10.1平方根和立方根
【知识点1】计算器—数的开方 1
【知识点2】平方根 2
【知识点3】非负数的性质：算术平方根 3
【知识点4】立方根 4
【知识点5】算术平方根 5
【题型1】平方根的性质 6
【题型2】算术平方根的非负性 8
【题型3】平方根的定义 10
【题型4】算术平方根的应用 11
【题型5】立方根的实际应用 13
【题型6】立方根的定义与性质 14
【题型7】利用平方根求未知数的值 15
【题型8】利用计算器开立方 16
【题型9】利用立方根求未知数的值 18
【题型10】算术平方根有意义的条件 20
【题型11】利用计算器开平方 21
【题型12】立方根与平方根的综合 24
【题型13】算术平方根的定义 26
【知识点1】计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
1.（2024秋 龙口市期末）用如图所示的计算器求的值，以下按键顺序不能求出正确结果的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据计算器的运算方法和开方注意判定各项即可．
【解答】A选项先按，再输入2，再输入，最后按=，可以求出结果．
B选项先按，再输入2，再按÷，最后按7和=，计算的是，不能求出结果．
C选项先按，再按（，再输入2，再输入，最后按）和=，可以求出结果．
D选项先按√，再按（，再输入2，再按÷，最后按7和）和=，可以求出结果．
故选：B．
【知识点2】平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
1.（2025春 临湘市期末）“的平方根是”，用式子表示就是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依据平方根的定义和性质解答即可．
【解答】解：±=±．
故选：B．
2.（2025 陇南模拟）64的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±8 D．8
【答案】C
【分析】±8的平方都等于64，可得64的平方根是±8．
【解答】解：∵±8的平方都等于64；
∴64的平方根是±8．
故选：C．
【知识点3】非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
1.（2024春 武城县校级期中）若m,n满足+|n-1|=0，则（m+n）2的平方根为（ ）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
【答案】B
【分析】根据非负数的性质求出m、n的值，然后根据平方根的定义计算即可．
【解答】解：∵+|n-1|=0，
又∵，|n-1|≥0，
∴m-3=0，n-1=0，
∴m=3，n=1，
∴（m+n）2=（3+1）2=16，
∵16的平方根是±4，
∴（m+n）2的平方根为±4，
故选：B．
2.（2025春 河北区期中）已知非零实数a,b满足，则a+b等于（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件得到a≥3，根据非负数的性质分别求出a、b,根据有理数的加法法则计算，得到答案．
【解答】解：由题意得，a-3≥0，
解得，a≥3，
则a-2+|b+1|+=a-2，
整理得，|b+1|+=0，
则b+1=0，a-3=0，
解得，b=-1，a=3，
则a+b=2，
故选：D．
【知识点4】立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
1.（2025春 前郭县期末）64的立方根是（ ）
A．4 B．2 C．8 D．-4
【答案】A
【分析】如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根．依据立方根的定义进行判断即可．
【解答】解：∵43=64，
∴64的立方根是4，即=4，
故选：A．
2.（2025春 兴和县校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．立方根等于本身的数只有1
B．负数没有平方根，但有立方根
C．25的平方根为5
D．的立方根为3
【答案】B
【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义分别计算判断即可．
【解答】解：A、立方根等于本身的数有±1和0，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、负数没有平方根，但有立方根，正确，故此选项符合题意；
C、25的平方根为±5，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、27的立方根为3，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【知识点5】算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
1.（2025春 三河市校级月考）下列说法错误的有（ ）
①的平方根是±4；②是2的算术平方根；③；④．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】根据算术平方根、平方根的定义分别计算判断即可．
【解答】解：①=4，4的平方根是±2，原计算错误；
②是2的算术平方根，正确；
③，原计算错误；
④=|a|，原计算错误．
故选：C．
2.（2025春 婺源县期中）一个数的算术平方根是m,则比这个数大2025的数的算术平方根是（ ）
A．m2+2025 B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据算术平方根的定义得出这个数为m2，继而可得答案．
【解答】解：∵一个数的算术平方根是m,
∴这个数为m2，
∴比这个数大2025的数的算术平方根是，
故选：D．
【题型1】平方根的性质
【典型例题】若2m-4与3m-1是同一个数两个不同的平方根，则m的值（ ）
A.-3 B.1 C.-3或1 D.-1
【答案】B
【解析】∵2m-4与3m-1是同一个数两个不同的平方根，
∴（2m-4）+（3m-1）=0，
解得：m=1．
故选：B．
【举一反三1】已知3x-8与-x+4是一个正数的平方根，则x等于（ ）
A.3 B.2 C.1或9 D.2或3
【答案】D
【解析】由题意得：当两数互为相反数时，3x-8-x+4=0，
解得：x=2，
当两数相等时，3x-8=-x+4，
解得：x=3，
故选D．
【举一反三2】已知一个正数的平方根是3x+2和5x+14，则这个数是____________．
【答案】16．
【解析】根据题意得：3x+2+5x+14=0，
解得：x=-2，
所以3x+2=-4，5x+14=4，
则这个数是16．
故答案为：16．
【举一反三3】设一个正数的两个平方根是a-1和a+3，则这个正数为____________．
【答案】4．
【解析】∵一个正数的两个平方根是a-1和a+3，
∴a-1+a+3=0，
解得：a=-1，
∴a-1=-2，a+3=2，
∵（-2）2=4，22=4，
∴这个正数为4．
故答案为：4．
【举一反三4】已知a-1和5-2a都是非负数m的平方根，求m的值．
佳佳的解题过程如下：
解：∵a-1和5-2a都是非负数m的平方根，
∴a-1+5-2a=0，
解得a=4，
∴a-1=3，
∴m的值为9．
请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由．
【答案】解：佳佳的解题过程不正确，理由如下：
∵a-1和5-2a是非负数m的平方根，
∴当a-1+5-2a=0时，
解得：a=4，
∴a-1=3，
∴m的值为：9，
当a-1=5-2a,
解得：a=2，
故m的值为：1，
综上所述：m的值为：1或9．
【举一反三5】一个数的平方根a,b满足3a-2b=5，求这个数．
【答案】解：根据题意得：，
解得：a=1，b=-1，
则这个数为1．
【题型2】算术平方根的非负性
【典型例题】若=3.5-x,则x的值不能是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】A
【解析】若=3.5-x,
则3.5-x≥0，
解得x≤3.5，
∴x的值不能是4，
故选：A．
【举一反三1】已知，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选：．
【举一反三2】如果，那么 ．
【答案】3
【解析】由题意得：，，，
得，，，
则，
故答案为：3．
【举一反三3】已知，，是的三边长，满足，为奇数，求的值及的周长．
【答案】解：，满足，
，，
解得，，
，，
，
又是奇数，
，
的周长为．
【举一反三4】已知实数a、b满足，c为最大的负整数．
(1)求a、b、c的值：
(2)求的平方根．
【答案】解：（1）由题意得，，
又∵，
∴，
解得：，，
∵c为最大的负整数，
∴．
（2）将，，代入得，
，
所以的平方根为．
【题型3】平方根的定义
【典型例题】9的平方根是（ ）
A.3 B.-3 C.±3 D.±
【答案】C
【解析】∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3，即±=±3．
故选C．
【举一反三1】已知a的平方根是±3，则a的值是（ ）
A.±3 B.3 C.±9 D.9
【答案】D
【解析】∵±=±3，
∴a=9．
故选D．
【举一反三2】已知2x-1的平方根是±6，2x+y-1的平方根是±5，2x-3y+4的平方根是____________．
【答案】±
【解析】∵2x-1的平方根是±6，2x+y-1的平方根是±5，
∴2x-1=36，2x+y-1=25，
∴x=，y=-11，
∴2x-3y+4=74，
∴2x-3y+4的平方根是±，
故答案为±．
【举一反三3】如果一个数的平方根是±a（a≥0），则下一个自然数的平方根为____________．
【答案】±．
【解析】一个数的平方根是±a,
∴这个数是a2．
∴下一个自然数是a2+1．
∴下一个自然数的平方根是±．
故答案为±．
【举一反三4】已知2x-y的平方根为±3，-4是3x+y的平方根，求x-y的平方根．
【答案】解：由题意得：2x-y=9，3x+y=16，
解得：x=5，y=1，
∴x-y=4，
∴x-y的平方根为±=±2．
【题型4】算术平方根的应用
【典型例题】射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝进行计算，其中a为子弹的加速度，l为枪筒的长．如果a＝5×105 m/s2，l＝0.81 m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A.9×102 m/s B.0.9×103 m/s C.8×102 m/s D.0.8×103 m/s
【答案】A
【解析】根据题意可得：
v＝＝＝＝900＝9×102（m/s）．
故选：A．
【举一反三1】甲、乙两个圆，甲圆的面积是12.56 cm2，乙圆的周长是62.8 cm，甲、乙两圆的半径之比是（ ）
A.1：5 B.1：4 C.2：5
【答案】A
【解析】由题意得，
解得：r甲＝2，
2×3.14×r乙＝62.8，
解得：r乙＝10，
所以2：10＝1：5，
故选：A．
【举一反三2】据研究，高空地物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=（不考虑风速的影响）．从40 m高空地物到落地的时间为_________s．（结果保留根号）
【答案】
【解析】当h＝40时，
t，
故答案为：．
【举一反三3】已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为108 cm2，求这个长方形的周长．
【答案】解：设长方形的宽为x cm，则长为3x cm，
由题得：3x x＝108，
∴x2＝36，
∴x＝6，
2×（18+6）＝48（cm），
∴这个长方形的周长为48 cm．
【举一反三4】已知自由下落物体的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系式是h＝4.9t2，现有一物体从78.4 m的高楼自由落下，求它到达地面需要的时间．
【答案】解：由题意可得4.9t2＝78.4，
即t2＝16，
∵t＞0，
∴t＝4，
即它到达地面需要的时间为4 s．
【题型5】立方根的实际应用
【典型例题】一个正方体的体积是5 m3，则这个正方体的棱长是（ ）
A.m B. m C.25 m D.125 m
【答案】B
【解析】设这个正方体的棱长为a m，由题意得，a3＝5，
∴a（m），
故选：B．
【举一反三1】一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（ ）
A.±4 B.4 C.±2 D.2
【答案】D
【解析】棱长4，4的算术平方根为2．
故选：D．
【举一反三2】一个立方体的体积是4，则它的棱长是 _________．
【答案】
【解析】设立方体的棱长为a，
则a3＝4，
∴a，
故答案为：．
【举一反三3】一个边长为a的正方形的面积为，一个棱长为b的立方体的体积为，则_____________．
【答案】
【解析】一个边长为a的正方形的面积为，一个棱长为b的立方体的体积为，
∴a，b，
∴，
故答案为：．
【举一反三4】将一块体积为0.125 cm3的立方体铝块改铸成8个同样大小的立方体小铝块，求每个小立方体铝块的表面积．
【答案】解：设小立方体的棱长是x cm，
则8x3＝0.125，
解得：x，
则每个小立方体铝块的表面积是6×（）2（cm2），
答：每个小立方体铝块的表面积是cm2．
【题型6】立方根的定义与性质
【典型例题】﹣a2的立方根的值一定为（ ）
A.非正数 B.负数 C.正数 D.非负数
【答案】A
【解析】﹣a2的立方根的值一定为非正数，
故选：A．
【举一反三1】若a，则a的值不可能是（ ）
A.﹣1 B.0 C.1 D.3
【答案】D
【解析】因为a，
所以a＝0，﹣1，1，
即a的值不可能是3．
故选：D．
【举一反三2】27的立方根是 ．
【答案】3
【解析】27的立方根是3，
故答案为：3．
【举一反三3】求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】解：（1）∵（-1）3=-1，
∴-1的立方根是-1，
即；
（2）∵（0.3）3=0.027，
∴0.027的立方根是0.3，
即．
【题型7】利用平方根求未知数的值
【典型例题】若x2-9=0，则x的值为（ ）
A.3 B.-3 C.±3 D.81
【答案】C
【解析】x2-9=0，
x2=9，
x=±3，
故选：C．
【举一反三1】若x2=4，则x的值为（ ）
A.16 B.2 C.-2 D.2或-2
【答案】D
【解析】∵（±2）2=4，
∴x=2或-2，
故选：D．
【举一反三2】若（x-3）2=121，则x的值为____________．
【答案】14或-8．
【解析】∵（x-3）2=121，
∴x-3=±11．
∴x=14或x=-8．
故答案为：14或-8．
【举一反三3】若x2=121，则x=____________．
【答案】±11．
【解析】∵（±11）2=121，
∴x=±11，
故答案为：±11．
【举一反三4】求下列各式中的x：
（1）4x2=1；
（2）（x-1）2-27=0．
【答案】解：（1）4x2=1，
x2=，
x=±=±，
故x=或x=-；
（2）（x-1）2-27=0，
（x-1）2=27，
x-1=±=±3，
x=1±3，
故x=1+3或x=1-3．
【题型8】利用计算器开立方
【典型例题】用计算器计算约为（ ）
A.3.049 B.3.050 C.3.051 D.3.052
【答案】B
【解析】3.050，
所以用计算器计算约为3.050．
故选：B．
【举一反三1】用我们数学课本上采用的科学计算器计算下列式子，其按键顺序正确的是（ ）
A.求按键：
B.求按键：
C.求1按键：
D.求π按键：
【答案】C
【解析】求的按键顺序是：2ndF，，1，．，2，＝，
故选项A不正确，不符合题意；
求的按键顺序是：，（，2，÷，3，），＝，
故选项B不正确，不符合题意；
求1的按键顺序是：，3，+，1，＝，
故选项C正确，符合题意；
求π的按键顺序是：2ndF，，（﹣），2，2ndF，﹣，π，＝．
故选项D不正确，不符合题意．
故选：C．
【举一反三2】用计算器求的按键顺序为 _________．
【答案】﹣，2，，＝
【解析】按键顺序依次为﹣，2，，＝．
故答案为：﹣1；2；；＝．
【举一反三3】用计算器求得0.6993，1.5066，3.2460，则_________，_________，_________．
【答案】0.06993；﹣324.60；0.15066
【解析】∵0.6993，1.5066，3.2460，
∴0.06993，324.60，0.15066，
故答案为：0.06993；﹣324.60；0.15066．
【举一反三4】利用计算器计算：
_________，
_________，
_________，
_________，
_________，
（1）根据上述结果，你能发现什么规律？
（2）根据你发现的规律，直接填空：
若a，则_________，_________，_________，_________．
【答案】解：（1）11；
1.1；
0.11；
110；
1100．
故填：11，1.1，0.11，110，1100．
观察可得：开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左每移动3位，它的立方根的小数点向右或向左移动1位．
（2）a，
则0.1a，
10a，
100a，
0.01a．
故填：0.1a，10a，100a，0.01a．
【题型9】利用立方根求未知数的值
【典型例题】已知a是最大的负整数，b是8的立方根，则代数式b-a的值为（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【答案】D
【解析】∵a是最大的负整数，b是8的立方根，
∴a=-1，b=2，
∴b-a=2-（-1）=2+1=3，
故选：D．
【举一反三1】若a3＝1，则a的值为（ ）
A.﹣1 B.1 C.±1 D.0
【答案】B
【解析】∵a3＝1，
∴a＝1．
故选：B．
【举一反三2】若（5x﹣3）3，则x的值为（ ）
A.4 B.1 C.±1 D.﹣4
【答案】B
【解析】∵（5x﹣3）3，
∴5x﹣3＝2，
解得：x＝1．
故选：B．
【举一反三3】若，则x＝____________．
【答案】．
【解析】∵x3，
∴．
故答案为：．
【举一反三4】解方程：（2x﹣1）3＝﹣8．
【答案】解：（2x﹣1）3＝﹣8，
2x﹣1＝﹣2，
x．
【举一反三5】解方程：．
【答案】解：，
（2x+3）3＝64，
2x+3＝4，
2x＝1，
．
【题型10】算术平方根有意义的条件
【典型例题】已知y=+x-2，则的值为（ ）
A.5 B.3 C.﹣3 D.﹣5
【答案】B
【解析】根据题意得：，
解得：x＝1．
则y＝﹣1．
则＝＝3．
故选：B．
【举一反三1】已知=3，则的值为（ ）
A. B. C.12 D.18
【答案】B
【解析】由题意得：，
解得x＝3，
把x＝3代入=3，可得y＝3，
所以=＝．
故选：B．
【举一反三2】要使-有意义，a的值为 ．
【答案】3．
【解析】由题意得：a﹣3≥0，3﹣a≥0，
解得：a＝3，
故答案为：3．
【举一反三3】若x，y满足，
(1)求x，y的值；
(2)求的值．
【答案】解：（1）∵，
∴，
∴，
解得：，则.
（2）∵，，
∴.
【举一反三4】若，满足，求的平方根．
【答案】解：由算术平方根的被开方数的非负性得：，
解得，
将代入得：，
则，
∵49的平方根是，
∴的平方根是．
【题型11】利用计算器开平方
【典型例题】利用教材中的计算器依次按键如下：
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）
A.2.5 B.2.6 C.2.8 D.2.9
【答案】B
【解析】∵2.646，
∴与最接近的是2.6，
故选：B．
【举一反三1】在计算器上按键显示的结果是（ ）
A.﹣3 B.3 C.17 D.33
【答案】A
【解析】在计算器上按键，
是在计算8，结果为﹣3．
故选：A．
【举一反三2】用计算器求35值时，需相继按“3”，“yx”，“5”，“＝”键，若小颖相继按“”，“4”，“yx”“3”，“＝”键，则输出结果是（ ）
A.6 B.8 C.16 D.48
【答案】B
【解析】计算器按键转为算式23＝8，
故选：B．
【举一反三3】若用初中数学课本上使用的科学计算器进行计算，则以下按键的结果为 _________．
【答案】-5
【解析】计算器按键转为算式＝4﹣9＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【举一反三4】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表：
（1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向 _________移动 _________位；
（2）运用你发现的规律，探究下列问题：
①若1.910，6.042，则_________；
②已知x2≈0.000365，则x≈_________．
【答案】（1）向左或向右；1
（2）①604.2
②±0.0190
【解析】（1）由表格可以看出被开方数的小数点向左或向右移动2位，算术平方根的小数点就向左或向右移动1位，
故答案为：向左或向右；1.
（2）①由（1）可知，被开方数的小数点向右移动4位，算术平方根的小数点就向右移动2位，
∵6.042，
∴604.2；
②由（1）可知，被开方数的小数点向左移动4位，算术平方根的小数点就向左移动2位，
∵1.910，x2≈0.000365，
又∵一个正数的平方根有两个，
∴x＝±±0.0190．
故答案为：①604.2；②±0.0190．
【举一反三5】利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
（1）分析发现：被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大 _________倍；
（2）若一块长方形纸片的面积是400 cm2，长与宽之比为2：1，求这块长方形纸片的长与宽（精确到0.1，1.414，1.732）．
【答案】解：（1）被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍；
故答案为：10．
（2）设这块长方形的纸片的宽为x cm，则长为2x cm，
∴2x x＝400，
即x2＝200，
∴，
∵1.414，
∴，14.1×2＝28.2 cm，
答：这块长方形纸片的长为28.2 cm，宽为14.1 cm．
【举一反三6】用计算器计算：
（1）__________；
（2）__________；
（3）__________；
（4）__________.
观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果：
__________.
【答案】解：（1）10；
（2）100；
（3）1000；
（4）10000.
所以10n．
【题型12】立方根与平方根的综合
【典型例题】甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：甲：当a＞0时，；乙：a＜0时，；丙：当a＞0时，，则下列说法正确的是（ ）
A.只有甲、乙正确 B.只有甲、丙正确 C.甲、乙、丙都正确 D.甲、乙、丙都不正确
【答案】B
【解析】∵当a＞0时，，
∴甲的说法正确；
∵a＜0时，（﹣a）＝a，
∴乙的说法不正确；
∵当a＞0时，，
∴丙的说法正确．
故选：B．
【举一反三1】下列说法中正确的是（ ）
A.4的平方根是2 B.平方根是它本身的数只有0 C.﹣8没有立方根 D.立方根是它本身的数只有0和1
【答案】B
【解析】A.4的平方根是±2，因此选项A不符合题意；
B．平方根是它本身的数只有0，因此选项B符合题意；
C．﹣8的立方根是﹣2，因此选项C不符合题意；
D．立方根是它本身的数只有0、1或﹣1，因此选项D不符合题意．
故选：B．
【举一反三2】若一个正数x的平方根是和，则的值为 ．
【答案】﹣2．
【解析】∵一个正数x的平方根是和，
∴，
∴17﹣a+3a﹣1＝0，
∴a＝﹣8，
∴，
故答案为：﹣2．
【举一反三3】已知一个数的两个平方根分别是2a+4和a+14，则这个数的立方根 ．
【答案】4
【解析】∵一个数的两个平方根分别是2a+4和a+14，
∴2a+4+a+14＝0．
解得：a＝﹣6．
∴a+14＝﹣6+14＝8．
∴这个正数为64．
64的立方根是4．
故答案为：4．
【举一反三4】如果一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9，n是﹣1的立方根．
（1）求m和n的值．
（2）求m﹣11n的算术平方根．
【答案】解：（1）∵一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9，
∴2a﹣3+a﹣9＝0，
∴a＝4，
∴a﹣9＝4﹣9＝﹣5，
∴m＝（﹣5）2＝25，
∵n3＝﹣1，
∴n＝﹣1；
（2）m﹣11n＝25﹣11×（﹣1）＝36，
∴m﹣11n的算术平方根是6．
【举一反三5】已知2m﹣1的算术平方根是3，3m+n+4的立方根是2．
（1）求m，n的值；
（2）求m﹣n的平方根．
【答案】解：（1）∵2m﹣1的算术平方根是3，
∴2m﹣1＝9，
解得：m＝5；
又∵3m+n+4的立方根是2，
∴3m+n+4＝8，
即15+n+4＝8，
解得：n＝﹣11，
∴m＝5，n＝﹣11；
（2）由（1）m＝5，n＝﹣11，
∴m﹣n＝5﹣（﹣11）＝16，
∴m﹣n的平方根是±4．
【题型13】算术平方根的定义
【典型例题】若一个正数的两个平方根分别是m+6和2m-15，则的算术平方根是（ ）
A.4 B.±4 C.2 D.±2
【答案】C
【解析】∵一个正数的两个平方根分别是m+6和2m-15，
∴m+6+2m-15=0，则m=3，
∴＝＝4，
∴的算术平方根是2，
故选：C．
【举一反三1】下列选项中是4的算术平方根是（ ）
A.±4 B.±2 C.4 D.2
【答案】D
【解析】4的算术平方根是2，
故选：D．
【举一反三2】81的算术平方根为（ ）
A.±3 B.3 C.±9 D.9
【答案】D
【解析】∵92=81，
∴81的算术平方根为=9．
故选：D．
【举一反三3】的算术平方根是____________．
【答案】3
【解析】∵=9，
∴的算术平方根是3．
故答案为：3．
【举一反三4】已知是二元一次方程组的解，则2m-n的算术平方根为____________．
【答案】2
【解析】将代入二元一次方程组，
得，
解得：，
∴2m-n=4，而4的算术平方根为2．
故2m-n的算术平方根为2．
故答案为：2．
【举一反三5】已知2a+b的平方根是±3，5a+2b的算术平方根是4，求3a+b的值．
【答案】解：∵2a+b的平方根是±3，5a+2b的算术平方根是4，
∴2a+b=9①，5a+2b=16②，
②-①得：3a+b=16-9=7．10.1平方根和立方根
【知识点1】计算器—数的开方 1
【知识点2】平方根 2
【知识点3】非负数的性质：算术平方根 2
【知识点4】立方根 3
【知识点5】算术平方根 3
【题型1】平方根的性质 4
【题型2】算术平方根的非负性 5
【题型3】平方根的定义 5
【题型4】算术平方根的应用 5
【题型5】立方根的实际应用 6
【题型6】立方根的定义与性质 6
【题型7】利用平方根求未知数的值 7
【题型8】利用计算器开立方 7
【题型9】利用立方根求未知数的值 8
【题型10】算术平方根有意义的条件 8
【题型11】利用计算器开平方 9
【题型12】立方根与平方根的综合 10
【题型13】算术平方根的定义 11
【知识点1】计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
1.（2024秋 龙口市期末）用如图所示的计算器求的值，以下按键顺序不能求出正确结果的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【知识点2】平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
1.（2025春 临湘市期末）“的平方根是”，用式子表示就是（ ）
A． B． C． D．
2.（2025 陇南模拟）64的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±8 D．8
【知识点3】非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
1.（2024春 武城县校级期中）若m,n满足+|n-1|=0，则（m+n）2的平方根为（ ）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
2.（2025春 河北区期中）已知非零实数a,b满足，则a+b等于（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【知识点4】立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
1.（2025春 前郭县期末）64的立方根是（ ）
A．4 B．2 C．8 D．-4
2.（2025春 兴和县校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．立方根等于本身的数只有1
B．负数没有平方根，但有立方根
C．25的平方根为5
D．的立方根为3
【知识点5】算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
1.（2025春 三河市校级月考）下列说法错误的有（ ）
①的平方根是±4；②是2的算术平方根；③；④．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2.（2025春 婺源县期中）一个数的算术平方根是m,则比这个数大2025的数的算术平方根是（ ）
A．m2+2025 B． C． D．
【题型1】平方根的性质
【典型例题】若2m-4与3m-1是同一个数两个不同的平方根，则m的值（ ）
A.-3 B.1 C.-3或1 D.-1
【举一反三1】已知3x-8与-x+4是一个正数的平方根，则x等于（ ）
A.3 B.2 C.1或9 D.2或3
【举一反三2】已知一个正数的平方根是3x+2和5x+14，则这个数是____________．
【举一反三3】设一个正数的两个平方根是a-1和a+3，则这个正数为____________．
【举一反三4】已知a-1和5-2a都是非负数m的平方根，求m的值．
佳佳的解题过程如下：
解：∵a-1和5-2a都是非负数m的平方根，
∴a-1+5-2a=0，
解得a=4，
∴a-1=3，
∴m的值为9．
请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由．
【举一反三5】一个数的平方根a,b满足3a-2b=5，求这个数．
【题型2】算术平方根的非负性
【典型例题】若=3.5-x,则x的值不能是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【举一反三1】已知，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如果，那么 ．
【举一反三3】已知，，是的三边长，满足，为奇数，求的值及的周长．
【举一反三4】已知实数a、b满足，c为最大的负整数．
(1)求a、b、c的值：
(2)求的平方根．
【题型3】平方根的定义
【典型例题】9的平方根是（ ）
A.3 B.-3 C.±3 D.±
【举一反三1】已知a的平方根是±3，则a的值是（ ）
A.±3 B.3 C.±9 D.9
【举一反三2】已知2x-1的平方根是±6，2x+y-1的平方根是±5，2x-3y+4的平方根是____________．
【举一反三3】如果一个数的平方根是±a（a≥0），则下一个自然数的平方根为____________．
【举一反三4】已知2x-y的平方根为±3，-4是3x+y的平方根，求x-y的平方根．
【题型4】算术平方根的应用
【典型例题】射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝进行计算，其中a为子弹的加速度，l为枪筒的长．如果a＝5×105 m/s2，l＝0.81 m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A.9×102 m/s B.0.9×103 m/s C.8×102 m/s D.0.8×103 m/s
【举一反三1】甲、乙两个圆，甲圆的面积是12.56 cm2，乙圆的周长是62.8 cm，甲、乙两圆的半径之比是（ ）
A.1：5 B.1：4 C.2：5
【举一反三2】据研究，高空地物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=（不考虑风速的影响）．从40 m高空地物到落地的时间为_________s．（结果保留根号）
【举一反三3】已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为108 cm2，求这个长方形的周长．
【举一反三4】已知自由下落物体的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系式是h＝4.9t2，现有一物体从78.4 m的高楼自由落下，求它到达地面需要的时间．
【题型5】立方根的实际应用
【典型例题】一个正方体的体积是5 m3，则这个正方体的棱长是（ ）
A.m B. m C.25 m D.125 m
【举一反三1】一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（ ）
A.±4 B.4 C.±2 D.2
【举一反三2】一个立方体的体积是4，则它的棱长是 _________．
【举一反三3】一个边长为a的正方形的面积为，一个棱长为b的立方体的体积为，则_____________．
【举一反三4】将一块体积为0.125 cm3的立方体铝块改铸成8个同样大小的立方体小铝块，求每个小立方体铝块的表面积．
【题型6】立方根的定义与性质
【典型例题】﹣a2的立方根的值一定为（ ）
A.非正数 B.负数 C.正数 D.非负数
【举一反三1】若a，则a的值不可能是（ ）
A.﹣1 B.0 C.1 D.3
【举一反三2】27的立方根是 ．
【举一反三3】求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【题型7】利用平方根求未知数的值
【典型例题】若x2-9=0，则x的值为（ ）
A.3 B.-3 C.±3 D.81
【举一反三1】若x2=4，则x的值为（ ）
A.16 B.2 C.-2 D.2或-2
【举一反三2】若（x-3）2=121，则x的值为____________．
【举一反三3】若x2=121，则x=____________．
【举一反三4】求下列各式中的x：
（1）4x2=1；
（2）（x-1）2-27=0．
【题型8】利用计算器开立方
【典型例题】用计算器计算约为（ ）
A.3.049 B.3.050 C.3.051 D.3.052
【举一反三1】用我们数学课本上采用的科学计算器计算下列式子，其按键顺序正确的是（ ）
A.求按键：
B.求按键：
C.求1按键：
D.求π按键：
【举一反三2】用计算器求的按键顺序为 _________．
【举一反三3】用计算器求得0.6993，1.5066，3.2460，则_________，_________，_________．
【举一反三4】利用计算器计算：
_________，
_________，
_________，
_________，
_________，
（1）根据上述结果，你能发现什么规律？
（2）根据你发现的规律，直接填空：
若a，则_________，_________，_________，_________．
【题型9】利用立方根求未知数的值
【典型例题】已知a是最大的负整数，b是8的立方根，则代数式b-a的值为（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【举一反三1】若a3＝1，则a的值为（ ）
A.﹣1 B.1 C.±1 D.0
【举一反三2】若（5x﹣3）3，则x的值为（ ）
A.4 B.1 C.±1 D.﹣4
【举一反三3】若，则x＝____________．
【举一反三4】解方程：（2x﹣1）3＝﹣8．
【举一反三5】解方程：．
【题型10】算术平方根有意义的条件
【典型例题】已知y=+x-2，则的值为（ ）
A.5 B.3 C.﹣3 D.﹣5
【举一反三1】已知=3，则的值为（ ）
A. B. C.12 D.18
【举一反三2】要使-有意义，a的值为 ．
【举一反三3】若x，y满足，
(1)求x，y的值；
(2)求的值．
【举一反三4】若，满足，求的平方根．
【题型11】利用计算器开平方
【典型例题】利用教材中的计算器依次按键如下：
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）
A.2.5 B.2.6 C.2.8 D.2.9
【举一反三1】在计算器上按键显示的结果是（ ）
A.﹣3 B.3 C.17 D.33
【举一反三2】用计算器求35值时，需相继按“3”，“yx”，“5”，“＝”键，若小颖相继按“”，“4”，“yx”“3”，“＝”键，则输出结果是（ ）
A.6 B.8 C.16 D.48
【举一反三3】若用初中数学课本上使用的科学计算器进行计算，则以下按键的结果为 _________．
【举一反三4】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表：
（1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向 _________移动 _________位；
（2）运用你发现的规律，探究下列问题：
①若1.910，6.042，则_________；
②已知x2≈0.000365，则x≈_________．
【举一反三5】利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
（1）分析发现：被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大 _________倍；
（2）若一块长方形纸片的面积是400 cm2，长与宽之比为2：1，求这块长方形纸片的长与宽（精确到0.1，1.414，1.732）．
【举一反三6】用计算器计算：
（1）__________；
（2）__________；
（3）__________；
（4）__________.
观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果：
__________.
【题型12】立方根与平方根的综合
【典型例题】甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：甲：当a＞0时，；乙：a＜0时，；丙：当a＞0时，，则下列说法正确的是（ ）
A.只有甲、乙正确 B.只有甲、丙正确 C.甲、乙、丙都正确 D.甲、乙、丙都不正确
【举一反三1】下列说法中正确的是（ ）
A.4的平方根是2 B.平方根是它本身的数只有0 C.﹣8没有立方根 D.立方根是它本身的数只有0和1
【举一反三2】若一个正数x的平方根是和，则的值为 ．
【举一反三3】已知一个数的两个平方根分别是2a+4和a+14，则这个数的立方根 ．
【举一反三4】如果一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9，n是﹣1的立方根．
（1）求m和n的值．
（2）求m﹣11n的算术平方根．
【举一反三5】已知2m﹣1的算术平方根是3，3m+n+4的立方根是2．
（1）求m，n的值；
（2）求m﹣n的平方根．
【题型13】算术平方根的定义
【典型例题】若一个正数的两个平方根分别是m+6和2m-15，则的算术平方根是（ ）
A.4 B.±4 C.2 D.±2
【举一反三1】下列选项中是4的算术平方根是（ ）
A.±4 B.±2 C.4 D.2
【举一反三2】81的算术平方根为（ ）
A.±3 B.3 C.±9 D.9
【举一反三3】的算术平方根是____________．
【举一反三4】已知是二元一次方程组的解，则2m-n的算术平方根为____________．
【举一反三5】已知2a+b的平方根是±3，5a+2b的算术平方根是4，求3a+b的值．
