11.1幂的运算
【知识点1】同底数幂的乘法 1
【知识点2】幂的乘方与积的乘方 2
【知识点3】同底数幂的除法 2
【题型1】利用幂的乘方运算比较大小 3
【题型2】有关积的乘方的综合运算 4
【题型3】积的乘方运算 4
【题型4】利用同底数幂的乘法求待定字母的值 5
【题型5】利用积的乘方进行整体代入求值 5
【题型6】利用积的乘方求未知字母的值 6
【题型7】逆用积的乘方运算 6
【题型8】底数是多项式的同底数幂的除法 6
【题型9】底数是单项式的同底数幂的除法 7
【题型10】应用同底数幂的除法求未知字母的值 8
【题型11】底数是多项式的同底数幂的乘法 8
【题型12】利用同底数幂的乘法求字母间的关系 9
【题型13】同底数幂除法的逆运算 9
【题型14】幂的乘方运算法则 10
【题型15】积的乘方的实际应用问题 10
【题型16】幂的乘方运算的逆用 11
【题型17】底数是单项式的同底数幂的乘法 11
【题型18】运用同底数幂的乘法求代数式的值 11
【题型19】利用幂的乘方运算求待定字母的值 12
【题型20】与同底数幂除法有关的综合运算 13
【知识点1】同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an=a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap=a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x-y）2与（x-y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
1.（2025春 息烽县校级月考）计算x5 x3得（ ）
A．（x x）15 B．（x+x）8 C．x15 D．x8
2.（2025 鼓楼区校级模拟）计算a2 a3的结果是（ ）
A．a6 B．a5 C．a4 D．a3
【知识点2】幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n=amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n=anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
1.（2025春 相城区校级月考）已知25x=2000，80y=2000，则x+y-xy+2的值为（ ）
A．1 B．2 C．2000 D．20002
【知识点3】同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an=a m-n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
1.（2025 浙江模拟）下列计算正确的是（ ）
A．x4-x3=x B．x4 x3=x12 C．（x4）3=x12 D．x4÷x3=1
【题型1】利用幂的乘方运算比较大小
【典型例题】a＝5140，b＝3210，c＝2280，则a、b、c的大小关系是( )
A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜a＜b D.c＜b＜a
【举一反三1】已知a＝3232，b＝1642，c＝852，则a，b，c之间的大小关系是( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞a＞b D.b＞a＞c
【举一反三2】已知a3＝3，b5＝4，则a和b的大小关系为( )
A.a＞b B.a＜b C.a＝b D.无法判断
【举一反三3】已知a＝167，b＝89，c＝413，则a，b，c的大小关系是 ．
【举一反三4】阅读下面的材料：
解决下列问题：
(1)比较344，433，522的大小；
(2)比较8131，2741，961的大小．
【举一反三5】阅读和学习下面的材料：
某同学在比较355，444，533的大小时，发现55，44，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小．
解：∵355＝(35)11＝24311，444＝(44)11＝25611，533＝(53)11＝12511，
∴533＜355＜444，
请根据上述解题思路完成下题：
比较大小：若a＝2505，b＝3404，c＝5303，则a，b，c的大小关系是什么？
【题型2】有关积的乘方的综合运算
【典型例题】计算＝( )
A. B. C. D.
【举一反三1】计算的结果是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】计算：的结果是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】计算： ．
【举一反三4】计算：．
【举一反三5】计算：.
【题型3】积的乘方运算
【典型例题】计算(2x)2的结果是( )
A.2x2 B.4x2 C.4x D.2x
【举一反三1】计算：(﹣a)3的结果是( )
A.﹣a3 B.﹣a4 C.a3 D.a4
【举一反三2】计算：(3a)2＝( )
A.5a B.3a2 C.6a2 D.9a2
【举一反三3】计算﹣(﹣3a)2的结果是 ．
【举一反三4】计算：(1) ；(2)= ．
【举一反三5】计算：
(1)；
(2).
【题型4】利用同底数幂的乘法求待定字母的值
【典型例题】计算a3 a2＝am，则m的值为( )
A.5 B.6 C.8 D.9
【举一反三1】如果a2n﹣1an+5＝a16，a≠1，那么n的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【举一反三2】如果xn＝y，那么我们规定(x，y)＝n.例如：因为32＝9，所以(3，9)＝2.若(m，16)+(m，5)＝(m，t)，则t＝ .
【举一反三3】[阅读理解]阅读下列内容，观察分析，回答问题：
Ⅰ.33×34＝(3×3×3)×(3×3×3×3)＝37；
Ⅱ.53×54＝(5×5×5)×(5×5×5×5)＝57；
Ⅲ.a3×a4＝(a×a×a)×(a×a×a×a)＝a7.
[概括总结]通过以上分析，填空：
(m、n为正整数).
(1)在上述分析过程中：①所在括号中填 ，②所在括号中填 .
[应用与拓展]：
计算：
(2)105×104＝ ；
(3)a a3 a7＝ ；
(4)如果x是不等于1的正数，且xn x3n+3＝x35，求n的值.
【举一反三4】如果xm﹣n x2n+1＝x11，且ym﹣1 y4﹣n＝y7，求m，n的值.
【题型5】利用积的乘方进行整体代入求值
【典型例题】若为正整数．且，则的值为( )
A.4 B.16 C.64 D.192
【举一反三1】若，则( )
A.36 B.54 C.108 D.120
【举一反三2】已知，，则 ．
【举一反三3】已知，则的值是 ．
【举一反三4】若，，求的值．
【题型6】利用积的乘方求未知字母的值
【典型例题】已知，则的值为( )
A.3 B. C.4 D.
【举一反三1】若，那么的值是( )
A.6 B.4 C.3 D.5
【举一反三2】若成立，则( )
A. B. C. D.
【举一反三3】若，则 ．
【举一反三4】计算：若，则 ．
【举一反三5】如果成立，那么整数m和n的差是多少？
【题型7】逆用积的乘方运算
【典型例题】计算的结果是( )
A. B. C.1 D.
【举一反三1】运算结果，正确的是( )
A. B. C.4 D.
【举一反三2】计算 ．
【举一反三3】 ．
【举一反三4】(1)计算：①与；
②与；
③与；
(2)根据以上计算结果猜想：，，分别等于什么？(直接写出结果)
(3)利用上述结论，求的值．
【题型8】底数是多项式的同底数幂的除法
【典型例题】计算：结果用幂的形式表示(a﹣b)9÷(b﹣a)4＝ ．
【举一反三1】(p﹣q)4÷(q﹣p)3＝ ．
【举一反三2】计算：．
【举一反三3】计算：．
【题型9】底数是单项式的同底数幂的除法
【典型例题】下列计算正确的是( )
A.x10÷(x7÷x2)＝x5 B.(xy)8÷(xy)4＝(xy)2 C.x4n÷x2n x2n＝1 D.x2(m+1)÷xm+1＝x2
【举一反三1】下列各式，计算结果为a6的是( )
A.a2+a4 B.a7÷a C.a2 a3 D.(a2)4
【举一反三2】计算：
(1)b2m÷bm＝ ；
(2)﹣y3m﹣3÷ym+1＝ ．
【举一反三3】我们知道，同底数幂的除法法则为am÷an＝am﹣n(其中a≠0，m，n为正整数)，类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f(m﹣n)＝f(m)÷f(n)(其中f(m)，f(n)都为正数)，请根据这种新运算填空：
(1)若f(2)＝4，f(3)＝8，则f(1)＝ ；
(2)若f(2000)＝k，f(2)＝4，那么f(500)＝ (用含k的代数式表示，其中k＞0)．
【举一反三4】阅读下列材料：
若a，b两数满足，则称x为b的“对数”，记作，如，所以．
请根据以上规定，回答下列问题：
(1)根据上述规定要求，请完成填空：
，_________，(， )．
(2)计算．
【举一反三5】计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【题型10】应用同底数幂的除法求未知字母的值
【典型例题】若xa÷x＝x5，则a的值为( )
A. B. C.5 D.6
【举一反三1】已知x6÷x3＝xm，则m的值为( )
A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2
【举一反三2】若3×27n÷9＝320，则n＝ ．
【举一反三3】若am an＝a4，am÷an＝a8，求mn的值．
【举一反三4】已知2x+4÷2﹣2x＝112，求x的值．
【题型11】底数是多项式的同底数幂的乘法
【典型例题】计算(x﹣y)(y﹣x)2的结果是( )
A.(y﹣x)3 B.(x﹣y)3 C.﹣(y﹣x)2 D.﹣(x﹣y)2
【举一反三1】(a﹣b)m (b﹣a)2与(a﹣b)m+2的关系是( )
A.相等
B.互为相反数
C.当m为偶数时互为相反数，当m为奇数时相等
D.当m为偶数时相等，当m为奇数时为互为相反数
【举一反三2】若m为奇数，则(a﹣b)m (b﹣a)n与(b﹣a)m+n的结果是( )
A.相等 B.互为相反数 C.不相等 D.以上说法都不对
【举一反三3】计算(x﹣y)(y﹣x)2的结果是( )
A.(y﹣x)3 B.(x﹣y)3 C.﹣(y﹣x)2 D.﹣(x﹣y)2
【举一反三4】下列各题能用同底数幂乘法法则进行计算的是( )
A.(x﹣y)2(x+y)3 B.(﹣x﹣y)(x+y)2 C.(x+y)2+(x+y)2 D.﹣(x﹣y)2(﹣x﹣y)3
【举一反三5】计算：(x﹣y) (y﹣x)2 (x﹣y)3＝ ．
【举一反三6】(x+y)(x+y)3＝ ．
【举一反三7】(a﹣b)3 (a﹣b)2 (b﹣a)＝ ．
【举一反三8】(x+y)(x+y)3＝ ．
【题型12】利用同底数幂的乘法求字母间的关系
【典型例题】如果xn＝y，那么我们规定(x，y)＝n．例如：因为32＝9，所以(3，9)＝2．记(4，12)＝a，(4，5)＝b，(4，60)＝c．则a、b和c的关系是( )
A.ab＝c B.ab＝c C.a+b＝c D.无法确定
【举一反三1】已知2a＝3，2b＝6，2c＝18，那么a，b，c之间满足的等量关系成立的是( )
A.c＝2b﹣1 B.c＝a+b C.b＝a﹣1 D.c＝ab
【举一反三2】已知3x＝5，3y＝10，3z＝50，那么下列关于x，y，z之间满足的等量关系正确的是( )
A.x+y＝z B.xy＝z C.2x+y＝z D.2xy＝z
【举一反三3】已知2x＝8，2y＝5，2z＝40，那么下列关于x，y，z之间满足的等量关系正确的是( )
A.x+y＝z B.xy＝z C.2x+y＝z D.2xy＝z
【举一反三4】如果xn＝y，那么我们规定(x，y)＝n．例如：因为32＝9，所以(3，9)＝2．记(4，12)＝a，(4，5)＝b，(4，60)＝c．则a、b和c的关系是( )
A.ab＝c B.ab＝c C.a+b＝c D.无法确定
【举一反三5】已知2a＝3，2b＝5，2c＝30，求a，b，c之间的关系．
【举一反三6】我们约定a☆b＝10a×10b，如2☆3＝102×103＝105．
(1)试求12☆3和4☆8的值；
(2)(a+b)☆c是否与a☆(b+c)相等？并说明理由．
【题型13】同底数幂除法的逆运算
【典型例题】如果，，那么的值是( )
A.15 B.9 C.36 D.4
【举一反三1】已知，，，则( )
A. B. C. D.
【举一反三2】已知，，则= ．
【举一反三3】已知，，， 求 的值．
【举一反三4】已知，求的值．
【题型14】幂的乘方运算法则
【典型例题】( )
A. B. C. D.
【举一反三1】计算(a4)3的结果是( )
A.a7 B.﹣a7 C.﹣a12 D.a12
【举一反三2】计算：(102)5＝ ．
【举一反三3】计算： ； ； ．
【举一反三4】一般地，n个相同因数a相乘，即，记作an，这种运算叫做乘方，由乘方的意义，我们可以得到：(102)3＝102×102×102＝10×10×10×10×10×10＝106，自己换几个数试试，例如：．
(1)发现：(23)5＝ ，(am)2＝ ；
(2)归纳概括：(am)n＝ (m，n都是正整数)；
(3)利用(2)的公式，请计算：5(a4)3﹣15(a2)6．
【题型15】积的乘方的实际应用问题
【典型例题】新华广场为正方形广场，其边长为，其面积用科学记数法表示为：( )
A. B. C. D.
【举一反三1】为加快中心城市建设，市政府拟建多个城市休闲文化广场或公园，已知某正方形公园的边长为，其面积用科学记数法表示为，则n为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【举一反三2】一个正方体的棱长为，则它的体积是 (结果用科学记数法表示)．
【举一反三3】若一个正方形的周长为，则这个正方形的面积是 ．
【举一反三4】课上，同学们一起利用球的体积公式计算出地球的体积约是，接着老师问道：“太阳的半径约是地球的倍，那么太阳的体积约是多少立方千米呢”，你能迅速求出结果吗？
【题型16】幂的乘方运算的逆用
【典型例题】已知3m＝4，9n＝3，则9m+n＝( )
A.7 B.12 C.24 D.48
【举一反三1】已知3m+2n﹣3＝0，则23m×4n的值是( )
A. B. C.﹣8 D.8
【举一反三2】若x+2y＝3，则4x 16y的值是( )
A.12 B.16 C.32 D.64
【举一反三3】如果a+3b﹣4＝0，那么3a 27b＝ ．
【举一反三4】(1)已知，求的值；
(2)已知为正整数，且，求的值．
【题型17】底数是单项式的同底数幂的乘法
【典型例题】y2m+2可以改写成( )
A.2ym+1 B.y2 ym+1 C.y2m+y2 D.y2m y2
【举一反三1】下列运算正确的是( )
A.a2 a3＝2a5 B.a2 a3＝2a6 C.a2 a3＝a5 D.a2 a3＝a6
【举一反三2】计算x〇x2＝x3，则“〇”中的运算符号为( )
A.+ B.﹣ C.× D.÷
【举一反三3】计算x3 x5 x4﹣x x9 x2＝ ．
【举一反三4】计算：a (﹣a5) (﹣a6) (﹣a)7 (﹣a)2．
【题型18】运用同底数幂的乘法求代数式的值
【典型例题】若3x+3＝243，则的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】已知2m＝a，2n＝b，m，n为正整数，则2m+n为( )
A.a+b B.ab C.2ab D.a2+b2
【举一反三2】10x＝a，10y＝b，则10x+y+2＝( )
A.2ab B.a+b C.a+b+2 D.100ab
【举一反三3】若2m+3n﹣2＝0，则代数式32m 33n＝ ．
【举一反三4】已知，2b＝24，则a+b的值是 ．
【举一反三5】(1)已知xm﹣n x2n+1＝x11，且ym﹣1 y4﹣n＝y5，求m，n的值．
(2)已知2x+2＝6，求2x+5的值．
【举一反三6】我们知道，同底数幂的乘法法则为am an＝am+n(其中a≠0，m、n为正整数)，类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f(m) f(n)＝f(m+n)(其中m、n为正整数)．
例如，若f(3)＝2，则f(6)＝f(3+3)＝f(3) f(3)＝2×2＝4．f(9)＝f(3+3+3)＝f(3) f(3) f(3)＝2×2×2＝8．
(1)若f(2)＝5，
①填空：f(6)＝ ；
②当f(2n)＝25，求n的值；
(2)若f(a)＝3，化简：f(a) f(2a) f(3a) … f(10a)．
【题型19】利用幂的乘方运算求待定字母的值
【典型例题】如果(a3)6＝218，则a等于( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.以上都不对
【举一反三1】若23×4m＝211，则m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三2】若，则 ．
【举一反三3】定义一种幂的新运算：xa xb＝xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题：
(1)求22 23的值；
(2)若2p＝3，2q＝5，3q＝7，求2p 2q的值；
(3)若运算3 3t的结果为108，则t的值是多少？
【举一反三4】计算：
(1)已知，求n的值．
(2)已知，求m的值．
【题型20】与同底数幂除法有关的综合运算
【典型例题】代数是数学发展史上的里程碑，计算(﹣a2)3÷(﹣a)2＝( )
A.a2 B.﹣a4 C.﹣a2 D.a4
【举一反三1】计算(x3)2÷x2，正确的结果是( )
A.x2 B.x3 C.x4 D.x5
【举一反三2】计算：(﹣y2)4÷y4 (﹣y)3＝ ．
【举一反三3】计算：y3 y2﹣(3y2)3+y9÷y4．11.1幂的运算
【知识点1】同底数幂的乘法 1
【知识点2】幂的乘方与积的乘方 2
【知识点3】同底数幂的除法 3
【题型1】利用幂的乘方运算比较大小 4
【题型2】有关积的乘方的综合运算 6
【题型3】积的乘方运算 7
【题型4】利用同底数幂的乘法求待定字母的值 8
【题型5】利用积的乘方进行整体代入求值 11
【题型6】利用积的乘方求未知字母的值 12
【题型7】逆用积的乘方运算 13
【题型8】底数是多项式的同底数幂的除法 15
【题型9】底数是单项式的同底数幂的除法 16
【题型10】应用同底数幂的除法求未知字母的值 18
【题型11】底数是多项式的同底数幂的乘法 19
【题型12】利用同底数幂的乘法求字母间的关系 22
【题型13】同底数幂除法的逆运算 24
【题型14】幂的乘方运算法则 25
【题型15】积的乘方的实际应用问题 27
【题型16】幂的乘方运算的逆用 28
【题型17】底数是单项式的同底数幂的乘法 29
【题型18】运用同底数幂的乘法求代数式的值 30
【题型19】利用幂的乘方运算求待定字母的值 33
【题型20】与同底数幂除法有关的综合运算 35
【知识点1】同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an=a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap=a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x-y）2与（x-y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
1.（2025春 息烽县校级月考）计算x5 x3得（ ）
A．（x x）15 B．（x+x）8 C．x15 D．x8
【答案】D
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．
【解答】解：x5 x3=x8，
故选：D．
2.（2025 鼓楼区校级模拟）计算a2 a3的结果是（ ）
A．a6 B．a5 C．a4 D．a3
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：a2 a3
=a2+3
=a5，
故选：B．
【知识点2】幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n=amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n=anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
1.（2025春 相城区校级月考）已知25x=2000，80y=2000，则x+y-xy+2的值为（ ）
A．1 B．2 C．2000 D．20002
【答案】B
【分析】由已知证明25xy=25x+y可得xy=x+y,进而求得代数式的值．
【解答】解：∵25x=2000，80y=2000，25×80=2000，
∴2000y=（25×80）y=25y×80y=25y×2000，
∴（25x）y=25y×2000，
∴25xy=25y×2000，
∵25x 25y=25x+y=2000×25y，
∴25xy=25x+y，
∴xy=x+y,
∴x+y-xy+2=2．
故选：B．
【知识点3】同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an=a m-n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
1.（2025 浙江模拟）下列计算正确的是（ ）
A．x4-x3=x B．x4 x3=x12 C．（x4）3=x12 D．x4÷x3=1
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、x4与-x3不能合并，故此选项不符合题意；
B、x4 x3=x7，故此选项不符合题意；
C、（x4）3=x12，故此选项符合题意；
D、x4÷x3=x,故此选项不符合题意；
故选：C．
【题型1】利用幂的乘方运算比较大小
【典型例题】a＝5140，b＝3210，c＝2280，则a、b、c的大小关系是( )
A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜a＜b D.c＜b＜a
【答案】C
【解析】∵a＝5140＝2570，b＝3210＝2770，c＝2280＝(24)70＝1670，
∴b＞a＞c，
故选：C．
【举一反三1】已知a＝3232，b＝1642，c＝852，则a，b，c之间的大小关系是( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞a＞b D.b＞a＞c
【答案】D
【解析】a＝3232＝(25)32＝2160，
b＝1642＝(24)42＝2168，
c＝852＝(23)52＝2156，
∵168＞160＞156，
∴b＞a＞c，
故选：D．
【举一反三2】已知a3＝3，b5＝4，则a和b的大小关系为( )
A.a＞b B.a＜b C.a＝b D.无法判断
【答案】A
【解析】∵a3＝3，
∴(a3)5＝a15＝35＝243，
∵b5＝4，
∴(b5)3＝b15＝43＝64，
则243＞64，
∴a＞b．
故选：A．
【举一反三3】已知a＝167，b＝89，c＝413，则a，b，c的大小关系是 ．
【答案】a＞b＞c
【解析】167＝(24)7＝228，89＝(23)9＝227，413＝(22)13＝226，
∵28＞27＞26，
∴228＞227＞226，即167＞89＞413，
∵a＝167，b＝89，c＝413，
∴a＞b＞c，
∴a，b，c的大小关系是：a＞b＞c，
故答案为：a＞b＞c．
【举一反三4】阅读下面的材料：
解决下列问题：
(1)比较344，433，522的大小；
(2)比较8131，2741，961的大小．
【答案】解：(1)∵344＝(34)11＝8111，
433＝(43)11＝6411，
522＝(52)11＝2511，
∵81＞64＞25，
∴344＞433＞522；
(2)∵8131＝(34)31＝3124，
2741＝(33)41＝3123，
961＝(32)61＝3122，
∵124＞123＞122，
∴8131＞2741＞961．
【举一反三5】阅读和学习下面的材料：
某同学在比较355，444，533的大小时，发现55，44，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小．
解：∵355＝(35)11＝24311，444＝(44)11＝25611，533＝(53)11＝12511，
∴533＜355＜444，
请根据上述解题思路完成下题：
比较大小：若a＝2505，b＝3404，c＝5303，则a，b，c的大小关系是什么？
【答案】解：∵a＝2505＝(25)101＝32101，
b＝3404＝(34)101＝81101，
c＝5303＝(53)101＝125101，
∴32101＜81101＜125101，
∴a＜b＜c．
【题型2】有关积的乘方的综合运算
【典型例题】计算＝( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】．
故答案为：B．
【举一反三1】计算的结果是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：B．
【举一反三2】计算：的结果是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】．
故选：D．
【举一反三3】计算： ．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
【举一反三4】计算：．
【答案】解：．
【举一反三5】计算：.
【答案】解：．
【题型3】积的乘方运算
【典型例题】计算(2x)2的结果是( )
A.2x2 B.4x2 C.4x D.2x
【答案】B
【解析】(2x)2＝22×x2＝4x2．
故选：B．
【举一反三1】计算：(﹣a)3的结果是( )
A.﹣a3 B.﹣a4 C.a3 D.a4
【答案】A
【解析】(﹣a)3＝(﹣1)3 a3＝﹣a3．
故选：A．
【举一反三2】计算：(3a)2＝( )
A.5a B.3a2 C.6a2 D.9a2
【答案】D
【解析】∵(3a)2＝32×a2＝9a2，
故选：D．
【举一反三3】计算﹣(﹣3a)2的结果是 ．
【答案】﹣9a2
【解析】﹣(﹣3a)2＝﹣9a2．
故答案为：﹣9a2．
【举一反三4】计算：(1) ；(2)= ．
【答案】(1) (2)
【解析】()，
故答案为：；
(2)，
故答案为：．
【举一反三5】计算：
(1)；
(2).
【答案】解：(1) ；
(2) ．
【题型4】利用同底数幂的乘法求待定字母的值
【典型例题】计算a3 a2＝am，则m的值为( )
A.5 B.6 C.8 D.9
【答案】A
【解析】a3 a2＝a5＝am，
则m＝5，
故选：A.
【举一反三1】如果a2n﹣1an+5＝a16，a≠1，那么n的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】A
【解析】∵a2n﹣1an+5＝a16，
∴a2n﹣1+n+5＝a16，
即a3n+4＝a16，
∴3n+4＝16，
解得：n＝4.
故选：A.
【举一反三2】如果xn＝y，那么我们规定(x，y)＝n.例如：因为32＝9，所以(3，9)＝2.若(m，16)+(m，5)＝(m，t)，则t＝ .
【答案】80
【解析】设(m，16)＝p，(m，5)＝q，(m，t)＝r，
∴mp＝16，mq＝5，mr＝t，
∵(m，16)+(m，5)＝(m，t)，
∴p+q＝r，
∴mp+q＝mr，
∴mp×mq＝mr，
即16×5＝t，
∴t＝80.
故答案为：80.
【举一反三3】[阅读理解]阅读下列内容，观察分析，回答问题：
Ⅰ.33×34＝(3×3×3)×(3×3×3×3)＝37；
Ⅱ.53×54＝(5×5×5)×(5×5×5×5)＝57；
Ⅲ.a3×a4＝(a×a×a)×(a×a×a×a)＝a7.
[概括总结]通过以上分析，填空：
(m、n为正整数).
(1)在上述分析过程中：①所在括号中填 ，②所在括号中填 .
[应用与拓展]：
计算：
(2)105×104＝ ；
(3)a a3 a7＝ ；
(4)如果x是不等于1的正数，且xn x3n+3＝x35，求n的值.
【答案】解：(1)∵.
故答案为：m+n，m+n；
(2)105×104＝109；
故答案为：109；
(3)a a3 a7＝a11，
故答案为：a11；
(4)∵xn x3n+3＝x35，且x是不等于1的正数，
∴4n+3＝35，解得n＝8，
∴n的值为8.
【举一反三4】如果xm﹣n x2n+1＝x11，且ym﹣1 y4﹣n＝y7，求m，n的值.
【答案】解：∵xm﹣n x2n+1＝xm+n+1＝x11，且ym﹣1 y4﹣n＝ym﹣n+3＝y7，
∴，
解得，
即m＝7，n＝3.
【题型5】利用积的乘方进行整体代入求值
【典型例题】若为正整数．且，则的值为( )
A.4 B.16 C.64 D.192
【答案】D
【解析】
，
故选D．
【举一反三1】若，则( )
A.36 B.54 C.108 D.120
【答案】C
【解析】∵，
∴．
故选：C．
【举一反三2】已知，，则 ．
【答案】12
【解析】，
把，代入，原式．
【举一反三3】已知，则的值是 ．
【答案】
【解析】
，
当为奇数时，原式，当为偶数时，原式，
∴原式，
故答案为：．
【举一反三4】若，，求的值．
【答案】解：
.
【题型6】利用积的乘方求未知字母的值
【典型例题】已知，则的值为( )
A.3 B. C.4 D.
【答案】C
【解析】，
，即，
，
解得：．
故选：C．
【举一反三1】若，那么的值是( )
A.6 B.4 C.3 D.5
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【举一反三2】若成立，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
解得．
故选：C．
【举一反三3】若，则 ．
【答案】1
【解析】由可得，，
即，
，
解得，
故答案为：1．
【举一反三4】计算：若，则 ．
【答案】3
【解析】∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
【举一反三5】如果成立，那么整数m和n的差是多少？
【答案】解：∵，
∴，
解得：，
即：．
【题型7】逆用积的乘方运算
【典型例题】计算的结果是( )
A. B. C.1 D.
【答案】A
【解析】
，
故选：A．
【举一反三1】运算结果，正确的是( )
A. B. C.4 D.
【答案】B
【解析】
．
故选：B．
【举一反三2】计算 ．
【答案】
【解析】原式
．
故答案为：．
【举一反三3】 ．
【答案】
【解析】
．
故答案为：．
【举一反三4】(1)计算：①与；
②与；
③与；
(2)根据以上计算结果猜想：，，分别等于什么？(直接写出结果)
(3)利用上述结论，求的值．
【答案】解：(1)①，．
②，．
③，．
(2)，，．
(3)原式．
【题型8】底数是多项式的同底数幂的除法
【典型例题】计算：结果用幂的形式表示(a﹣b)9÷(b﹣a)4＝ ．
【答案】(a﹣b)5
【解析】(a﹣b)9÷(b﹣a)4
＝(a﹣b)9÷(a﹣b)4
＝(a﹣b)5．
故答案为：(a﹣b)5．
【举一反三1】(p﹣q)4÷(q﹣p)3＝ ．
【答案】q﹣p
【解析】原式＝(q﹣p)4÷(q﹣p)3＝q﹣p，
故答案为：q﹣p．
【举一反三2】计算：．
【答案】解：原式
．
【举一反三3】计算：．
【答案】解：原式
．
【题型9】底数是单项式的同底数幂的除法
【典型例题】下列计算正确的是( )
A.x10÷(x7÷x2)＝x5 B.(xy)8÷(xy)4＝(xy)2 C.x4n÷x2n x2n＝1 D.x2(m+1)÷xm+1＝x2
【答案】A
【解析】A.x10÷(x7÷x2)＝x5，故A符合题意；
B.(xy)8÷(xy)4＝(xy)4，故B不符合题意；
C.x4n÷x2n x2n＝x4n，故C不符合题意；
D.x2(m+1)÷xm+1＝xm+1，故D不符合题意；
故选：A．
【举一反三1】下列各式，计算结果为a6的是( )
A.a2+a4 B.a7÷a C.a2 a3 D.(a2)4
【答案】B
【解析】A.a2+a4，无法计算，故此选项错误；
B.a7÷a＝a6，故此选项正确；
C.a2 a3＝a5，故此选项错误；
D.(a2)4＝a8，故此选项错误．
故选：B．
【举一反三2】计算：
(1)b2m÷bm＝ ；
(2)﹣y3m﹣3÷ym+1＝ ．
【答案】(1)bm (2)﹣y2m﹣4
【解析】(1)原式＝b2m﹣m＝bm；
(2)原式＝﹣y3m﹣3﹣m﹣1＝﹣y2m﹣4.
【举一反三3】我们知道，同底数幂的除法法则为am÷an＝am﹣n(其中a≠0，m，n为正整数)，类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f(m﹣n)＝f(m)÷f(n)(其中f(m)，f(n)都为正数)，请根据这种新运算填空：
(1)若f(2)＝4，f(3)＝8，则f(1)＝ ；
(2)若f(2000)＝k，f(2)＝4，那么f(500)＝ (用含k的代数式表示，其中k＞0)．
【答案】(1)2 (2)
【解析】(1) f(1)＝f(3﹣2)＝f(3)÷f(2)＝8÷4＝2，
故答案为：2；
(2)∵f(2000)＝k，f(2)＝4，
∴f(1998)＝f(2000﹣2)＝f(2000)÷f(2)＝k÷4，
f(1996)＝f(1998﹣2)＝f(1998)÷f(2)4，
…
f(500)＝f(502﹣2)＝f(502)÷f(2)，
故答案为：．
【举一反三4】阅读下列材料：
若a，b两数满足，则称x为b的“对数”，记作，如，所以．
请根据以上规定，回答下列问题：
(1)根据上述规定要求，请完成填空：
，_________，(， )．
(2)计算．
【答案】解：(1)∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为3；4；.
(2)设，则有，
∴，
∴，
∴．
【举一反三5】计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】解：(1)；
(2)；
(3)．
【题型10】应用同底数幂的除法求未知字母的值
【典型例题】若xa÷x＝x5，则a的值为( )
A. B. C.5 D.6
【答案】D
【解析】∵xa÷x＝x5，
∴xa﹣1＝x5，
∴a﹣1＝5，
解得：a＝6．
故选：D．
【举一反三1】已知x6÷x3＝xm，则m的值为( )
A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2
【答案】A
【解析】x6÷x3＝x6﹣3＝x3，
∴x3＝xm，
∴m＝3．
故选：A．
【举一反三2】若3×27n÷9＝320，则n＝ ．
【答案】7
【解析】∵3×27n÷9＝3×33n÷32＝31+3n﹣2＝320，
∴1+3n﹣2＝20，
解得n＝7．
故答案为：7．
【举一反三3】若am an＝a4，am÷an＝a8，求mn的值．
【答案】解：∵am an＝a4，am÷an＝a8，
∴，
解得，
∴mn＝6×(﹣2)＝﹣12．
【举一反三4】已知2x+4÷2﹣2x＝112，求x的值．
【答案】解：2x+4÷2﹣2x＝16 2x÷2﹣2x＝7×2x＝112，
得到2x＝16，
则x＝4．
【题型11】底数是多项式的同底数幂的乘法
【典型例题】计算(x﹣y)(y﹣x)2的结果是( )
A.(y﹣x)3 B.(x﹣y)3 C.﹣(y﹣x)2 D.﹣(x﹣y)2
【答案】B
【解析】 (x﹣y)(y﹣x)2＝(x﹣y)(x﹣y)2＝(x﹣y)3．
故选：B．
【举一反三1】(a﹣b)m (b﹣a)2与(a﹣b)m+2的关系是( )
A.相等
B.互为相反数
C.当m为偶数时互为相反数，当m为奇数时相等
D.当m为偶数时相等，当m为奇数时为互为相反数
【答案】A
【解析】(a﹣b)m (b﹣a)2＝(a﹣b)m (a﹣b)2＝(a﹣b)m+2，
故选：A．
【举一反三2】若m为奇数，则(a﹣b)m (b﹣a)n与(b﹣a)m+n的结果是( )
A.相等 B.互为相反数 C.不相等 D.以上说法都不对
【答案】B
【解析】∵m为奇数，
∴(a﹣b)m (b﹣a)n＝﹣(b﹣a)m (b﹣a)n＝﹣(b﹣a)m+n，
故(a﹣b)m (b﹣a)n与(b﹣a)m+n互为相反数．
故选：B．
【举一反三3】计算(x﹣y)(y﹣x)2的结果是( )
A.(y﹣x)3 B.(x﹣y)3 C.﹣(y﹣x)2 D.﹣(x﹣y)2
【答案】B
【解析】 (x﹣y)(y﹣x)2＝(x﹣y)(x﹣y)2＝(x﹣y)3．
故选：B．
【举一反三4】下列各题能用同底数幂乘法法则进行计算的是( )
A.(x﹣y)2(x+y)3 B.(﹣x﹣y)(x+y)2 C.(x+y)2+(x+y)2 D.﹣(x﹣y)2(﹣x﹣y)3
【答案】B
【解析】A.(x﹣y)2与(x+y)3的底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故A不符合题意；
B.(﹣x﹣y)＝﹣(x+y)，与(x+y)2的底数一样，能用同底数幂的乘法的法则运算，故B符合题意；
C.(x+y)2+(x+y)2只能用合并同类项的法则运算，故C不符合题意；
D.(﹣x﹣y)3＝﹣(x+y)3，与﹣(x﹣y)2的底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故D不符合题意；
故选：B．
【举一反三5】计算：(x﹣y) (y﹣x)2 (x﹣y)3＝ ．
【答案】(x﹣y)6
【解析】 (x﹣y) (y﹣x)2 (x﹣y)3＝(x﹣y) (x﹣y)2 (x﹣y)3＝(x﹣y)6．
故答案为：(x﹣y)6．
【举一反三6】(x+y)(x+y)3＝ ．
【答案】(x+y)4
【解析】(x+y)(x+y)3＝(x+y)4．
故答案为：(x+y)4．
【举一反三7】(a﹣b)3 (a﹣b)2 (b﹣a)＝ ．
【答案】﹣(a﹣b)6
【解析】(a﹣b)3 (a﹣b)2 (b﹣a)
＝﹣(a﹣b)3 (a﹣b)2 (a﹣b)
＝﹣(a﹣b)6．
故答案为：﹣(a﹣b)6．
【举一反三8】(x+y)(x+y)3＝ ．
【答案】(x+y)4
【解析】(x+y)(x+y)3＝(x+y)4．
故答案为：(x+y)4．
【题型12】利用同底数幂的乘法求字母间的关系
【典型例题】如果xn＝y，那么我们规定(x，y)＝n．例如：因为32＝9，所以(3，9)＝2．记(4，12)＝a，(4，5)＝b，(4，60)＝c．则a、b和c的关系是( )
A.ab＝c B.ab＝c C.a+b＝c D.无法确定
【答案】C
【解析】由题意得，4a＝12，4b＝5，4c＝60．
∴4a 4b＝4c．
∴4a+b＝4c．
∴a+b＝c．
故选：C．
【举一反三1】已知2a＝3，2b＝6，2c＝18，那么a，b，c之间满足的等量关系成立的是( )
A.c＝2b﹣1 B.c＝a+b C.b＝a﹣1 D.c＝ab
【答案】B
【解析】∵2a＝3，2b＝6，2c＝18，
∵18＝3×6，
∴2c＝2a×2b＝2a+b，
∴c＝a+b，
故选：B．
【举一反三2】已知3x＝5，3y＝10，3z＝50，那么下列关于x，y，z之间满足的等量关系正确的是( )
A.x+y＝z B.xy＝z C.2x+y＝z D.2xy＝z
【答案】A
【解析】∵3x＝5，3y＝10，3z＝50，
∴3z＝5×10，
3z＝3x×3y，
3z＝3x+y，
∴z＝x+y．
故选：A．
【举一反三3】已知2x＝8，2y＝5，2z＝40，那么下列关于x，y，z之间满足的等量关系正确的是( )
A.x+y＝z B.xy＝z C.2x+y＝z D.2xy＝z
【答案】A
【解析】∵2x＝8，2y＝5，2z＝40，
∴2z＝5×8，2z＝2x×2y，
∴2z＝2x+y，
∴z＝x+y．
故选A．
【举一反三4】如果xn＝y，那么我们规定(x，y)＝n．例如：因为32＝9，所以(3，9)＝2．记(4，12)＝a，(4，5)＝b，(4，60)＝c．则a、b和c的关系是( )
A.ab＝c B.ab＝c C.a+b＝c D.无法确定
【答案】C
【解析】由题意得，4a＝12，4b＝5，4c＝60．
∴4a 4b＝4c．
∴4a+b＝4c．
∴a+b＝c．
故选：C．
【举一反三5】已知2a＝3，2b＝5，2c＝30，求a，b，c之间的关系．
【答案】解：∵2a＝3，2b＝5，2c＝30，
∴2a·2b＝15，
∴2·2a·2b＝30，
∴2a+b+1＝2c，
∴a+b+1＝c．
【举一反三6】我们约定a☆b＝10a×10b，如2☆3＝102×103＝105．
(1)试求12☆3和4☆8的值；
(2)(a+b)☆c是否与a☆(b+c)相等？并说明理由．
【答案】解：(1)12☆3＝1012×103＝1015；
4☆8＝104×108＝1012；
(2)相等，理由如下：
∵(a+b)☆c＝10a+b×10c＝10a+b+c，
a☆(b+c)＝10a×10b+c＝10a+b+c，
∴(a+b)☆c＝a☆(b+c)．
【题型13】同底数幂除法的逆运算
【典型例题】如果，，那么的值是( )
A.15 B.9 C.36 D.4
【答案】D
【解析】∵，，
∴．
故选：D．
【举一反三1】已知，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，
∴
．
故选：D．
【举一反三2】已知，，则= ．
【答案】3
【解析】，
故答案为：3．
【举一反三3】已知，，， 求 的值．
【答案】解：∵，，，
∴
.
【举一反三4】已知，求的值．
【答案】解：∵，
∴，
=
=
=
=
=．
【题型14】幂的乘方运算法则
【典型例题】( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原式，
故选：A．
【举一反三1】计算(a4)3的结果是( )
A.a7 B.﹣a7 C.﹣a12 D.a12
【答案】D
【解析】原式＝a4×3＝a12．
故选：D．
【举一反三2】计算：(102)5＝ ．
【答案】1010
【解析】(102)5＝102×5＝1010．
故答案为：1010．
【举一反三3】计算： ； ； ．
【答案】64； ；
【解析】，，；
故答案为：64；；.
【举一反三4】一般地，n个相同因数a相乘，即，记作an，这种运算叫做乘方，由乘方的意义，我们可以得到：(102)3＝102×102×102＝10×10×10×10×10×10＝106，自己换几个数试试，例如：．
(1)发现：(23)5＝ ，(am)2＝ ；
(2)归纳概括：(am)n＝ (m，n都是正整数)；
(3)利用(2)的公式，请计算：5(a4)3﹣15(a2)6．
【答案】解：(1)(23)5＝23×23×23×23×23＝215；
(am)2＝am×am＝a2m，
故答案为：215，a2m；
(2)(am)namn，
故答案为：amn；
(3)5(a4)3﹣15(a2)6＝5a12﹣15a12＝﹣10a12．
【题型15】积的乘方的实际应用问题
【典型例题】新华广场为正方形广场，其边长为，其面积用科学记数法表示为：( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】面积为，即，
故选：D.
【举一反三1】为加快中心城市建设，市政府拟建多个城市休闲文化广场或公园，已知某正方形公园的边长为，其面积用科学记数法表示为，则n为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】B
【解析】，
∴．
故选：B．
【举一反三2】一个正方体的棱长为，则它的体积是 (结果用科学记数法表示)．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
【举一反三3】若一个正方形的周长为，则这个正方形的面积是 ．
【答案】
【解析】因为这个正方形的周长为，
所以这个正方形的边长为，
所以这个正方形的面积是．
故答案为：．
【举一反三4】课上，同学们一起利用球的体积公式计算出地球的体积约是，接着老师问道：“太阳的半径约是地球的倍，那么太阳的体积约是多少立方千米呢”，你能迅速求出结果吗？
【答案】解：，若代表地球的半径，则太阳的半径为，
，
，
，
即太阳的体积约是．
【题型16】幂的乘方运算的逆用
【典型例题】已知3m＝4，9n＝3，则9m+n＝( )
A.7 B.12 C.24 D.48
【答案】D
【解析】∵3m＝4，9n＝3，
∴9m+n＝9m·9n＝(3m)2·9n＝42×3＝48，故D正确．
故选：D．
【举一反三1】已知3m+2n﹣3＝0，则23m×4n的值是( )
A. B. C.﹣8 D.8
【答案】D
【解析】∵3m+2n﹣3＝0，
∴3m+2n＝3，
∴23m×4n＝23m×22n＝23m+2n＝23＝8．
故选：D．
【举一反三2】若x+2y＝3，则4x 16y的值是( )
A.12 B.16 C.32 D.64
【答案】D
【解析】4x 16y＝(22)x (24)y
＝22x 24y＝22x+4y
＝22(x+2y)
＝26
＝64．
故选：D．
【举一反三3】如果a+3b﹣4＝0，那么3a 27b＝ ．
【答案】81
【解析】∵a+3b﹣4＝0，
∴a+3b＝4，
则3a 27b＝3a×33b＝3a+3b＝34＝81．
故答案为：81．
【举一反三4】(1)已知，求的值；
(2)已知为正整数，且，求的值．
【答案】解：(1)∵，
∴，
；
(2)，
∵，
∴．
【题型17】底数是单项式的同底数幂的乘法
【典型例题】y2m+2可以改写成( )
A.2ym+1 B.y2 ym+1 C.y2m+y2 D.y2m y2
【答案】D
【解析】y2m y2＝y2m+2，
故选：D．
【举一反三1】下列运算正确的是( )
A.a2 a3＝2a5 B.a2 a3＝2a6 C.a2 a3＝a5 D.a2 a3＝a6
【答案】C
【解析】a2 a3＝a5，故选：C．
【举一反三2】计算x〇x2＝x3，则“〇”中的运算符号为( )
A.+ B.﹣ C.× D.÷
【答案】C
【解析】∵x x2＝x3，
∴“〇”中的运算符号为：×，
故选：C．
【举一反三3】计算x3 x5 x4﹣x x9 x2＝ ．
【答案】0
【解析】x3 x5 x4﹣x x9 x2＝x12﹣x12＝0，
故答案为：0．
【举一反三4】计算：a (﹣a5) (﹣a6) (﹣a)7 (﹣a)2．
【答案】解：a (﹣a5) (﹣a6) (﹣a)7 (﹣a)2＝a (﹣a5) (﹣a6) (﹣a7) a2＝﹣a21．
【题型18】运用同底数幂的乘法求代数式的值
【典型例题】若3x+3＝243，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵3x+3＝243，
∴3x×33＝243，
27×3x＝243，
3x＝9，
∴．
故选：A．
【举一反三1】已知2m＝a，2n＝b，m，n为正整数，则2m+n为( )
A.a+b B.ab C.2ab D.a2+b2
【答案】B
【解析】因为2m＝a，2n＝b(m、n为正整数)，
所以2m+n＝2m 2n＝ab．
故选：B．
【举一反三2】10x＝a，10y＝b，则10x+y+2＝( )
A.2ab B.a+b C.a+b+2 D.100ab
【答案】D
【解析】10x+y+2＝10x×10y×102＝100ab．
故选：D．
【举一反三3】若2m+3n﹣2＝0，则代数式32m 33n＝ ．
【答案】9
【解析】∵2m+3n﹣2＝0，
∴2m+3n＝2，
∴32m 33n＝32m+3n＝32＝9．
故答案为：9．
【举一反三4】已知，2b＝24，则a+b的值是 ．
【答案】3
【解析】∵，2b＝24，
∴2a 2b，
∴2a+b＝8＝23，
∴a+b＝3．
故答案为：3．
【举一反三5】(1)已知xm﹣n x2n+1＝x11，且ym﹣1 y4﹣n＝y5，求m，n的值．
(2)已知2x+2＝6，求2x+5的值．
【答案】解：(1)∵xm﹣n x2n+1＝x11，ym﹣1 y4﹣n＝y5，
∴xm﹣n+2n+1＝x11，ym﹣1+4﹣n＝y5，
∴，
解得：；
(2)当2x+2＝6时，
2x+5＝2x+2+3＝2x+2×23＝6×8＝48．
【举一反三6】我们知道，同底数幂的乘法法则为am an＝am+n(其中a≠0，m、n为正整数)，类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f(m) f(n)＝f(m+n)(其中m、n为正整数)．
例如，若f(3)＝2，则f(6)＝f(3+3)＝f(3) f(3)＝2×2＝4．f(9)＝f(3+3+3)＝f(3) f(3) f(3)＝2×2×2＝8．
(1)若f(2)＝5，
①填空：f(6)＝ ；
②当f(2n)＝25，求n的值；
(2)若f(a)＝3，化简：f(a) f(2a) f(3a) … f(10a)．
【答案】解：(1)①∵f(2)＝5，
∴f(6)＝f(2+2+2)＝f(2) f(2) f(2)＝5×5×5＝125；
故答案为：125；
②∵25＝5×5＝f(2) f(2)＝f(2+2)，
f(2n)＝25，
∴f(2n)＝f(2+2)，
∴2n＝4，
∴n＝2；
(2)∵f(2a)＝f(a+a)＝f(a) f(a)＝3×3＝31+1＝32，
f(3a)＝f(a+a+a)＝f(a) f(a) f(a)＝3×3×3＝31+1+1＝33，
…，
f(10a)＝310，
∴f(a) f(2a) f(3a) … f(10a)
＝3×32×33×…×310
＝31+2+3+…+10
＝355．
【题型19】利用幂的乘方运算求待定字母的值
【典型例题】如果(a3)6＝218，则a等于( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.以上都不对
【答案】C
【解析】(a3)6＝a18，
则a＝±2．
故选：C．
【举一反三1】若23×4m＝211，则m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】23×4m＝23×(22)m＝23×22m＝22m+3＝211，
则2m+3＝11，
解得：m＝4，
故选：C．
【举一反三2】若，则 ．
【答案】3
【解析】，
∴，
∴，
故答案为：．
【举一反三3】定义一种幂的新运算：xa xb＝xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题：
(1)求22 23的值；
(2)若2p＝3，2q＝5，3q＝7，求2p 2q的值；
(3)若运算3 3t的结果为108，则t的值是多少？
【答案】解：(1)22 23
＝22×3+22+3
＝26+25
＝64+32
＝96；
(2)当2p＝3，2q＝5，3q＝7时，
2p 2q
＝2pq+2p+q
＝(2p)q+2p×2q
＝3q+3×5
＝7+15
＝22；
(3)3 3t＝108，
3t+31+t＝108，
3t+3×3t＝108，
4×3t＝4×27，
3t＝27，
3t＝33，
则t＝3．
【举一反三4】计算：
(1)已知，求n的值．
(2)已知，求m的值．
【答案】(1)解：，
∴，
解得：；
(2)，
，
即，
，
解得．
【题型20】与同底数幂除法有关的综合运算
【典型例题】代数是数学发展史上的里程碑，计算(﹣a2)3÷(﹣a)2＝( )
A.a2 B.﹣a4 C.﹣a2 D.a4
【答案】B
【解析】(﹣a2)3÷(﹣a)2＝﹣a6÷a2＝﹣a4，
故选：B．
【举一反三1】计算(x3)2÷x2，正确的结果是( )
A.x2 B.x3 C.x4 D.x5
【答案】C
【解析】(x3)2÷x2＝x6÷x2＝x4，
故选：C．
【举一反三2】计算：(﹣y2)4÷y4 (﹣y)3＝ ．
【答案】﹣y7
【解析】(﹣y2)4÷y4·(﹣y)3
＝y8÷y4·(﹣y3)
＝y4·(﹣y3)
＝﹣y7，
故答案为：﹣y7．
【举一反三3】计算：y3 y2﹣(3y2)3+y9÷y4．
【答案】解：y3 y2﹣(3y2)3+y9÷y4
＝y5﹣27y6+y5
＝2y5﹣27y6．
