10.2实数
【知识点1】实数 1
【知识点2】实数与数轴 2
【知识点3】实数的性质 2
【知识点4】无理数 3
【知识点5】实数大小比较 4
【知识点6】估算无理数的大小 4
【知识点7】实数的运算 4
【题型1】无理数的定义 5
【题型2】根据运算程序计算 5
【题型3】实数的运算 6
【题型4】利用估算比较实数大小 7
【题型5】新定义运算 7
【题型6】实数的性质 8
【题型7】无理数的估算 8
【题型8】利用数轴比较实数的大小 9
【题型9】实数与数轴 10
【题型10】实数的概念与分类 11
【题型11】无理数估算的应用 11
【知识点1】实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
1.（2025 姜堰区二模）在下列实数中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
2.（2025春 田阳区期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．无理数包括正无理数、零和负无理数
B．无限小数都是无理数
C．正实数包括正有理数和正无理数
D．实数可以分为正实数和负实数两类
【知识点2】实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
1.（2025春 浦城县期中）如图，点A是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数2所对应的数紧靠着（点A与数2重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一周，点A恰好与数轴上点A′重合．则点A′对应的实数是（ ）
A．π-2 B．-π+2 C．-2π-3 D．-π-2
2.（2025 双塔区校级模拟）实数m,n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．|m|＜|n| B．m+n＞0 C．m-n＜0 D．mn＞0
【知识点3】实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|={a（a≥0）-a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
1.（2025 大庆二模）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．3和 B．-|-|和-（-） C．-和 D．-2和
2.（2025 城区校级三模）的相反数是（ ）
A． B．- C．- D．
【知识点4】无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0，=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
1.（2025 长沙模拟）下列各数中，不是无理数的是（ ）
A． B． C． D．π
【知识点5】实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
1.（2025春 天心区校级月考）在0，-，-1，这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．- C．-1 D．
【知识点6】估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
1.（2025 天津模拟）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【知识点7】实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
1.（2025 杭州开学）a,b为有理数，且满足等式a+b= ，则a+b的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2.（2025 白城模拟）若使算式“〇”的运算结果最小，则“〇”表示的运算符号是（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
【题型1】无理数的定义
【典型例题】公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（ ）
A. B.0 C. D.1.5
【举一反三1】在，，1.23，0这四个数中，属于无理数的是（ ）
A. B. C.1.23 D.0
【举一反三2】假设m，n都是无理数，且满足m+n＝3．请写出满足以上条件的一组值m＝_________，n＝_________．
【举一反三3】如果a 是无理数，则a2_________是无理数．（填“一定”“不一定”或“一定不”）
【举一反三4】数学课堂上，老师让同学们从下列数中找出一个无理数：，，||，0，π，﹣0.6，．其中，甲说“”，乙说“”，丙说“π”．
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 _________．
（2）请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内．
【题型2】根据运算程序计算
【典型例题】按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为25，则最后输出的y值是（ ）
A. B.±5 C. D.﹣5
【举一反三1】按如图所示运算程序，输入x，y＝﹣，则输出结果为（ ）
A.﹣6 B.6 C. D.
【举一反三2】如图，输入m＝，则输出的数为（ ）
A.8 B.16 C.32 D.64
【举一反三3】有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A.2 B.2 C. D.±
【题型3】实数的运算
【典型例题】化简的结果是（ ）
A.5 B.1 C.22 D.2
【举一反三1】若实数a满足0＜a＜1，则的化简结果是（ ）
A.2 B.2a C.2a﹣2 D.2﹣2a
【举一反三2】（）2____________．
【举一反三3】计算：____________．
【举一反三4】已知a，b互为相反数且a、b均不为0，c，d互为倒数，x是8平方根，求x的值．
【题型4】利用估算比较实数大小
【典型例题】已知max表示取三个数中最大的那个数，例如：当x＝9时，max81．当max时，则x的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知，则a与b的大小关系是（ ）
A.a＜b B.a＞b C.a＝b D.无法确定
【举一反三3】比较大小：____________．
【举一反三4】已知实数﹣3，﹣4，m．
（1）当m＝1时，计算最大数与最小数的差；
（2）当时，试判断这三个数的大小关系．
【举一反三5】阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）____________；
（2）当时，求x的取值范围．
【题型5】新定义运算
【典型例题】若a※b＝|b|﹣（b），则3※2的值为（ ）
A.4 B. C.﹣4 D.
【举一反三1】对任意两个实数a，b定义两种运算：a b，a b，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：（﹣2） 3＝3，（﹣2） 3＝﹣2，（（﹣2） 3） 2＝3 2＝2，则等于（ ）
A. B.3 C. D.2
【举一反三2】定义一种运算：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a﹣1）2﹣b2，则____________．
【举一反三3】计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有a※b＝a+b2．
例如：7※4＝7+42＝23．
（1）求5※3的值；
（2）求13※（1※）的平方根．
【题型6】实数的性质
【典型例题】的倒数是（ ）
A. B.﹣4 C. D.﹣2
【举一反三1】下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A.﹣3与 B.﹣3与 C.3与 D.|﹣3|与3
【举一反三2】的倒数是____________，|π﹣11|＝____________，3的相反数是______________．
【举一反三3】已知|x﹣1|，求出x的值．
【题型7】无理数的估算
【典型例题】下列无理数中，大小在0和1之间的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】估算的值（ ）
A.在﹣6与﹣5之间 B.在﹣5与﹣4之间 C.在﹣4与﹣3之间 D.在﹣3与﹣2之间
【举一反三2】设n为整数，若介于n和n+1连两个整数之间，则n的值为_________．
【举一反三3】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝2，现对69进行如下操作：69[]＝1，这样对69只需进行3次操作后变为1．
（1）对200进行_________次操作后变为1；
（2）对正整数p只进行三次操作后的结果是1，则p的最大值是_________．
【举一反三4】对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]．即当n为非负整数时，若nx＜n，则[x]＝n．如：[2.9]＝3；[2.4]＝2；……根据以上材料，解决下列问题：
（1）填空[1.8]＝_________，[]＝_________；
（2）若[2x+1]＝4，则x的取值范围是__________________；
（3）求满足[x]x﹣1的所有非负实数x的值．
【题型8】利用数轴比较实数的大小
【典型例题】实数a、b、c、d在数轴上对应的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（ ）
A.a B.b C.c D.d
【举一反三1】如图，数轴上点A、B、C、D分别对应实数a、b、c、d，下列各式的值最小的是（ ）
A.|a| B.|b| C.|c| D.|d|
【举一反三2】实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则a，b，﹣c的大小关系是_____________（用“＜”连接）
【举一反三3】现有五个实数：π，﹣3.5，，，4．其中四个数已经在数轴上分别用点A，B，C，D表示．
（1）点A表示数_____________；点B表示数_____________；点D表示数_____________．
（2）①用圆规在数轴上精确地表示．（提示：注意观察正方形EFGH的面积）
②将上列五个数按从小到大的顺序用“＜”连接_____________．
（3）将上列各数分别填入相应的横线上：
无理数：____________；
负数：____________．
【举一反三4】已知一列数：﹣|﹣3.5|，0，（﹣2）2，，﹣1，．
（1）将上面的数表示在如图所示的数轴上；
（2）将上面的数用“＜”连接起来．
【题型9】实数与数轴
【典型例题】如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（ ）
A.1 B.1 C.1 D.
【举一反三1】若将2，，，四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数有（ ）个．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】如图，半径为的圆周上有一点A落在数轴上﹣2点处，现将圆在数轴上向右滚动一周后点A所处的位置在连续整数a、b之间，则a+b＝_________．
【举一反三3】在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点，写出点A，点C所对应的数；
（2）若原点为O且，求p的值．
【题型10】实数的概念与分类
【典型例题】下列为正数的是（ ）
A.﹣|﹣2| B. C.0 D.﹣（﹣5）
【举一反三1】我们把M＝（1，3，x）叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（x必然存在），互异性（三个数互不相等，如x≠1，x≠3），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，3}，我们说M＝N．已知集合A＝{0，|x|，y}，集合B＝{x，xy3，}，若A＝B，则x+y的值是（ ）
A.4 B.2 C.0 D.﹣2
【举一反三2】在下列数中：①π，②﹣|﹣3|，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 _________；无理数有 _________.（填写序号）
【举一反三3】将下列各数对应的序号填在相应的集合里．
①﹣|﹣2.5|，②0，③﹣（﹣52），④+（）2，⑤1.2121121112…，⑥，⑦﹣π
正数集合：{ _________…}；
整数集合：{ _________…}；
负分数集合：{ _________…}；
无理数集合：{ _________…}.
【题型11】无理数估算的应用
【典型例题】一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用来估计．如图，上海金茂大厦观光厅离地面高度340米，若一物体从观光厅自由下落到地面上，则该物体所经过的时间秒数与下列哪个数最接近．你的选项是（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【举一反三1】一个正方体的水晶砖的体积为100，它的棱长大约在（ ）
A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间
【举一反三2】有一块面积为79 cm2的正方形纸片，小明想用这块纸片沿着边的方向裁出一块面积为54 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，他的这一想法能不能实现？答：_________（填能或不能）．
【举一反三3】七上数学课本中曾经采取“逼近法”对的大小进行了探究：即先判断出是大于1，且小于2的数，再进一步得到：（精确到十分位）．一张面积为6平方厘米的正方形纸片，它的边长为x厘米，则x的取值范围是_________．（要求：精确到十分位）
【举一反三4】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为6和9．
（1）小正方形的边长为__________________，它在_________和_________这两个连续整数之间；
（2）请求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号）
【举一反三5】校园里有一块面积为33平方米的正方形草坪，请你估计出这块草坪边长的大致范围（精确到0.1米）．10.2实数
【知识点1】实数 1
【知识点2】实数与数轴 2
【知识点3】实数的性质 4
【知识点4】无理数 5
【知识点5】实数大小比较 6
【知识点6】估算无理数的大小 6
【知识点7】实数的运算 6
【题型1】无理数的定义 8
【题型2】根据运算程序计算 9
【题型3】实数的运算 11
【题型4】利用估算比较实数大小 12
【题型5】新定义运算 14
【题型6】实数的性质 15
【题型7】无理数的估算 16
【题型8】利用数轴比较实数的大小 19
【题型9】实数与数轴 21
【题型10】实数的概念与分类 23
【题型11】无理数估算的应用 24
【知识点1】实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
1.（2025 姜堰区二模）在下列实数中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】有理数包括整数和分数；无理数是无限不循环小数．
【解答】解：A、是无限不循环小数，是无理数；
B、是无限不循环小数，是无理数；
C、=2，是有理数；
D、是无限不循环小数，是无理数．
故选：C．
2.（2025春 田阳区期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．无理数包括正无理数、零和负无理数
B．无限小数都是无理数
C．正实数包括正有理数和正无理数
D．实数可以分为正实数和负实数两类
【答案】C
【分析】根据实数的概念即可判断
【解答】解：（A）无理数包括正无理数和负无理数，故A错误；
（B）无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故B错误；
（D）实数可分为正实数，零，负实数，故D错误；
故选：C．
【知识点2】实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
1.（2025春 浦城县期中）如图，点A是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数2所对应的数紧靠着（点A与数2重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一周，点A恰好与数轴上点A′重合．则点A′对应的实数是（ ）
A．π-2 B．-π+2 C．-2π-3 D．-π-2
【答案】B
【分析】设点A′所对应的数为m,依题意得点A到A′的距离为硬币的周长，由此可得AA′=|2-m|=π，据此可求出m.
【解答】解：设点A′所对应的数为m,
∵硬币的直径为1个单位长度，
∴硬币的周长为1×π=π个单位长度，
又∵点A所对应的数2，
依题意得：AA′=|2-m|=π，
∵m＜2，
∴2-m=π，
∴m=2-π，
∴点A′所对应的数为2-π．
故选：B．
2.（2025 双塔区校级模拟）实数m,n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．|m|＜|n| B．m+n＞0 C．m-n＜0 D．mn＞0
【答案】B
【分析】根据数轴上的点表示的数的大小关系、实数的乘法法则、绝对值的定义、不等式的性质解决此题．
【解答】解：
A．由图可知，-2＜n＜0＜m＜4，得|m|＞|n|，那么A错误．
B．由图可知，-2＜n＜0＜m＜4，得m+n＞0，那么B正确．
D．由图可知，-2＜n＜0＜m＜4，得m-n＞0，那么C错误．
D．由图可知，-2＜n＜0＜m＜4，得mn＜0，那么D错误．
故选：B．
【知识点3】实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|={a（a≥0）-a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
1.（2025 大庆二模）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．3和 B．-|-|和-（-） C．-和 D．-2和
【答案】B
【分析】根据相反数的定义，找到只有符号不同的两个数即可．
【解答】解：A、=3，3和两数不互为相反数，故本选项错误；
B、-|-|=-，-（-）=，-|-|和-（-）两数互为相反数，故本选项正确；
C、-=-2，=-2，-和两数不互为相反数，故本选项错误；
D、-2和两数不互为相反数，故本选项错误．
故选：B．
2.（2025 城区校级三模）的相反数是（ ）
A． B．- C．- D．
【答案】B
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，由此即可求解．
【解答】解：的相反数是-．
故选：B．
【知识点4】无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0，=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
1.（2025 长沙模拟）下列各数中，不是无理数的是（ ）
A． B． C． D．π
【答案】A
【分析】根据无理数的定义去甄别即可．
【解答】解：A、是有理数，正确，符合题意；
B、是无理数，故该项错误，不符合题意；
C、是无理数，故该项错误，不符合题意；
D、π是无理数，故该项错误，不符合题意；
故选：A．
【知识点5】实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
1.（2025春 天心区校级月考）在0，-，-1，这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．- C．-1 D．
【答案】B．
【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵＜-1＜0＜，
∴最小的数是：．
故选：B．
【知识点6】估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
1.（2025 天津模拟）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【分析】根据平方数进行计算即可解答．
【解答】解：∵，=3，
而，
∴2，
∴估计的值在2和3之间．
故选：B．
【知识点7】实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
1.（2025 杭州开学）a,b为有理数，且满足等式a+b= ，则a+b的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】利用完全平方公式将逐步化简为（+1），代入等式得出a+b=3+，从而得出答案．
【解答】解：∵===+1，
∴=====（+1），
则 =×（+1）=（+1）=3+，
∴a+b=3+，
则a=3，b=1，
∴a+b=4，
故选：B．
2.（2025 白城模拟）若使算式“〇”的运算结果最小，则“〇”表示的运算符号是（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
【答案】B
【分析】分别计算加入各运算符号的结果后比较大小即可．
【解答】解：+=2+=3；
-=2-=；
×=4；
÷=2；
∵＜2＜4＜3，
∴“〇”表示的运算符号是-，
故选：B．
【题型1】无理数的定义
【典型例题】公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（ ）
A. B.0 C. D.1.5
【答案】C
【解析】，1.5是分数，0是整数，它们都不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数；
故选：C．
【举一反三1】在，，1.23，0这四个数中，属于无理数的是（ ）
A. B. C.1.23 D.0
【答案】B
【举一反三2】假设m，n都是无理数，且满足m+n＝3．请写出满足以上条件的一组值m＝_________，n＝_________．
【答案】3+π，﹣π（答案不唯一）
【解析】m，n都是无理数，且满足m+n＝3，
则满足条件的一组值m＝3+π，n＝﹣π．
故答案为：3+π，﹣π（答案不唯一）．
【举一反三3】如果a 是无理数，则a2_________是无理数．（填“一定”“不一定”或“一定不”）
【答案】不一定
【解析】如果a 是无理数，则a2不一定是无理数．
如是无理数，但2，是有理数；π是无理数，π2是无理数．
故答案为：不一定．
【举一反三4】数学课堂上，老师让同学们从下列数中找出一个无理数：，，||，0，π，﹣0.6，．其中，甲说“”，乙说“”，丙说“π”．
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 _________．
（2）请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内．
【答案】解：（1）是无理数；
，||，是分数，属于有理数；
0，，是整数，属于有理数；
0.6是有限小数，属于有理数；
π是无理数；
所以甲、乙、丙三个人中，说错的是乙，
故答案为：乙；
（2）整数有0，；
负分数有：，﹣0.6．
故答案为：0，；，﹣0.6．
【题型2】根据运算程序计算
【典型例题】按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为25，则最后输出的y值是（ ）
A. B.±5 C. D.﹣5
【答案】A
【解析】∵25的算术平方根为，5是有理数，
∴取5的平方根±，是无理数．
∴输出y．
故选：A．
【举一反三1】按如图所示运算程序，输入x，y＝﹣，则输出结果为（ ）
A.﹣6 B.6 C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴输入x，y＝﹣时，（）2﹣（﹣）2＝2﹣8＝﹣6．
故选：A．
【举一反三2】如图，输入m＝，则输出的数为（ ）
A.8 B.16 C.32 D.64
【答案】B
【解析】∵m＝时，m2＝（）2＝8＜10，
∴4，再输入4，
42＝16＞10，
∴输出的数是16．
故选：B．
【举一反三3】有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A.2 B.2 C. D.±
【答案】C
【解析】由题意可得：64的立方根为4，4的算术平方根是2，2的算术平方根是，
即y．
故选：C．
【题型3】实数的运算
【典型例题】化简的结果是（ ）
A.5 B.1 C.22 D.2
【答案】A
【解析】 ＝23＝5，
故选：A．
【举一反三1】若实数a满足0＜a＜1，则的化简结果是（ ）
A.2 B.2a C.2a﹣2 D.2﹣2a
【答案】A
【解析】∵0＜a＜1，
∴原式＝a+2﹣a＝2．
故选：A．
【举一反三2】（）2____________．
【答案】1
【解析】原式＝2﹣3+2＝1．
故答案为：1．
【举一反三3】计算：____________．
【答案】﹣2
【解析】，
故答案为：﹣2．
【举一反三4】已知a，b互为相反数且a、b均不为0，c，d互为倒数，x是8平方根，求x的值．
【答案】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是8平方根，
∴a+b＝0，cd＝1，x＝±2，
∴当x＝2时，原式x＝02，
当x＝﹣2时，原式x＝02＝﹣3．
故原式的值为或﹣3．
【题型4】利用估算比较实数大小
【典型例题】已知max表示取三个数中最大的那个数，例如：当x＝9时，max81．当max时，则x的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当max{}时，
①，解得：x，此时x＞x2，符合题意；
②x2，解得：x；此时x＞x2，不合题意；
③x，x＞x2，不合题意；
故只有x时，max{}，
故选：B．
【举一反三1】下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.是分数，不是无理数，故此选项不符合题意；
B.是负无理数，故此选项不符合题意；
C.∵π＞3，∴，故此选项不符合题意；
D.∵，即，∴，故此选项符合题意；
故选：D．
【举一反三2】已知，则a与b的大小关系是（ ）
A.a＜b B.a＞b C.a＝b D.无法确定
【答案】A
【解析】a＝﹣5，b＝﹣2，
∵50＞20，
∴，
∴，
∴﹣52，
∴a＜b．
故选：A．
【举一反三3】比较大小：____________．
【答案】＞
【解析】∵1.4，
∴1＞1.4+1，
∴1＞2.4，
∴1.2，
∵1.2，
∴．
故答案为：＞．
【举一反三4】已知实数﹣3，﹣4，m．
（1）当m＝1时，计算最大数与最小数的差；
（2）当时，试判断这三个数的大小关系．
【答案】解：（1）当m＝1时，
∵﹣4＜﹣3＜1，
∴最大数是1，最小数是﹣4，它们的差是：1﹣（﹣4）＝5；
（2）当m＝﹣2时，
|﹣3|＝3，|﹣4|＝4，|﹣2|＝2，
∵3＜24，
∴﹣4＜﹣23．
【举一反三5】阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）____________；
（2）当时，求x的取值范围．
【答案】解：（1）∵，
∴，
∴．
故答案为：﹣2；
（2）根据题意，得，
解得，
∴x的取值范围是．
【题型5】新定义运算
【典型例题】若a※b＝|b|﹣（b），则3※2的值为（ ）
A.4 B. C.﹣4 D.
【答案】D
【解析】由a※b＝|b|﹣（b）可得：
3※2＝|2|﹣（2）＝22＝﹣2．
故选：D．
【举一反三1】对任意两个实数a，b定义两种运算：a b，a b，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：（﹣2） 3＝3，（﹣2） 3＝﹣2，（（﹣2） 3） 2＝3 2＝2，则等于（ ）
A. B.3 C. D.2
【答案】C
【解析】由题意得： 3，
故选：C．
【举一反三2】定义一种运算：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a﹣1）2﹣b2，则____________．
【答案】﹣1
【解析】原式＝（1﹣1）2﹣（）2＝5﹣6＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【举一反三3】计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有a※b＝a+b2．
例如：7※4＝7+42＝23．
（1）求5※3的值；
（2）求13※（1※）的平方根．
【答案】解：（1）∵a※b＝a+b2，
∴5※3＝5+32＝5+9＝14；
（2）∵a※b＝a+b2，
∴1※＝1+5＝6，
∴13※（1※）＝13※6＝13+62＝13+36＝49．
【题型6】实数的性质
【典型例题】的倒数是（ ）
A. B.﹣4 C. D.﹣2
【答案】C
【解析】，
∴的倒数是．
故选：C．
【举一反三1】下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A.﹣3与 B.﹣3与 C.3与 D.|﹣3|与3
【答案】A
【解析】A．﹣3与3，两数是互为相反数，故此选项符合题意；
B．﹣3与3，两数相等，故此选项不合题意；
C．3与，两数不是互为相反数，故此选项不合题意；
D．|﹣3|＝3与3，两数相等，故此选项不合题意；
故选：A．
【举一反三2】的倒数是____________，|π﹣11|＝____________，3的相反数是______________．
【答案】；11﹣π；
【解析】，4的倒数是，所以的倒数是；
|π﹣11|＝11﹣π；
的相反数是；
故答案为：，11﹣π，．
【举一反三3】已知|x﹣1|，求出x的值．
【答案】解：∵||，||，
∴x﹣1或x﹣1．
解得；x1，x21．
【题型7】无理数的估算
【典型例题】下列无理数中，大小在0和1之间的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵02，
∴01，
则A符合题意；
∵π＞3，
∴1，
则B不符合题意；
∵1＜2，
∴1，
则C不符合题意；
是分数，不是无理数，
则D不符合题意；
故选：A．
【举一反三1】估算的值（ ）
A.在﹣6与﹣5之间 B.在﹣5与﹣4之间 C.在﹣4与﹣3之间 D.在﹣3与﹣2之间
【答案】B
【解析】∵16＜17＜25，
∴，
∴．
故选：B．
【举一反三2】设n为整数，若介于n和n+1连两个整数之间，则n的值为_________．
【答案】2
【解析】∵，
∴，
∵介于n和n+1连两个整数之间，
∴n＝2，
故答案为：2．
【举一反三3】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝2，现对69进行如下操作：69[]＝1，这样对69只需进行3次操作后变为1．
（1）对200进行_________次操作后变为1；
（2）对正整数p只进行三次操作后的结果是1，则p的最大值是_________．
【答案】（1）3 （2）255
【解析】（1）第一次操作：[]＝14，
第二次操作后：[]＝3．
第三次操作后：[]＝1．
故答案为：3；
（2）∵[]＝15，[]＝3，[]＝1，而[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，
即只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是255，
故答案为：255．
【举一反三4】对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]．即当n为非负整数时，若nx＜n，则[x]＝n．如：[2.9]＝3；[2.4]＝2；……根据以上材料，解决下列问题：
（1）填空[1.8]＝_________，[]＝_________；
（2）若[2x+1]＝4，则x的取值范围是__________________；
（3）求满足[x]x﹣1的所有非负实数x的值．
【答案】解：（1）[1.8]＝2，[]＝2；
故答案为：2；2．
（2）∵[2x+1]＝4，
∴2x+1，
∴x．
故答案为：x．
（3）设x﹣1＝m，则x，
∴[]＝m，
∴mm，解得：m，
∵m为整数，
∴m＝1或2或3，
∴x或x＝2或x．
【题型8】利用数轴比较实数的大小
【典型例题】实数a、b、c、d在数轴上对应的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（ ）
A.a B.b C.c D.d
【答案】D
【解析】根据图示，可得2＜|a|＜3，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，3＜|d|＜4，
所以这四个数中，绝对值最大的是d．
故选：D．
【举一反三1】如图，数轴上点A、B、C、D分别对应实数a、b、c、d，下列各式的值最小的是（ ）
A.|a| B.|b| C.|c| D.|d|
【答案】C
【解析】由数轴可得点A离原点距离最远，其次是D点，再次是B点，C点离原点距离最近，
则|a|＞|d|＞|b|＞|c|，
其中值最小的是|c|，
故选：C．
【举一反三2】实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则a，b，﹣c的大小关系是_____________（用“＜”连接）
【答案】b＜﹣c＜a
【解析】由数轴可得b＜0＜c＜a，且|b|＞|c|，
则b＜﹣c＜0＜a，
故答案为：b＜﹣c＜a．
【举一反三3】现有五个实数：π，﹣3.5，，，4．其中四个数已经在数轴上分别用点A，B，C，D表示．
（1）点A表示数_____________；点B表示数_____________；点D表示数_____________．
（2）①用圆规在数轴上精确地表示．（提示：注意观察正方形EFGH的面积）
②将上列五个数按从小到大的顺序用“＜”连接_____________．
（3）将上列各数分别填入相应的横线上：
无理数：____________；
负数：____________．
【答案】解：（1）根据A、B、D在数轴上的位置，
可知，点A表示数﹣3.5，点B表示数π，点D表示数；
故答案为：﹣3.5，π，；
（2）如图，
由数轴可知，﹣3.5π＜4；
故答案为：﹣3.5π＜4；
（3）无理数：π；
负数：﹣3.5，．
故答案为：无理数：π；
负数：﹣3.5，．
【举一反三4】已知一列数：﹣|﹣3.5|，0，（﹣2）2，，﹣1，．
（1）将上面的数表示在如图所示的数轴上；
（2）将上面的数用“＜”连接起来．
【答案】解：（1）如图所示：﹣|﹣3.5|＝﹣3.5，（﹣2）2＝4，
（2）．
【题型9】实数与数轴
【典型例题】如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（ ）
A.1 B.1 C.1 D.
【答案】A
【解析】∵正方形ABCD的面积为3，
∴正方形ABCD的边长为：，
∴点E所表示的数为：﹣1，
故选：A．
【举一反三1】若将2，，，四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数有（ ）个．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【解析】2＜1，在0和1之间，不符合题意；
，即23，符合题意；
，即3＞6，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意；
，即1＞3，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意；
故选：A．
【举一反三2】如图，半径为的圆周上有一点A落在数轴上﹣2点处，现将圆在数轴上向右滚动一周后点A所处的位置在连续整数a、b之间，则a+b＝_________．
【答案】3
【解析】∵圆的半径为，
∴圆的周长＝π，
∵3＜π＜4，
∴3﹣2＜π﹣2＜4﹣2，即1＜π﹣2＜2，
∴向右滚动一周后点A所处的位置在1与2之间，即a＝1，b＝2，
∴a+b＝1+2＝3．
故答案为：3．
【举一反三3】在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点，写出点A，点C所对应的数；
（2）若原点为O且，求p的值．
【答案】解：（1）由题意知，若以B为原点，则点A所对应的数为，
点C所对应的数为，
∴点A，点C所对应的数为，.
（2）∵，，
∴，
由题意知，分原点O在点C的右边，原点O在点C的左边，两种情况求解：
①当原点O在点C的右边，且，
则点C所对应的数为，点B所对应的数为，点A所对应的数为，
∴；
②当原点O在点C的左边，且，
则点C所对应的数为，点B所对应的数为，点A所对应的数为，
∴；
综上所述，P的值为或．
【题型10】实数的概念与分类
【典型例题】下列为正数的是（ ）
A.﹣|﹣2| B. C.0 D.﹣（﹣5）
【答案】D
【解析】﹣|﹣2|＝﹣2，是负数；0既不是正数也不是负数；﹣（﹣5）＝5是正数；
故选：D．
【举一反三1】我们把M＝（1，3，x）叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（x必然存在），互异性（三个数互不相等，如x≠1，x≠3），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，3}，我们说M＝N．已知集合A＝{0，|x|，y}，集合B＝{x，xy3，}，若A＝B，则x+y的值是（ ）
A.4 B.2 C.0 D.﹣2
【答案】D
【解析】由题意可得0，
则x＝y，
那么|x|＝xy3＝x4，
则x＝±1，
根据题意可得x＝1不符合题意，舍去，
则x＝y＝﹣1，
则x+y＝﹣1﹣1＝﹣2，
故选：D．
【举一反三2】在下列数中：①π，②﹣|﹣3|，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 _________；无理数有 _________.（填写序号）
【答案】⑥⑧；①⑤⑦
【解析】非负整数有⑥⑧；无理数有①⑤⑦；
故答案为：⑥⑧；①⑤⑦．
【举一反三3】将下列各数对应的序号填在相应的集合里．
①﹣|﹣2.5|，②0，③﹣（﹣52），④+（）2，⑤1.2121121112…，⑥，⑦﹣π
正数集合：{ _________…}；
整数集合：{ _________…}；
负分数集合：{ _________…}；
无理数集合：{ _________…}.
【答案】解：﹣|﹣2.5|＝﹣2.5，﹣（﹣52）＝25，+（）2．
正数集合：{③④⑤…}；
整数集合：{②③…}；
负分数集合：{①⑥…}；
无理数集合：{⑤⑦…}．
【题型11】无理数估算的应用
【典型例题】一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用来估计．如图，上海金茂大厦观光厅离地面高度340米，若一物体从观光厅自由下落到地面上，则该物体所经过的时间秒数与下列哪个数最接近．你的选项是（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】C
【解析】由题意可得t，
∵82＝64，8.52＝72.25，
∴88.5，
即该物体所经过的时间秒数与8接近，
故选：C．
【举一反三1】一个正方体的水晶砖的体积为100，它的棱长大约在（ ）
A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间
【答案】A
【解析】∵一个正方体的水晶砖的体积为100，
∴其棱长为，
∴64＜100＜125，
∴45，
即它的棱长大约在4和5之间，
故选：A．
【举一反三2】有一块面积为79 cm2的正方形纸片，小明想用这块纸片沿着边的方向裁出一块面积为54 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，他的这一想法能不能实现？答：_________（填能或不能）．
【答案】不能
【解析】设长方形的长宽分别为3x，2x，由题意可得：
3x 2x＝54，
解得x＝3或﹣3（舍去），
长为3x＝9，
∵9，
∴不能．
【举一反三3】七上数学课本中曾经采取“逼近法”对的大小进行了探究：即先判断出是大于1，且小于2的数，再进一步得到：（精确到十分位）．一张面积为6平方厘米的正方形纸片，它的边长为x厘米，则x的取值范围是_________．（要求：精确到十分位）
【答案】2.4＜x＜2.5
【解析】∵一张面积为6平方厘米的正方形纸片，它的边长为x厘米，
∴，
∵5.76＜6＜6.25，
∴，
∴2.4＜x＜2.5．
故答案为：2.4＜x＜2.5．
【举一反三4】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为6和9．
（1）小正方形的边长为__________________，它在_________和_________这两个连续整数之间；
（2）请求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号）
【答案】解：（1）∵小正方形的面积为6，
∴小正方形的边长为，
∵4＜6＜9，
∴，
∴它在2和3这两个连续整数之间．
故答案为：；2；3．
（2）阴影部分的面积为：．
【举一反三5】校园里有一块面积为33平方米的正方形草坪，请你估计出这块草坪边长的大致范围（精确到0.1米）．
【答案】解：面积为33平方米的正方形边长为，
∵52＝25，62＝36，
∴56，
∵5.72＝32.49，5.82＝33.64，
∴5.75.8，
∵5.742＝32.9476，5.752＝33.0625，
∴5.745.75，
∴精确到0.1为5.7，
故这块草坪边长的大约为5.7米．
