11.2整式的乘法
【知识点1】多项式乘多项式 1
【知识点2】单项式乘单项式 2
【知识点3】单项式乘多项式 2
【题型1】利用单项式乘多项式法则进行计算 3
【题型2】利用单项式乘单项式的法则进行计算 3
【题型3】利用运算法则求未知字母的值 3
【题型4】单项式乘多项式的实际应用问题 4
【题型5】单项式乘单项式的实际应用问题 5
【题型6】利用多项式乘多项式法则进行计算 6
【题型7】利用多项式乘多项式求待定字母的值 6
【题型8】与多项式乘多项式有关的混合运算 7
【题型9】利用单项式乘多项式进行化简求值问题 7
【题型10】与多项式乘多项式有关的化简求值问题 8
【题型11】多项式乘多项式的实际应用问题 8
【题型12】利用运算法则求未知字母的值 9
【题型13】有关单项式乘法的混合运算 9
【知识点1】多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
1.（2025春 贵阳期末）长方形的一边长为2a+b,另一边比它小a-b,则长方形面积为（ ）
A．2a2+ab-b2 B．2a2+ab
C．4a2+4ab+b2 D．2a2+5ab+2b2
【知识点2】单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
1.（2025 宝安区模拟）下列运算正确的是（ ）
A．3a3 3a=6a4 B．（a+b）2=a2+b2
C．（-2a）2=-4a2 D．（10a2b-6ab）÷2ab=5a-3
2.（2025春 包河区期末）下列计算正确的是（ ）
A．a2 a2=2a2 B．（a3）2=a5
C．（-2a）2 a=4a3 D．a6÷a2=a3
【知识点3】单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
1.（2025春 镇江月考）若关于x,y的多项式（-mx+3）x-x2（3x+5）的结果中不含x2项，则m的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-5
2.（2025春 新郑市月考）一个长方体箱子的长、宽、高分别为2x+2，x,2x,则这个箱子的体积为（ ）
A．4x2+4x B．4x3+4x2 C．4x3+4x D．4x2+4
【题型1】利用单项式乘多项式法则进行计算
【典型例题】计算：a(a+2)﹣2a＝( )
A.2 B.a2 C.a2+2a D.a2﹣2a
【举一反三1】计算：2m2n(m﹣3mn2)＝( )
A.2m3n﹣6m3n3 B.2m3n﹣3m3n3 C.2mn2﹣6m3n3 D.2m2n+6m3n3
【举一反三2】计算：x(2﹣y)＝ ．
【举一反三3】计算： ．
【举一反三4】计算：(﹣4x) (2x2+3x﹣1)．
【题型2】利用单项式乘单项式的法则进行计算
【典型例题】(﹣2xmyn) (﹣0.5x2yn)的结果是( )
A.x2m+1y2n﹣2 B. C. D.
【举一反三1】计算：( )
A.3x4y5 B.﹣3x4y5 C.3x3y6 D.﹣3x3y6
【举一反三2】计算： ．
【举一反三3】计算：﹣2x2yz (xy2z) (9xyz2)．
【题型3】利用运算法则求未知字母的值
【典型例题】若单项式﹣8xa﹣1y和的积为﹣2x5y6，则(ab)9÷(ab)4÷(ab)3的值为( )
A.﹣25 B.25 C.﹣625 D.625
【举一反三1】已知单项式6am+1bn+1与﹣4a2m﹣1b2n﹣1的积与7a3b6是同类项，则mn的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三2】已知单项式2a3y2与﹣4a2y4的积为ma5yn，则m+n＝ ．
【举一反三3】若﹣xmy2和3x3y2m+n的积与2x5y3是同类项，则m+n的值为 ．
【举一反三4】若﹣2x2m﹣1与yn﹣4与7x1﹣nym﹣1的积与x7y3是同类项，求m、n的值．
【举一反三5】已知3x+1×2x﹣3x×2x+1＝63x+4，求x的值．
【题型4】单项式乘多项式的实际应用问题
【典型例题】若长方形的一边长为，另一边比它长，则这个长方形的面积是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】一个长方形的长为x，宽比长的一半多1，则这个长方形的面积为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】已知一个长方体盒子的长为x+3，宽为2x，高为x，则这个长方体盒子的表面积为( )
A.10x2+18x B.12x2+6x C.6x2+6x D.5x2+9x
【举一反三3】一个长方形的边长分别为(x2y+y2)与4xy，则这个长方形的面积为 ．
【举一反三4】学校课外学习小组想靠着一面足够长的旧墙，开垦一块长方形的实验田，如图所示，实验田的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围起来，并在平行于墙的一边上留1米宽装门，已知现有竹篱笆长共27米．
(1)设垂直于墙面的一边长为米，则边的长用含的代数式可表示为______米；
(2)用含的代数式来表示实验田的面积；
(3)当时，实验田面积为多少平方米？
【举一反三5】如图，墨墨的爸爸将一块长分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．
(1)用含a，b的整式表示盒子的外表面的面积；
(2)若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需多少元．
【题型5】单项式乘单项式的实际应用问题
【典型例题】在一块边长为的正方形纸板中，将四个角分别剪去边长为的小正方形，然后将四周突出部分折起，折成一个无盖的盒子，则该无盖盒子的容积为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】一头非洲大象质量的最高纪录为，则头这样的大象的质量为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】光的速度约为3×105 km/s，以太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光，需要4年的时间才能到达地球．若一年以3×107 s计算，则这颗恒星到地球的距离是 km．
【举一反三3】一种计算机每秒可做4×108次运算，它工作了6×105 s，共可做 次运算．(用科学记数法表示)
【举一反三4】将如图所示的长为，宽为，高为的大理石运往某地进行建设革命历史博物馆．求每块大理石的体积．(结果用科学记数法表示)
【举一反三5】某中学一寝室前有一块长为，宽为x的空地，学校向全校师生征集这块地的绿化设计方案并要求绿地面积不少于，如图是学生小明的设计方案，阴影部分是绿地．试问小明的设计方案是否合乎要求？为什么？
【题型6】利用多项式乘多项式法则进行计算
【典型例题】计算(x﹣3)(x+2)的结果为( )
A.x2﹣6 B.x2﹣x+6 C.x2﹣x﹣6 D.x2+x﹣6
【举一反三1】下列计算正确的是( )
A.(3ab3)(﹣2ab)＝﹣6a2b3 B.(m﹣2)(m+5)＝m2﹣7m﹣10 C.(y+4)(y﹣3)＝y2+7y﹣12 D.(x+3)(x+4)＝x2+7x+12
【举一反三2】计算： ．
【举一反三3】计算：(x﹣5y)(2x+y)＝ ．
【举一反三4】计算：(2m+1)(3m﹣5)．
【举一反三5】计算：(2a﹣5b) (3a2﹣2ab)．
【题型7】利用多项式乘多项式求待定字母的值
【典型例题】若(x﹣1)(x+2)＝x2+ax+b，则a，b的值是( )
A.a＝1，b＝2 B.a＝﹣1，b＝2 C.a＝1，b＝﹣2 D.a＝﹣1，b＝﹣2
【举一反三1】若多项式乘法(x+2y)(2x﹣ky﹣1)的结果中不含xy项，则k的值为( )
A.4 B.﹣4 C.2 D.﹣2
【举一反三2】若(x+3)(x+n)＝x2+mx+6，(m，n均为实数)，则( )
A.m＝1，n＝2 B.m＝1，n＝﹣2 C.m＝5，n＝﹣2 D.m＝5，n＝2
【举一反三3】要使(x2﹣ax+6)(2x2﹣x+b)展开式中不含x2项和x3项，则a﹣b＝ ．
【举一反三4】若x+m与x+2的乘积化简后的结果中不含x的一次项，则m的值为 .
【举一反三5】若多项式x+3p与的积中不含x项与x2项．
(1)求p，q的值；
(2)求式子p99q100的值．
【举一反三6】甲、乙两人共同计算一道整式：(x+a)(2x+b)，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．
(1)求a，b的值；
(2)请计算这道题的正确结果.
【题型8】与多项式乘多项式有关的混合运算
【典型例题】符号叫做二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，根据阅读材料，化简：( )
A. B. C. D.
【举一反三1】化简 (2x+1)(x﹣2)﹣x(2x﹣3)的结果是( )
A.﹣2 B.﹣6x﹣2 C.4x2﹣2 D.4x2﹣6x﹣2
【举一反三2】化简代数式结果是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】计算：(x﹣1)(x+3)﹣x(x﹣2)＝ ．
【举一反三4】化简：(x﹣y)(x+3y)﹣x(x+2y)．
【举一反三5】计算：(y﹣2)(y2+2y+4)﹣(y2+1)(y﹣1)．
【题型9】利用单项式乘多项式进行化简求值问题
【典型例题】已知ab2＝﹣1，则﹣ab(a2b5﹣ab3﹣b)的值等于( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.无法确定
【举一反三1】当a＝﹣2时，代数式3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)的值是( )
A.﹣98 B.﹣62 C.﹣2 D.98
【举一反三2】若a2b＝2，则代数式2ab(a﹣2)+4ab＝ ．
【举一反三3】张老师让同学们计算“当a＝0.25，b＝﹣0.37时，a2+a(a+b)﹣2a2﹣ab的值”．小刚说，不用条件就可以求出结果．你认为他说得对吗？
【题型10】与多项式乘多项式有关的化简求值问题
【典型例题】当x2+x＝5时，(1﹣x)(2+x)的值是( )
A.3 B.﹣3 C.7 D.﹣7
【举一反三1】已知a2﹣3a+1＝0，则(a+1)(a﹣4)的值为( )
A.不确定 B.5 C.﹣3 D.﹣5
【举一反三2】已知，则的值为 ．
【举一反三3】若，则的值为 ．
【举一反三4】先化简，再求值：，其中a为最大的负整数．
【题型11】多项式乘多项式的实际应用问题
【典型例题】设有边长分别为a和b(a＞b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【举一反三1】如图，甲、乙两个长方形，它们的长和宽如图所示(a＞1)，则两个长方形面积S甲与S乙的大小关系是( )
A.S甲＝S乙 B.S甲＞S乙 C.S甲＜S乙 D.无法确定
【举一反三2】如果长方形的长为4a2﹣2a+1，宽为2a+1，那么长方形的面积为 ．
【举一反三3】如图：已知长方形纸片ABCD长为3a+1，宽为b+3，裁去一个长为2a+1，宽为b+1的长方形AEFG，则剩余部分面积为 ．
【举一反三4】明明家有一个长方形的鱼塘，宽为a米，长是宽的两倍．今年为了扩大养殖规模，长增加了8米，宽增加了6米．问：这个鱼塘面积增加了多少平方米？
【举一反三5】某中学八年级的学生人数比七年级学生多．某天做广播操时(七、八年级学生均无缺席)，八年级排成的是一个规范的长方形方阵，每排(3a+b)人，站有(2a+2b)排；七年级站的正方形方阵，排数和每排人数都是2(a+b)，其中a＞b．
(1)求该学校八年级比七年级多多少名学生？(用a与b的代数式表示)
(2)当a＝10，b＝2时，求该学校八年级比七年级多多少名学生．
【题型12】利用运算法则求未知字母的值
【典型例题】若要使x(x2+a)+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立，则a，b的值分别是( )
A.﹣2，﹣2 B.2，2 C.2，﹣2 D.﹣2，2
【举一反三1】要使x(x+2a)+2x﹣2b＝x2+6x+8成立，则a，b的值分别为( )
A.a＝﹣2，b＝﹣4 B.a＝2，b＝4 C.a＝2，b＝﹣4 D.a＝﹣2，b＝4
【举一反三2】如果(x2﹣a)x+x的展开式中只含有x3这一项，那么a的值为 ．
【举一反三3】对于任意的x、y，若存在a、b使得8x+y(a﹣2b)＝ax﹣2b(x﹣2y)恒成立，则a+b＝ ．
【举一反三4】已知计算(5﹣3x+mx2﹣6x3) (﹣2x2)﹣x(﹣3x3+nx﹣1)的结果中不含x4和x2的项，求m、n的值．
【题型13】有关单项式乘法的混合运算
【典型例题】计算(﹣ab)3(﹣3b)2的结果是( )
A.﹣9a3b6 B.9a3b2 C.9a3b6 D.﹣9a3b5
【举一反三1】计算(2.5×103)3×(﹣0.8×102)2的结果是( )
A.6×1013 B.﹣6×1013 C.2×1013 D.1014
【举一反三2】计算：(﹣2x)3(﹣xy2)＝ ．
【举一反三3】计算的结果等于 ．
【举一反三4】计算：(﹣3a2b)2 (﹣a2c3)3．
【举一反三5】计算：﹣(﹣2a)3 (﹣b3)2+(﹣3ab2)3．11.2整式的乘法
【知识点1】多项式乘多项式 1
【知识点2】单项式乘单项式 2
【知识点3】单项式乘多项式 3
【题型1】利用单项式乘多项式法则进行计算 4
【题型2】利用单项式乘单项式的法则进行计算 5
【题型3】利用运算法则求未知字母的值 6
【题型4】单项式乘多项式的实际应用问题 7
【题型5】单项式乘单项式的实际应用问题 10
【题型6】利用多项式乘多项式法则进行计算 12
【题型7】利用多项式乘多项式求待定字母的值 13
【题型8】与多项式乘多项式有关的混合运算 16
【题型9】利用单项式乘多项式进行化简求值问题 17
【题型10】与多项式乘多项式有关的化简求值问题 18
【题型11】多项式乘多项式的实际应用问题 20
【题型12】利用运算法则求未知字母的值 23
【题型13】有关单项式乘法的混合运算 24
【知识点1】多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
1.（2025春 贵阳期末）长方形的一边长为2a+b,另一边比它小a-b,则长方形面积为（ ）
A．2a2+ab-b2 B．2a2+ab
C．4a2+4ab+b2 D．2a2+5ab+2b2
【答案】D
【分析】根据题意求出长方形另一边长，根据多项式与多项式相乘的法则计算即可．
【解答】解：长方形另一边长为2a+b-（a-b）=a+2b,
则长方形面积为：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，
故选：D．
【知识点2】单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
1.（2025 宝安区模拟）下列运算正确的是（ ）
A．3a3 3a=6a4 B．（a+b）2=a2+b2
C．（-2a）2=-4a2 D．（10a2b-6ab）÷2ab=5a-3
【答案】D
【分析】根据单项式乘单项式、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、多项式除以单项式法则分别计算判断即可．
【解答】解：A、3a3 3a=9a4，故此选项不符合题意；
B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项不符合题意；
C、（-2a）2=4a2，故此选项不符合题意；
D、（10a2b-6ab）÷2ab=5a-3，故此选项不符合题意；
故选：D．
2.（2025春 包河区期末）下列计算正确的是（ ）
A．a2 a2=2a2 B．（a3）2=a5
C．（-2a）2 a=4a3 D．a6÷a2=a3
【答案】C
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；单项式乘单项式法则；同底数幂相除，底数不变，指数相减分别计算判断即可．
【解答】解：A、a2 a2=a4，故此选项不符合题意；
B、（a3）2=a6，故此选项不符合题意；
C、（-2a）2 a=4a2 a=4a3，故此选项符合题意；
D、a6÷a2=a4，故此选项不符合题意；
故选：C．
【知识点3】单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
1.（2025春 镇江月考）若关于x,y的多项式（-mx+3）x-x2（3x+5）的结果中不含x2项，则m的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-5
【答案】D
【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则计算，然后根据结果中不含x2项，即可求出m的值．
【解答】解：原式=-mx2+3x-3x3-5x2
=-（5+m）x2+3x-3x3，
由条件可知-（5+m）=0，
∴m=-5，
故选：D．
2.（2025春 新郑市月考）一个长方体箱子的长、宽、高分别为2x+2，x,2x,则这个箱子的体积为（ ）
A．4x2+4x B．4x3+4x2 C．4x3+4x D．4x2+4
【答案】B
【分析】先通过长方体的体积计算方法，列出乘法式子，然后进行计算即可．
【解答】解：列出乘法式子可得：
x （2x+2） 2x
=4x3+4x2，
故选：B．
【题型1】利用单项式乘多项式法则进行计算
【典型例题】计算：a(a+2)﹣2a＝( )
A.2 B.a2 C.a2+2a D.a2﹣2a
【答案】B
【解析】原式＝a2+2a﹣2a＝a2．
故选：B．
【举一反三1】计算：2m2n(m﹣3mn2)＝( )
A.2m3n﹣6m3n3 B.2m3n﹣3m3n3 C.2mn2﹣6m3n3 D.2m2n+6m3n3
【答案】A
【解析】2m2n(m﹣3mn2)
＝2m2n m﹣2m2n 3mn2
＝2m3n﹣6m3n3，
故选：A．
【举一反三2】计算：x(2﹣y)＝ ．
【答案】2x﹣xy
【解析】x(2﹣y)＝2x﹣xy，
故答案为：2x﹣xy．
【举一反三3】计算： ．
【答案】﹣3x3﹣x2+3x
【解析】原式＝﹣3x3﹣x2+3x．
故答案为：﹣3x3﹣x2+3x．
【举一反三4】计算：(﹣4x) (2x2+3x﹣1)．
【答案】解：(﹣4x) (2x2+3x﹣1)
＝(﹣4x) 2x2+(﹣4x) 3x﹣(﹣4x) 1
＝﹣8x3﹣12x2+4x．
【题型2】利用单项式乘单项式的法则进行计算
【典型例题】(﹣2xmyn) (﹣0.5x2yn)的结果是( )
A.x2m+1y2n﹣2 B. C. D.
【答案】D
【解析】(﹣2xmyn) (﹣0.5x2yn)
＝﹣2×(﹣0.5)
．
故选：D．
【举一反三1】计算：( )
A.3x4y5 B.﹣3x4y5 C.3x3y6 D.﹣3x3y6
【答案】B
【解析】＝6×()x1+3y2+3＝﹣3x4y5．
故选：B．
【举一反三2】计算： ．
【答案】﹣x3y3
【解析】(﹣3x2y) (xy2)＝﹣x3y3，
故答案为：﹣x3y3．
【举一反三3】计算：﹣2x2yz (xy2z) (9xyz2)．
【答案】解：原式＝29x2+1+1y1+2+1z1+1+2＝3x4y4z4．
【题型3】利用运算法则求未知字母的值
【典型例题】若单项式﹣8xa﹣1y和的积为﹣2x5y6，则(ab)9÷(ab)4÷(ab)3的值为( )
A.﹣25 B.25 C.﹣625 D.625
【答案】D
【解析】∵﹣8xa﹣1y×()＝﹣2xayb+1＝﹣2x5y6，
∴a＝5，b+1＝6，解得b＝5，
∴(ab)9÷(ab)4÷(ab)3＝(ab)9﹣4﹣3＝(ab)2＝(5×5)2＝625．
故选：D．
【举一反三1】已知单项式6am+1bn+1与﹣4a2m﹣1b2n﹣1的积与7a3b6是同类项，则mn的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】∵(6am+1bn+1) (﹣4a2m﹣1b2n﹣1)＝﹣24a3mb3n，
且单项式6am+1bn+1与﹣4a2m﹣1b2n﹣1的积与7a3b6是同类项，
∴，解得，
∴mn＝12＝1，
故选：A．
【举一反三2】已知单项式2a3y2与﹣4a2y4的积为ma5yn，则m+n＝ ．
【答案】-2
【解析】∵单项式2a3y2与﹣4a2y4的积为ma3yn，
∴2a3y2×(﹣4a2y4)＝﹣8a5y6，
∴m＝﹣8，n＝6，
∴m+n＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【举一反三3】若﹣xmy2和3x3y2m+n的积与2x5y3是同类项，则m+n的值为 ．
【答案】﹣1
【解析】∵﹣xmy2 (3x3y2m+n)＝﹣3x3+my2m+n+2，且与2x5y3是同类项，
∴，
解得：，
∴m+n＝2+(﹣3)＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【举一反三4】若﹣2x2m﹣1与yn﹣4与7x1﹣nym﹣1的积与x7y3是同类项，求m、n的值．
【答案】解：﹣2x2m﹣1 yn﹣4 7x1﹣nym﹣1＝﹣14x2m﹣nym+n﹣5，
∴﹣14x2m﹣nym+n﹣5与x7y3是同类项．
∴，
解得：m＝5，n＝3．
【举一反三5】已知3x+1×2x﹣3x×2x+1＝63x+4，求x的值．
【答案】解：∵3x+1×2x﹣3x×2x+1＝63x+4，
∴3×3x×2x﹣2×3x×2x＝63x+4，
∴3×6x﹣2×6x＝63x+4，
∴6x＝63x+4，
∴x＝3x+4，
∴x＝﹣2．
【题型4】单项式乘多项式的实际应用问题
【典型例题】若长方形的一边长为，另一边比它长，则这个长方形的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，长方形的另一边长为：，
所以长方形的面积为：，故A正确．
故选：A．
【举一反三1】一个长方形的长为x，宽比长的一半多1，则这个长方形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵长方形的长为，宽比长的一半多1，
∴长方形的长为，
∴长方形的面积为，
故选：C．
【举一反三2】已知一个长方体盒子的长为x+3，宽为2x，高为x，则这个长方体盒子的表面积为( )
A.10x2+18x B.12x2+6x C.6x2+6x D.5x2+9x
【答案】A
【解析】长方体盒子的表面积为＝2(x+3) 2x+2(x+3) x+2 2x x
＝4x(x+3)+2x(x+3)+4x2
＝4x2+12x+2x2+6x+4x2
＝10x2+18x，
故选：A．
【举一反三3】一个长方形的边长分别为(x2y+y2)与4xy，则这个长方形的面积为 ．
【答案】2x3y2+4xy3
【解析】该长方形的面积为：4xy(x2y+y2)＝2x3y2+4xy3，
故答案为：2x3y2+4xy3．
【举一反三4】学校课外学习小组想靠着一面足够长的旧墙，开垦一块长方形的实验田，如图所示，实验田的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围起来，并在平行于墙的一边上留1米宽装门，已知现有竹篱笆长共27米．
(1)设垂直于墙面的一边长为米，则边的长用含的代数式可表示为______米；
(2)用含的代数式来表示实验田的面积；
(3)当时，实验田面积为多少平方米？
【答案】解：(1)米，
故答案为：；
(2)，，
平方米；
(3)当时，(平方米)．
【举一反三5】如图，墨墨的爸爸将一块长分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．
(1)用含a，b的整式表示盒子的外表面的面积；
(2)若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需多少元．
【答案】解：(1)由题意得：
，
∴盒子的外表面的面积为；
(2)当，时，
盒子的外表面的面积 ，
(平方分米)，
∴(元)，
∴喷漆共需元．
【题型5】单项式乘单项式的实际应用问题
【典型例题】在一块边长为的正方形纸板中，将四个角分别剪去边长为的小正方形，然后将四周突出部分折起，折成一个无盖的盒子，则该无盖盒子的容积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】纸盒的底面积为,
高为，
故容积为
故选A
【举一反三1】一头非洲大象质量的最高纪录为，则头这样的大象的质量为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】．
故选A．
【举一反三2】光的速度约为3×105 km/s，以太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光，需要4年的时间才能到达地球．若一年以3×107 s计算，则这颗恒星到地球的距离是 km．
【答案】3.6×1013
【解析】依题意，这颗恒星到地球的距离为
4×(3×107)×(3×105)＝(4×3×3)×(107×105)＝3.6×1013 km．
【举一反三3】一种计算机每秒可做4×108次运算，它工作了6×105 s，共可做 次运算．(用科学记数法表示)
【答案】2.4×1014
【解析】4×108×6×105
＝24×1013
＝2.4×1014．
故答案为：2.4×1014．
【举一反三4】将如图所示的长为，宽为，高为的大理石运往某地进行建设革命历史博物馆．求每块大理石的体积．(结果用科学记数法表示)
【答案】解：根据题意，得
．
答：每块大理石的体积为．
【举一反三5】某中学一寝室前有一块长为，宽为x的空地，学校向全校师生征集这块地的绿化设计方案并要求绿地面积不少于，如图是学生小明的设计方案，阴影部分是绿地．试问小明的设计方案是否合乎要求？为什么？
【答案】解：小明的设计方案符合要求．理由如下：
由题意可得：阴影部分的面积为：
．
∵，而
，
故小明的设计方案符合要求．
【题型6】利用多项式乘多项式法则进行计算
【典型例题】计算(x﹣3)(x+2)的结果为( )
A.x2﹣6 B.x2﹣x+6 C.x2﹣x﹣6 D.x2+x﹣6
【答案】C
【解析】(x﹣3)(x+2)＝x2+2x﹣3x﹣6＝x2﹣x﹣6，
故选：C．
【举一反三1】下列计算正确的是( )
A.(3ab3)(﹣2ab)＝﹣6a2b3 B.(m﹣2)(m+5)＝m2﹣7m﹣10 C.(y+4)(y﹣3)＝y2+7y﹣12 D.(x+3)(x+4)＝x2+7x+12
【答案】D
【解析】A：原式＝﹣6a2b4，故A不符合题意；
B：原式＝m2﹣2m+5m﹣10＝m2+3m﹣10，故B不符合题意；
C：原式＝y2﹣3y+4y﹣12＝y2+y﹣12，故C不符合题意；
D：原式＝x2+4x+3x+12＝x2+7x+12，故D符合题意；
故选：D．
【举一反三2】计算： ．
【答案】
【解析】
．
故答案为：．
【举一反三3】计算：(x﹣5y)(2x+y)＝ ．
【答案】2x2﹣9xy﹣5y2
【解析】(x﹣5y)(2x+y)
＝2x2+xy﹣10xy﹣5y2
＝2x2﹣9xy﹣5y2．
故答案为：2x2﹣9xy﹣5y2．
【举一反三4】计算：(2m+1)(3m﹣5)．
【答案】解：原式＝6m2﹣10m+3m﹣5＝6m2﹣7m﹣5．
【举一反三5】计算：(2a﹣5b) (3a2﹣2ab)．
【答案】解：(2a﹣5b) (3a2﹣2ab)
＝6a3﹣4a2b﹣15a2b+10ab2
＝6a3﹣19a2b+10ab2．
【题型7】利用多项式乘多项式求待定字母的值
【典型例题】若(x﹣1)(x+2)＝x2+ax+b，则a，b的值是( )
A.a＝1，b＝2 B.a＝﹣1，b＝2 C.a＝1，b＝﹣2 D.a＝﹣1，b＝﹣2
【答案】C
【解析】(x﹣1)(x+2)＝x2+x﹣2＝x2+ax+b，
∴a＝1，b＝﹣2，
故选：C．
【举一反三1】若多项式乘法(x+2y)(2x﹣ky﹣1)的结果中不含xy项，则k的值为( )
A.4 B.﹣4 C.2 D.﹣2
【答案】A
【解析】(x+2y)(2x﹣ky﹣1)
＝2x2﹣kxy﹣x+4xy﹣2ky2﹣2y
＝2x2+(4﹣k)xy﹣x﹣2ky2﹣2y，
∵结果中不含xy项，
∴4﹣k＝0，
解得，k＝4，
故选：A．
【举一反三2】若(x+3)(x+n)＝x2+mx+6，(m，n均为实数)，则( )
A.m＝1，n＝2 B.m＝1，n＝﹣2 C.m＝5，n＝﹣2 D.m＝5，n＝2
【答案】D
【解析】∵(x+3)(x+n)＝x2+(3+n)x+3n，
∴x2+(3+n)x+3n＝x2+mx+6，
∴3+n＝m，3n＝6，
∴n＝2，m＝5，
故选：D．
【举一反三3】要使(x2﹣ax+6)(2x2﹣x+b)展开式中不含x2项和x3项，则a﹣b＝ ．
【答案】11
【解析】(x2﹣ax+6)(2x2﹣x+b)
＝2x4﹣x3+bx2﹣2ax3+ax2﹣abx+12x2﹣6x+6b
＝2x4﹣(2a+1)x3+(a+b+12)x2﹣(ab+6)x+6b．
∵(x2﹣ax+6)(2x2﹣x+b)展开式中不含x2项和x3项，
∴﹣(2a+1)＝0，且a+b+12＝0，
∴a，b
∴a﹣b) ＝11．
故答案为：11．
【举一反三4】若x+m与x+2的乘积化简后的结果中不含x的一次项，则m的值为 .
【答案】-2
【解析】(x+m)(x+2)＝x2+2x+mx+2m＝x2+(2+m)x+2m，
∵结果中不含x的一次项，
∴2+m＝0，
解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【举一反三5】若多项式x+3p与的积中不含x项与x2项．
(1)求p，q的值；
(2)求式子p99q100的值．
【答案】解：(1)(x+3p)(x2﹣xq)
＝x3﹣x2qx+3px2﹣3px+pq
＝x3+(3p﹣1)x2+(q﹣3p)x+pq，
∵不含x项与x2项，
∴3p﹣1＝0，q﹣3p＝0，
∴p，q＝3；
(2)当p，q＝3时，
原式＝()99×3100
＝()99×399×3
＝(3)99×3
＝199×3
＝1×3
＝3．
【举一反三6】甲、乙两人共同计算一道整式：(x+a)(2x+b)，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．
(1)求a，b的值；
(2)请计算这道题的正确结果.
【答案】解：(1)甲抄错了a的符号的计算结果为：
(x﹣a)(2x+b)＝2x2+(﹣2a+b)x﹣ab＝2x2﹣7x+3，
故：对应的系数相等，﹣2a+b＝﹣7，ab＝﹣3
乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：
(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab＝x2+2x﹣3．
故：对应的系数相等，a+b＝2，ab＝﹣3，
∴，
解，
(2)正确的计算结果：(x+3)(2x﹣1)＝2x2+5x﹣3．
【题型8】与多项式乘多项式有关的混合运算
【典型例题】符号叫做二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，根据阅读材料，化简：( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得：
，
故选：C．
【举一反三1】化简 (2x+1)(x﹣2)﹣x(2x﹣3)的结果是( )
A.﹣2 B.﹣6x﹣2 C.4x2﹣2 D.4x2﹣6x﹣2
【答案】A
【解析】原式＝2x2﹣4x+x﹣2﹣2x2+3x＝﹣2，
故选：A．
【举一反三2】化简代数式结果是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，
故选：A.
【举一反三3】计算：(x﹣1)(x+3)﹣x(x﹣2)＝ ．
【答案】4x﹣3
【解析】(x﹣1)(x+3)﹣x(x﹣2)＝x2+3x﹣x﹣3﹣x2+2x＝4x﹣3，
故答案为：4x﹣3．
【举一反三4】化简：(x﹣y)(x+3y)﹣x(x+2y)．
【答案】解：原式＝x2+3xy﹣xy﹣3y2﹣x2﹣2xy＝﹣3y2．
【举一反三5】计算：(y﹣2)(y2+2y+4)﹣(y2+1)(y﹣1)．
【答案】解：原式＝y3+2y2+4y﹣2y2﹣4y﹣8﹣y3+y2﹣y+1
＝y3﹣y3+2y2﹣2y2+y2+4y﹣4y﹣y+1﹣8
＝y2﹣y﹣7．
【题型9】利用单项式乘多项式进行化简求值问题
【典型例题】已知ab2＝﹣1，则﹣ab(a2b5﹣ab3﹣b)的值等于( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.无法确定
【答案】C
【解析】∵ab2＝﹣1，
∴原式＝﹣a3b6+a2b4+ab2＝﹣(ab2)3+(ab2)2+ab2＝1+1﹣1＝1，
故选：C．
【举一反三1】当a＝﹣2时，代数式3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)的值是( )
A.﹣98 B.﹣62 C.﹣2 D.98
【答案】A
【解析】3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)
＝3a×2a2﹣3a×4a+3×3a﹣2a2×3a﹣4×(2a2)
＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
＝﹣20a2+9a，
当a＝﹣2时，原式＝﹣20×4+9×(﹣2)＝﹣98．
故选：A．
【举一反三2】若a2b＝2，则代数式2ab(a﹣2)+4ab＝ ．
【答案】4
【解析】2ab(a﹣2)+4ab＝2a2b﹣4ab+4ab＝2a2b，
当a2b＝2时，原式＝2×2＝4，
故答案为：4．
【举一反三3】张老师让同学们计算“当a＝0.25，b＝﹣0.37时，a2+a(a+b)﹣2a2﹣ab的值”．小刚说，不用条件就可以求出结果．你认为他说得对吗？
【答案】解：小刚说的对，理由：
a2+a(a+b)﹣2a2﹣ab＝a2+a2+ab﹣2a2﹣ab＝0，
由于结果与a，b的值无关，因此小刚说得对．
【题型10】与多项式乘多项式有关的化简求值问题
【典型例题】当x2+x＝5时，(1﹣x)(2+x)的值是( )
A.3 B.﹣3 C.7 D.﹣7
【答案】B
【解析】∵x2+x＝5，
∴(1﹣x)(2+x)
＝2+x﹣2x﹣x2
＝2﹣x﹣x2
＝2﹣(x2+x)
＝2﹣5
＝﹣3，
∴(1﹣x)(2+x)的值是﹣3．
故选：B．
【举一反三1】已知a2﹣3a+1＝0，则(a+1)(a﹣4)的值为( )
A.不确定 B.5 C.﹣3 D.﹣5
【答案】D
【解析】∵a2﹣3a+1＝0，
∴a2﹣3a＝﹣1，
∴(a+1)(a﹣4)
＝a2﹣4a+a﹣4
＝a2﹣3a﹣4
＝﹣1﹣4
＝﹣5，
故选：D．
【举一反三2】已知，则的值为 ．
【答案】2024
【解析】∵，
∴
．
故答案为：2024．
【举一反三3】若，则的值为 ．
【答案】10
【解析】∵，
∴，
∴
．
故答案为：10．
【举一反三4】先化简，再求值：，其中a为最大的负整数．
【答案】解：
，
∵a为最大的负整数，
∴，
∴原式．
【题型11】多项式乘多项式的实际应用问题
【典型例题】设有边长分别为a和b(a＞b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】C
【解析】∵(3a+b)(2a+2b)＝6a2+6ab+2ab+2b2＝6a2+8ab+2b2，
∴若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张．
故选：C．
【举一反三1】如图，甲、乙两个长方形，它们的长和宽如图所示(a＞1)，则两个长方形面积S甲与S乙的大小关系是( )
A.S甲＝S乙 B.S甲＞S乙 C.S甲＜S乙 D.无法确定
【答案】B
【解析】S甲＝(2a+1)(a+7)＝2a2+14a+a+7＝2a2+15a+7，
S乙＝(2a+4)(a+3)＝2a2+6a+4a+12＝2a2+10a+12，
则S甲﹣S乙＝2a2+15a+7﹣(2a2+10a+12)
＝2a2+15a+7﹣2a2﹣10a﹣12
＝5a﹣5
＝5(a﹣1)，
∵a＞1，
∴a﹣1＞0，
∴5(a﹣1)＞0，
∴S甲＞S乙．
故选：B．
【举一反三2】如果长方形的长为4a2﹣2a+1，宽为2a+1，那么长方形的面积为 ．
【答案】8a3+1
【解析】由题意得，长方形的面积为：
(4a2﹣2a+1)(2a+1)＝4a2(2a+1)﹣2a(2a+1)+(2a+1)＝8a3+1，
故答案为：8a3+1．
【举一反三3】如图：已知长方形纸片ABCD长为3a+1，宽为b+3，裁去一个长为2a+1，宽为b+1的长方形AEFG，则剩余部分面积为 ．
【答案】ab+7a+2
【解析】根据题意，得(3a+1)(b+3)﹣(2a+1)(b+1)
＝(3ab+9a+b+3)﹣(2ab+2a+b+1)
＝ab+7a+2，
故答案为：ab+7a+2．
【举一反三4】明明家有一个长方形的鱼塘，宽为a米，长是宽的两倍．今年为了扩大养殖规模，长增加了8米，宽增加了6米．问：这个鱼塘面积增加了多少平方米？
【答案】解：由题意得：
(2a+8)(a+6)﹣2a a＝2a2+12a+8a+48﹣2a2＝20a+48(平方米)．
答：这个鱼塘面积增加了(20a+48)平方米.
【举一反三5】某中学八年级的学生人数比七年级学生多．某天做广播操时(七、八年级学生均无缺席)，八年级排成的是一个规范的长方形方阵，每排(3a+b)人，站有(2a+2b)排；七年级站的正方形方阵，排数和每排人数都是2(a+b)，其中a＞b．
(1)求该学校八年级比七年级多多少名学生？(用a与b的代数式表示)
(2)当a＝10，b＝2时，求该学校八年级比七年级多多少名学生．
【答案】解：(1)(3a+b)(2a+2b)﹣[2(a+b)]2
＝6a2+8ab+2b2﹣4a2﹣8ab﹣4b2
＝2a2﹣2b2，
答：八年级比七年级多(2a2﹣2b2)名学生；
(2)当a＝10，b＝2时，原式＝2×102﹣2×22＝200﹣8＝192．
答：八年级比七年级多192名学生．
【题型12】利用运算法则求未知字母的值
【典型例题】若要使x(x2+a)+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立，则a，b的值分别是( )
A.﹣2，﹣2 B.2，2 C.2，﹣2 D.﹣2，2
【答案】C
【解析】∵x(x2+a)+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立，
∴x3+(a+3)x﹣2b＝x3+5x+4，
∴，
解得．
故选：C．
【举一反三1】要使x(x+2a)+2x﹣2b＝x2+6x+8成立，则a，b的值分别为( )
A.a＝﹣2，b＝﹣4 B.a＝2，b＝4 C.a＝2，b＝﹣4 D.a＝﹣2，b＝4
【答案】C
【解析】已知等式整理得：x2+2ax+2x﹣2b＝x2+6x+8，
即x2+(2a+2)x﹣2b＝x2+6x+8，
∴2a+2＝6，﹣2b＝8，
解得：a＝2，b＝﹣4．
故选：C．
【举一反三2】如果(x2﹣a)x+x的展开式中只含有x3这一项，那么a的值为 ．
【答案】1
【解析】(x2﹣a)x+x＝x3﹣ax+x＝x3﹣(a﹣1)x，
∵(x2﹣a)x+x的展开式中只含有x3这一项，
∴a﹣1＝0，
解得：a＝1．
故答案为：1．
【举一反三3】对于任意的x、y，若存在a、b使得8x+y(a﹣2b)＝ax﹣2b(x﹣2y)恒成立，则a+b＝ ．
【答案】14
【解析】∵8x+y(a﹣2b)＝ax﹣2b(x﹣2y)恒成立，
∴8x+y(a﹣2b)＝(a﹣2b)x+4by，
∴，
解得，
a+b＝12+2＝14．
故答案为：14．
【举一反三4】已知计算(5﹣3x+mx2﹣6x3) (﹣2x2)﹣x(﹣3x3+nx﹣1)的结果中不含x4和x2的项，求m、n的值．
【答案】解：(5﹣3x+mx2﹣6x3) (﹣2x2)﹣x(﹣3x3+nx﹣1)
＝﹣10x2+6x3﹣2mx4+12x5+3x4﹣nx2+x
＝12x5+(3﹣2m)x4+6x3+(﹣10﹣n)x2+x，
由结果中不含x4和x2项，得到3﹣2m＝0，﹣10﹣n＝0，
解得：m＝1.5，n＝﹣10．
【题型13】有关单项式乘法的混合运算
【典型例题】计算(﹣ab)3(﹣3b)2的结果是( )
A.﹣9a3b6 B.9a3b2 C.9a3b6 D.﹣9a3b5
【答案】D
【解析】原式＝﹣a3b3 9b2＝﹣9a3b5．
故选：D．
【举一反三1】计算(2.5×103)3×(﹣0.8×102)2的结果是( )
A.6×1013 B.﹣6×1013 C.2×1013 D.1014
【答案】D
【解析】原式＝15.625×109×6.4×104＝10×1013＝1014．
故选：D．
【举一反三2】计算：(﹣2x)3(﹣xy2)＝ ．
【答案】8x4y2
【解析】(﹣2x)3(﹣xy2)＝(﹣8x3) (﹣xy2)＝8x4y2．
故答案为：8x4y2．
【举一反三3】计算的结果等于 ．
【答案】12a3b
【解析】
＝12a3b．
故答案为：12a3b．
【举一反三4】计算：(﹣3a2b)2 (﹣a2c3)3．
【答案】解：(﹣3a2b)2 (﹣a2c3)3
＝9a4b2 (﹣a6c9)
＝﹣9a4b2 a6c9
＝﹣(9×1) (a4 a6) b2 c9
＝﹣9a10b2c9．
【举一反三5】计算：﹣(﹣2a)3 (﹣b3)2+(﹣3ab2)3．
【答案】解：﹣(﹣2a)3 (﹣b3)2+(﹣3ab2)3＝8a3b6﹣27a3b6＝﹣19a3b6．
