在时函数单调递减；
令函数，函数在R上单调递增；
由对，使得成立，即
则需，即
即，解得：
所以实数a的取值范围是
故答案为：
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
15．(1)
(2)时，元素为；时，元素为
(3)或
【分析】（1）由题意得方程无解，利用即可求解.
（2）由题意，对二次项系数分和讨论，时方程为一元一次方程，有且仅有一个根，满足题意，时，利用即可求解.
（3）由题意得，为空集，或有且仅有一个元素，由（1）（2）的结论即可求解.
【详解】（1）若是空集，
则方程无解，
此时，
即.
故的取值范围为.
（2）若中只有一个元素，
则方程有且仅有一个实根，
当时，方程为，解得，
方程有且仅有一个实根，满足题意；
当时，，
解得，
此时，
或，
当时，，即该元素为；
当时，，即该元素为.
（3）若中至多只有一个元素，
则为空集，或有且仅有一个元素，
由（1）（2）的结论可得的取值范围是或.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用基本不等式得到关于的不等式，整体换元解不等式得范围，再分析等号取到条件即可；
（2）将条件等式转化为积为定值的形式，再结合整体元，利用基本不等式求解最值可得.
【详解】（1）由，
可得，当且仅当时等号成立.
令，则，即，
解得，又，则.
则，
当且仅当时等号成立.
故的最大值为.
（2）由，
得，且，
则
.
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）讨论集合与，列不等式组计算即可；
（2）先求出，再由命题是命题的必要不充分条件得到是的真子集，然后讨论集合与，列不等式组计算即可；
【详解】（1）
若，则，即，满足，
若，则，
综上所述,的取值范围为.
（2）或，
因为命题是命题的必要不充分条件，所以是的真子集，
若，则，即，满足题意，
若，则，
或，
综上所述,的取值范围为或.
18．(1)；
(2)或；
(3).
【分析】（1）讨论，根据一元二次不等式恒成立及判别式列不等式求参数范围；
（2）由一元二次不等式根的个数得或，再应用韦达定理及已知条件求参数范围；
（3）根据不等式恒成立，将主元看作并结合一元一次不等式性质列不等式组求参数范围.
【详解】（1）当时，恒成立；
当时，恒成立，则，解得；
当时，显然不恒成立.
综上，的取值范围是.
（2）由有两个实数根，所以，且，解得或，所以，
因为，即，则，解得或，
综上，或.
（3）若恒成立，
对恒成立，
则，即为.
19．(1)T1不是“理想集”， T2是“理想集”，理由见解析
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，分别取集合中的三个数，利用列举法，可得答案；
（2）利用分类讨论的思想，根据集合的元素个数，结合元素的大小关系，可得答案；
（3）利用反证法，任意取三个元素，假设不等式成立，结合元素之间的大小关系，可得答案．
【详解】（1）不是“理想集”， 是“理想集”．
由题意，令，，，则；
令，，，则；
令，，，则；
令，，，则；所以不是“理想集”．
令，，，则，所以是“理想集”．
（2）共16个“理想集”．
若，有，1，2，3，4，．
当时，若，则，由可知，
故，，或；
若，则，由可知，则，故，，．
故含有三个元素的“理想集” ，1，，，1，或，2，，共3个．
当时，，1，2，，，1，3，，，1，2，，，1，3，，，1，4，，，2，3，或，2，4，，共7个．
当时，，1，2，3，，，1，2，3，，，1，2，4，，，1，3，4，，，2，3，4，，共5个．
当时，，1，2，3，4，，共1个．
综上所述，所有“理想集” 的个数为16个分别为：，1，，，1，，，2，，，1，2，，，1，3，，，1，2，，，1，3，，，1，4，，，2，3，，，2，4，，，1，2，3，，，1，2，3，，，1，2，4，，，1，3，4，，，2，3，4，，，1，2，3，4，．
（3）证明：若，记，，，且．
利用反证法，假设对于中任意三个元素，，，均有，
则，，2，，．
记，于是，则，
因此，矛盾．
故集合必为“理想集”．
答案第10页，共10页
答案第1页，共11页