云南省昭通市第一中学等三校2025届高三高考备考实用性联考卷(一)数学试题(含解析)

云南省昭通市第一中学等三校2025届高三高考备考实用性联考卷(一)数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合若，则实数a的值为
A. B. C. 1 D. 2
2.“”是“”的
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知角的终边经过点，则
A. B. C. D.
4.在中，已知，，，则
A. 36 B. 18 C. D.
5.，，下列不等式恒成立的是
A. B. C. D.
6.已知双曲线的右焦点为F，过点F作互相垂直的直线，，与C的右支交于M，N两点，，若与C的左支交于P点，且P，O，M三点共线是坐标原点，则C的离心率为
A. B. C. D.
7.已知球O的半径为3，正方体所有顶点均在球面上，点M是棱AB的中点，过点M作球O的截面，则所得截面面积的最小值为
A. B. C. D.
8.已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.关于的展开式，下列说法中正确的是
A. 有理项共有4项 B. 第一项与第三项的二项式系数相等
C. 常数项为60 D. 展开式的二项式系数之和为1
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，且，P为C上位于第一象限内的点，且，的内角平分线交x轴于点M，则下列结论正确的是
A. 椭圆C的离心率 B.
C. 的内切圆半径为 D.
11.已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为偶函数，则
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数z满足，则 .
13.设函数，若在上有且只有一个极值点，且，则 .
14.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．如图，在横坐标为的点处作图象的切线，该切线与x轴的交点的横坐标为；在横坐标为的点处作图象的切线，该切线与x轴的交点的横坐标为；一直继续下去，得到，它们越来越逼近的零点在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点用“牛顿法”求方程的近似解r，可以构造函数，若，则用牛顿法得到的r近似值约为 结果保留两位小数
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知数列是等差数列，且，数列的前n项和为，且，
求和的通项公式；
求数列的前n项和
16.本小题15分
甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值单位：分作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图．且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”．
求这组数据的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值为代表；
以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量X表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望；
现在市场上这种塑胶配件由甲、乙、丙三个汽车配件厂供应，由长期的经验知，乙、丙两家的“优秀品”率分别为，，三家产品数在市场中所占比例为，将三家产品混合在一起，从中抽取一件，在已知取到的为优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率是多少？
17.本小题15分
如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，平面ABCD，，，，点F是PD上靠近P的三等分点．

求证：平面ACF；
求二面角的正弦值．
18.本小题17分
过抛物线上的点的直线，分别交抛物线T于点B，设直线，的斜率分别为，，，当且点B，C关于x轴对称时，的面积为
求抛物线T的方程；
当时，证明：直线BC过定点．
19.本小题17分
已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
证明：；
求的取值范围；
已知函数，求证：
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合，集合由，可知集合B必须包含元素2，即
故选
2.【答案】A
【解析】解：若，则，即，得不出，如，
所以“”不是“”的充分条件；
若，则，可得，即，
所以“”是“”的必要条件；
所以“”是“”的必要而不充分条件，
故选：
3.【答案】B
【解析】解：因为角的终边经过点，则，
所以
故选：
4.【答案】D
【解析】解：在中，已知，，，
由余弦定理得
故选：
5.【答案】B
【解析】解：对于A，若，则，，故A错误；
对于B，因为，故，故B正确；
对于C、D，若，则，，故C、D错误，
故选：
6.【答案】D
【解析】解：如图所示：设点E为双曲线的左焦点，不妨设，则，
由双曲线的定义可得，，易知O为EF的中点，
由双曲线的对称性，知O为PM的中点，故四边形PEMF为平行四边形．
因为，故四边形PEMF为矩形，则
由勾股定理得，即，解得，
故，又，
由勾股定理可得，即，整理可得，
故该双曲线的离心率为
故选：
7.【答案】C
【解析】解：设正方体棱长为a，则正方体体对角线长就是球的直径2R，
球心O是正方体体对角线中点，
由正方体体对角线公式，解得
因为点M是棱AB的中点，当OM与截面垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆面积最小．
因为，，
由勾股定理得，解得，
设截面圆半径为r，则，
所以截面面积，
故选：
8.【答案】B
【解析】解：当时，，令，得：，
解得：或，因此可知：；
又当时，，当时，，所以在时，取最小值：
当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线，
因为是中唯一的最小项，所以，且，
解得，且，
即
故选：
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，展开式的通项为，
当时，，所以展开式的有理项共有4项，故A正确；
对于B，第一项二项式系数为，第三项的二项式系数，
第一项与第三项的二项式系数不相等，故B错误；
对于C，令，，展开式中的常数项为，故C正确；
对于D，展开式的二项式系数之和为，故D错误.
故选：
10.【答案】AC
【解析】解：对于A：如图，设椭圆的焦距为2c，

由椭圆的对称性可知，
则，，
所以，故A正确；
对于B：因为，，，
所以
，
即，故B错误；
对于C：因为，，
则，
所以，
又的周长，设内切圆半径为r，
则，故C正确；
对于D：由，，
解得，，
由角平分线定理得，故D错误.
故选：
11.【答案】BCD
【解析】解：对于，因为为偶函数，
所以，
即①，
所以，所以关于对称，
则，故C正确；
对于，因为为偶函数，所以，，
所以关于对称，
由①求导，及，
得，
所以，所以关于对称，
因为其定义域为R，所以，结合关于对称，
从而周期，
所以，，故B正确，D正确；
若函数满足题设条件，
则函数为常数也满足题设条件，
所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：
12.【答案】
【解析】解：，
所以
故答案为：
13.【答案】
【解析】解：，且在上有且只有一个极值点，得，
所以，解得
故答案为：
14.【答案】
【解析】解：由，得，
，，
所以在处的切线方程为：，
令，得，
可得，，
所以在处的切线方程为：，
令，得
故答案为：
15.【答案】解：由数列的前n项和为，
可知，
，
经检验当时，也满足上式，所以，
在等差数列中，
因为，，
所以，解得，
所以；
由知，，
所以，
则，
两式相减，得
化简得：

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：由题知，，解得，
设为样本数据的平均数，
则，
故这组样本数据的平均数为；
设p表示在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率，
由题知，
随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
的分布列为
X
0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望；
设事件A表示“取到的产品为优秀品”，
，，分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，
由已知得，，，
，，，
由全概率公式得：，
由贝叶斯公式得

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：证明：如图，连接BD交AC于E点，连接EF，

因为，所以，
所以，
又因为，所以，
因为平面ACF，平面ACF，
所以平面ACF；
因为，，所以，
又因为平面ABCD，所以，，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，，，
所以，，
设平面ACF的法向量为，
则，
取，得，
所以平面ACF的一个法向量为，
，，
设平面CDF的法向量为，
则，
取，得，
所以平面CDF的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
所以，
所以二面角的正弦值为

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：已知当时，，B，C关于x轴对称且，
设，
因为，不妨设，
由斜率公式，即，
解得，所以，，
面积，解得，
抛物线T方程为；
证明：

设，，，
则，，
因为，则，
所以，
则，，
所以直线BC的方程为，
整理得，
把代入直线BC方程，得，
所以直线BC过定点

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：由正弦定理得，
又因为，
所以，
即，
因为，所以或舍去，
所以；
因为，所以，
所以，
令，则，令，，
则，
由，得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以的最小值为，
又因为，
所以
所以的取值范围为；
证明：，
记，则，
易知在上单调递减，且，，
，，即，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
因为，，
所以时，，在上单调递增，
所以，
又因为，所以，
由知，所以，所以

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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