11.5因式分解
【知识点1】提公因式法与公式法的综合运用 1
【知识点2】公因式 2
【知识点3】因式分解的应用 2
【知识点4】因式分解-运用公式法 2
【知识点5】因式分解-提公因式法 3
【知识点6】因式分解的意义 4
【题型1】公因式是单项式的因式分解 4
【题型2】综合运用公式法分解因式 5
【题型3】因式分解的概念 5
【题型4】公因式 6
【题型5】因式分解在图形中的应用 6
【题型6】提公因式法与公式法的综合运用 7
【题型7】因式分解在有理数简算中的应用 7
【题型8】公因式是多项式的因式分解 7
【题型9】运用两数和（差）的公式因式分解 8
【题型10】利用因式分解进行求值 9
【题型11】因式分解与多项式乘法的关系 9
【题型12】运用平方差公式因式分解 10
【知识点1】提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
1.（2025春 龙华区期中）下列分解因式正确的一项是（ ）
A．x2+1=（x+1）2
B．3a2-12ab+12b2=3（a-2b）2
C．9x2-y2=（9x+y）（9x-y）
D．x3-x=x（x2-1）
2.（2025春 平谷区期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．6x2-4xy=x（6x-4y） B．x2-4x+4=（x-4）2
C．x4-81=（x2+9）（x2-9） D．5x2-5y2=5（x+y）（x-y）
【知识点2】公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
1.（2024春 隆回县期末）多项式4x3yz2-8x2yz4+12x4y2z3的公因式是（ ）
A．4x3yz2 B．-8x2yz4 C．12x4y2z3 D．4x2yz2
【知识点3】因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
1.（2024春 新区校级期中）已知实数a满足a2-2a-3=0，则代数式a3-2a2-3a+5的值为（ ）
A．-5 B．0 C．5 D．-3
【知识点4】因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
1.（2025春 诸暨市期末）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A．-4x2+9y2 B．-4x2-9y2 C．4x2+9y2 D．4x2+4xy+y2
【知识点5】因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“-”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
1.（2025春 三河市校级月考）如图是甲、乙两位同学因式分解-x2+x的结果，下列判断正确的是（ ）
甲同学：原式=-x（x-1）；
乙同学：原式=x（1-x）
A．甲、乙的结果都正确 B．甲、乙的结果都不正确
C．只有甲的结果正确 D．只有乙的结果正确
2.（2025春 江宁区校级月考）化简（-2）2025+（-2）2026，结果为（ ）
A．-2 B．0 C．-22025 D．22025
【知识点6】因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
1.（2025 浙江模拟）下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．m2-4+m=（m+2）（m-2）+m B．
C．n（a+b）=na+nb D．x2+2x+1=（x+1）2
【题型1】公因式是单项式的因式分解
【典型例题】因式分解x2﹣x＝x(x﹣1)，该过程用到的运算律是( )
A.加法结合律 B.乘法交换律 C.乘法分配律 D.乘法结合律
【举一反三1】下列因式分解正确的是( )
A.2a2﹣a＝2a(a﹣1) B.﹣a2﹣2ab＝﹣a(a﹣2b) C.﹣3a+3b＝﹣3(a+b) D.a2+3ab＝a(a+3b)
【举一反三2】将a2b﹣ab2提公因式后，另一个因式是( )
A.a+2b B.﹣a+2b C.﹣a﹣b D.a﹣2b
【举一反三3】因式分解：2x2y+10xy＝ ．
【举一反三4】分解因式：6x3y2+3x2y2＝ ．
【举一反三5】分解因式：9x3y3﹣21x3y2+12x2y2．
【题型2】综合运用公式法分解因式
【典型例题】将分解因式，所得结果正确的是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】把因式分解得( )
A. B. C. D.
【举一反三2】分解因式x2＋2xy＋y2－4的结果是( )
A.(x＋y＋2)(x＋y－2) B.(x＋y＋4)(x＋y－1) C.(x＋y－4)(x＋y＋1) D.不能分解
【举一反三3】分解因式： ．
【举一反三4】因式分解：．
【题型3】因式分解的概念
【典型例题】下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A.x2﹣x＝x(x﹣1) B.a(m+n)＝am+an C.(a+b)2＝a2+2ab+b2 D.x2﹣16+6x＝(x+4)(x﹣4)+6x
【举一反三1】下列从左到右的变形是正确因式分解的是( )
A.(x﹣1)2＝x2﹣2x+1 B.x2﹣4x+4＝x(x﹣4)+4 C.x2﹣4x+4＝(x﹣1)(x﹣3)+1 D.(ab+a)+(b+1)＝(a+1)(b+1)
【举一反三2】下列各式从左到右的变形，是因式分解的是( )
A.a2﹣5＝(a+2)(a﹣2)﹣1 B.(x+2)(x﹣2)＝x2﹣4 C.x2+8x+16＝(x+4)2 D.a2+4＝(a+2)2﹣4a
【举一反三3】下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是( )
A.(a+1)(a﹣1)＝a2﹣1 B.a2﹣2a+3＝a(a﹣2)+3 C.x2 5x＝5x3 D.4x2﹣4x+1＝(2x﹣1)2
【举一反三4】下列等式从左到右的变形，是因式分解的是( )
A.2x(x﹣3)＝2x2﹣6x B.12m2n＝3m2 4n C.a2﹣2ab+b2﹣1＝(a﹣b)2﹣1 D.x2﹣y2＝(x+y)(x﹣y)
【题型4】公因式
【典型例题】多项式﹣8x2y3z+12xy2z3﹣24x3yz2的公因式是( )
A.﹣xyz B.﹣4x3y3z3 C.﹣4xyz D.﹣x3y3z3
【举一反三1】下列各组代数式中，没有公因式的是( )
A.ax+y和x+y B.2x和4y C.a﹣b和b﹣a D.﹣x2+xy和y﹣x
【举一反三2】式子x(y﹣1)与﹣18(y﹣1)的公因式是 ．
【举一反三3】因式分解：3m(a﹣b)﹣9n(a﹣b)的公因式是 ．
【举一反三4】写出下列多项式各项的公因式：
(1)2x2+6x3；
(2)﹣24m2x3+16n2x2；
(3)5(a﹣b)3+10(a﹣b)．
【题型5】因式分解在图形中的应用
【典型例题】如图，某养鸡场老板准备用20米的篱笆围成一个边长为a、b的长方形场地，已知a2b+ab2＝240，则这个长方形场地的面积为( )平方米．
A.32 B.24 C.16 D.12
【举一反三1】已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式(a﹣b)2﹣c2的值( )
A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不能确定
【举一反三2】已知三角形的三边a、b、c满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则三角形是 三角形．
【举一反三3】已知△ABC的三边长a、b、c满足3a2+2ab＝3c2+2bc．试判定△ABC的形状．
【举一反三4】一个长方形的长与宽分别为a、b，若该长方形的周长为14，面积为5，求3a3b+6a2b2+3ab3的值．
【题型6】提公因式法与公式法的综合运用
【典型例题】因式分解：mx2﹣4m＝( )
A.m(x2﹣4) B.m(x+2)(x﹣2) C.mx(x﹣4) D.m(x+4)(x﹣4)
【举一反三1】因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为( )
A.(a﹣b)2(a+b) B.(a+b)2(a﹣b) C.ab(a+b)2 D.ab(a﹣b)2
【举一反三2】多项式x2y2﹣y2﹣x2+1因式分解的结果是( )
A.(x2+1)(y2+1) B.(x﹣1)(x+1)(y2+1) C.(x2+1)(y+1)(y﹣1) D.(x+1)(x﹣1)(y+1)(y﹣1)
【举一反三3】分解因式x2y﹣16y的结果为 ．
【举一反三4】分解因式：x3y﹣10x2y2+25xy3＝ ．
【举一反三5】分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y．
【题型7】因式分解在有理数简算中的应用
【典型例题】利用因式分解计算：的结果是( )
A.44 B.800 C.2200 D.8800
【举一反三1】下列算式不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】计算( )
A. B. C. D.
【举一反三3】利用因式分解计算：的结果是 ．
【举一反三4】计算： ．
【举一反三5】利用因式分解简便计算：
(1)；
(2)．
【题型8】公因式是多项式的因式分解
【典型例题】把(x﹣y)2﹣(y﹣x)分解因式的结果为( )
A.(x﹣y)(x﹣y﹣1) B.(y﹣x)(x﹣y﹣1) C.(y﹣x)(y﹣x﹣1) D.(y﹣x)(y+x+1)
【举一反三1】多项式x2y(a﹣b)﹣xy(b﹣a)+y(a﹣b)提公因式后，另一个因式为( )
A.x2﹣x+1 B.x2+x+1 C.x2﹣x﹣1 D.x2+x﹣1
【举一反三2】将多项式(m﹣n)3﹣m(m﹣n)2﹣n(n﹣m)2因式分解，结果为( )
A.2(m﹣n)3 B.2m(m﹣n)2 C.﹣2n(m﹣n)2 D.2(n﹣m)3
【举一反三3】因式分解：x(x+2)﹣x﹣2＝ ．
【举一反三4】分解因式：(a+1)2﹣2a﹣2＝ ．
【举一反三5】因式分解：2m(a﹣b)﹣3n(b﹣a).
【题型9】运用两数和（差）的公式因式分解
【典型例题】下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有( )
(1)x2﹣4y2；
(2)9a2b2﹣3ab+1；
(3)﹣x2﹣2xy﹣y2；
(4)x2+y2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三1】在学习对复杂多项式进行因式分解时，苏老师示范了如下例题：
因式分解：(x2+2x﹣3)(x2+2x+5)+16．
解：设x2+2x＝y，
原式＝(y﹣3)(y+5)+16
＝y2+2y﹣15+16
＝y2+2y+1
＝(y+1)2
＝(x2+2x+1)2
＝[(x+1)2]2
＝(x+1)4．
例题中体现的主要思想方法是( )
A.函数思想 B.整体思想 C.分类讨论思想 D.数形结合思想
【举一反三2】因式分解：a2+2a(b+c)+(b+c)2＝ ．
【举一反三3】因式分解：25m2﹣10mn+n2＝ ．
【举一反三4】将下列各式分解因式：(a2﹣2a)2+2(a2﹣2a)+1．
【题型10】利用因式分解进行求值
【典型例题】已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是( )
A.6 B.﹣6 C.1 D.﹣1
【举一反三1】已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值是( )
A.2 B.6 C.4 D.8
【举一反三2】若a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，则a+b的值为( )
A.±5 B.5 C.±4 D.4
【举一反三3】已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，则a+b+c的值为 ．
【举一反三4】已知x﹣y＝4，xy＝6，则x2y﹣xy2＝ ．
【举一反三5】阅读材料：将(x+y)2+2(x+y)+1分解因式．
解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝(A+1)2，再将A还原，原式＝(x+y+1)2．
上述材料解题过程用到了整体思想，整体思想是数学中的常用方法，请根据上面方法完成下列各小题．
(1)因式分解：(m+n)2﹣6(m+n)+9；
(2)设M＝(a﹣b)(a﹣b﹣2)+1．
①因式分解M；
②若M＝0，求a﹣b的值．
【题型11】因式分解与多项式乘法的关系
【典型例题】已知多项式ax2+bx+c分解因式后结果2(x﹣3)(x+1)，则b，c的值为( )
A.b＝3，c＝﹣1 B.b＝﹣6，c＝2 C.b＝﹣6，c＝﹣4 D.b＝﹣4，c＝﹣6
【举一反三1】若x2+mx﹣18能分解为(x﹣9)(x+n)，那么m、n的值是( )
A.7、2 B.﹣7、2 C.﹣7、﹣2 D.7、﹣2
【举一反三2】已知x﹣5是多项式2x2+8x+a的一个因式，则a可为( )
A.65 B.﹣65 C.90 D.﹣90
【举一反三3】若x+2是x2﹣2x+m的一个因式，则常数m的值为 ．
【举一反三4】如果把多项式x2﹣3x+n分解因式得(x﹣1)(x+m)，那么m＝ ，n＝ ．
【举一反三5】仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为(x+n)，得x2﹣4x+m＝(x+3)(x+n)，
则x2﹣4x+m＝x2+(n+3)x+3n，
∴，
解得：n＝﹣7，m＝﹣21，
∴另一个因式为(x﹣7)，m的值为﹣21.
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是(2x﹣5)，求另一个因式以及k的值．
【举一反三6】下面是一个正确的因式分解，但是其中部分一次式被墨水污染看不清了．
2x2+3x﹣6+＝(x﹣2)(2x+5)．
(1)求被墨水污染的一次式；
(2)若被墨水污染的一次式的值不小于2，求x的取值范围．
【题型12】运用平方差公式因式分解
【典型例题】课堂上老师在黑板上布置了以下的题目：
用平方差公式分解因式：
(1)﹣a2+b2；
(2)﹣a2﹣b2；
(3)36a2﹣b2c2；
(4)16m2n2﹣25，
涛涛发现其中有一道题目错了，错误的题目是( )
A.第(1)题 B.第(2)题 C.第(3)题 D.第(4)题
【举一反三1】下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A.x2+y2 B.﹣x2﹣y2 C.x2﹣y3 D.﹣x2+y2
【举一反三2】对于任何整数a(a≠0)，多项式(3a+5)2﹣4都能( )
A.被9整除 B.被a整除 C.被a+1整除 D.被a﹣1整除
【举一反三3】因式分解：x2﹣9y2＝ ．
【举一反三4】分解因式：(a+3)2﹣16＝ ．
【举一反三5】分解因式：(3x﹣2)2﹣(2x+7)2.
【举一反三6】因式分解(3x+y)2﹣(x+3y)2．小禾因式分解后，通过代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)小禾的解答是从第几步开始出错的，并帮助他指出错误的原因．
(2)请尝试写出正确的因式分解过程．11.5因式分解
【知识点1】提公因式法与公式法的综合运用 1
【知识点2】公因式 2
【知识点3】因式分解的应用 3
【知识点4】因式分解-运用公式法 3
【知识点5】因式分解-提公因式法 4
【知识点6】因式分解的意义 5
【题型1】公因式是单项式的因式分解 6
【题型2】综合运用公式法分解因式 7
【题型3】因式分解的概念 8
【题型4】公因式 10
【题型5】因式分解在图形中的应用 11
【题型6】提公因式法与公式法的综合运用 13
【题型7】因式分解在有理数简算中的应用 15
【题型8】公因式是多项式的因式分解 17
【题型9】运用两数和（差）的公式因式分解 18
【题型10】利用因式分解进行求值 20
【题型11】因式分解与多项式乘法的关系 22
【题型12】运用平方差公式因式分解 24
【知识点1】提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
1.（2025春 龙华区期中）下列分解因式正确的一项是（ ）
A．x2+1=（x+1）2
B．3a2-12ab+12b2=3（a-2b）2
C．9x2-y2=（9x+y）（9x-y）
D．x3-x=x（x2-1）
【答案】B
【分析】根据因式分解的方法，对每一选项逐个进行因式分解即可．
【解答】解：A、x2+1不能进行因式分解，故A选项错误；
B、3a2-12ab+12b2=3（a-2b）2，故B选项正确；
C、9x2-y2=（3x+y）（3x-y），故C选项错误；
D、x3-x=x（x2-1）=x（x+1）（x-1），故D选项错误．
故选：B．
2.（2025春 平谷区期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．6x2-4xy=x（6x-4y） B．x2-4x+4=（x-4）2
C．x4-81=（x2+9）（x2-9） D．5x2-5y2=5（x+y）（x-y）
【答案】D
【分析】根据提公因式法、公式法分别分解因式判断即可．
【解答】解：A、6x2-4xy=2x（3x-2y），故此选项不符合题意；
B、x2-4x+4=（x-2）2，故此选项不符合题意；
C、x4-81=（x2+9）（x2-9）=（x2+9）（x+3）（x-3），故此选项不符合题意；
D、5x2-5y2=5（x2-y2）=5（x+y）（x-y），故此选项符合题意；
故选：D．
【知识点2】公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
1.（2024春 隆回县期末）多项式4x3yz2-8x2yz4+12x4y2z3的公因式是（ ）
A．4x3yz2 B．-8x2yz4 C．12x4y2z3 D．4x2yz2
【答案】D
【分析】根据找公因式的规律找出即可．
【解答】解：多项式4x3yz2-8x2yz4+12x4y2z3的公因式是4x2yz2．
故选：D．
【知识点3】因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
1.（2024春 新区校级期中）已知实数a满足a2-2a-3=0，则代数式a3-2a2-3a+5的值为（ ）
A．-5 B．0 C．5 D．-3
【答案】C
【分析】因为a2-2a-3=0，两边同时乘以a可以得到：a3-2a2-3a=0，整体代入即可求解．
【解答】解：∵a2-2a-3=0，
∴a3-2a2-3a=0，
∴a3-2a2-3a+5=0+5=5，
故选：C．
【知识点4】因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
1.（2025春 诸暨市期末）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A．-4x2+9y2 B．-4x2-9y2 C．4x2+9y2 D．4x2+4xy+y2
【答案】A
【分析】根据平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：A、-4x2+9y2=9y2-4x2=（3y+2x）（3y-2x），能运用平方差公式分解因式，故此选项符合题意；
B、-4x2-9y2=-（4x2+9y2），不能运用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
C、4x2+9y2，不能运用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
D、4x2+4xy+y2=（2x+y）2，不能运用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
故选：A．
【知识点5】因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“-”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
1.（2025春 三河市校级月考）如图是甲、乙两位同学因式分解-x2+x的结果，下列判断正确的是（ ）
甲同学：原式=-x（x-1）；
乙同学：原式=x（1-x）
A．甲、乙的结果都正确 B．甲、乙的结果都不正确
C．只有甲的结果正确 D．只有乙的结果正确
【答案】A
【分析】利用提公因式法分解因式即可．
【解答】解：-x2+x=-x（x-1），
-x2+x=x-x2=x（1-x），
所以甲、乙的结果都正确，
故选：A．
2.（2025春 江宁区校级月考）化简（-2）2025+（-2）2026，结果为（ ）
A．-2 B．0 C．-22025 D．22025
【答案】D
【分析】由提公因式法得22025（-1+2），即可求解．
【解答】解：原式=-22025+22026
=22025×（-1+2）
=22025；
故选：D．
【知识点6】因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
1.（2025 浙江模拟）下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．m2-4+m=（m+2）（m-2）+m B．
C．n（a+b）=na+nb D．x2+2x+1=（x+1）2
【答案】D
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
【解答】解：A、m2-4+m=（m+2）（m-2）+m,等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；
B、，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；
C、n（a+b）=na+nb,是整式的乘法，故不是因式分解，故本选项错误；
D、x2+2x+1=（x+1）2，等式右边是整式积的形式，故是因式分解，故本选项正确．
故选：D．
【题型1】公因式是单项式的因式分解
【典型例题】因式分解x2﹣x＝x(x﹣1)，该过程用到的运算律是( )
A.加法结合律 B.乘法交换律 C.乘法分配律 D.乘法结合律
【答案】C
【解析】由题意可得，该因式分解是提取公因式，其是乘法分配律的逆应用．
故选：C．
【举一反三1】下列因式分解正确的是( )
A.2a2﹣a＝2a(a﹣1) B.﹣a2﹣2ab＝﹣a(a﹣2b) C.﹣3a+3b＝﹣3(a+b) D.a2+3ab＝a(a+3b)
【答案】D
【解析】A.2a2﹣a＝a(2a﹣1)，故A错误，
B.﹣a2﹣2ab＝﹣a(a+2b)，故B错误，
C.﹣3a+3b＝﹣3(a﹣b)，故C错误，
D.a2+3ab＝a(a+3b)，故D正确．
故选：D．
【举一反三2】将a2b﹣ab2提公因式后，另一个因式是( )
A.a+2b B.﹣a+2b C.﹣a﹣b D.a﹣2b
【答案】A
【解析】∵a2b﹣ab2ab(a+2b)，
∴a2b﹣ab2提公因式后，另一个因式是：a+2b．
故选：A．
【举一反三3】因式分解：2x2y+10xy＝ ．
【答案】2xy(x+5)
【解析】原式＝2xy(x+5)，
故答案为：2xy(x+5)．
【举一反三4】分解因式：6x3y2+3x2y2＝ ．
【答案】3x2y2(2x+1)
【解析】6x3y2+3x2y2
＝3x2y2 2x+3x2y2 1
＝3x2y2(2x+1)．
故答案为：3x2y2(2x+1)．
【举一反三5】分解因式：9x3y3﹣21x3y2+12x2y2．
【答案】解：9x3y3﹣21x3y2+12x2y2＝3x2y2(3xy﹣7x+4)．
【题型2】综合运用公式法分解因式
【典型例题】将分解因式，所得结果正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
．
故选D．
【举一反三1】把因式分解得( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
故选：C.
【举一反三2】分解因式x2＋2xy＋y2－4的结果是( )
A.(x＋y＋2)(x＋y－2) B.(x＋y＋4)(x＋y－1) C.(x＋y－4)(x＋y＋1) D.不能分解
【答案】A
【解析】x2＋2xy＋y2－4=-4= (x＋y＋2)(x＋y－2).
故选A.
【举一反三3】分解因式： ．
【答案】
【解析】
．
故答案为：．
【举一反三4】因式分解：．
【答案】解：．
【题型3】因式分解的概念
【典型例题】下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A.x2﹣x＝x(x﹣1) B.a(m+n)＝am+an C.(a+b)2＝a2+2ab+b2 D.x2﹣16+6x＝(x+4)(x﹣4)+6x
【答案】A
【解析】x2﹣x＝x(x﹣1)符合因式分解的定义，则A符合题意；
a(m+n)＝am+an是乘法运算，它不是因式分解，则B不符合题意；
(a+b)2＝a2+2ab+b2是乘法运算，它不是因式分解，则C不符合题意；
x2﹣16+6x＝(x+4)(x﹣4)+6x中右边不是积的形式，它不是因式分解，则D不符合题意；
故选：A．
【举一反三1】下列从左到右的变形是正确因式分解的是( )
A.(x﹣1)2＝x2﹣2x+1 B.x2﹣4x+4＝x(x﹣4)+4 C.x2﹣4x+4＝(x﹣1)(x﹣3)+1 D.(ab+a)+(b+1)＝(a+1)(b+1)
【答案】D
【解析】A．(x﹣1)2＝x2﹣2x+1，是整式的乘法，不是因式分解，故A不符合题意．
B．x2﹣4x+4＝x(x﹣4)+4，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故B不符合题意．
C．x2﹣4x+4＝(x﹣1)(x﹣3)+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故C不符合题意．
D．(ab+a)+(b+1)＝(a+1)(b+1)，是因式分解，故D符合题意．
故选：D．
【举一反三2】下列各式从左到右的变形，是因式分解的是( )
A.a2﹣5＝(a+2)(a﹣2)﹣1 B.(x+2)(x﹣2)＝x2﹣4 C.x2+8x+16＝(x+4)2 D.a2+4＝(a+2)2﹣4a
【答案】C
【解析】A．a2﹣5＝(a+2)(a﹣2)﹣1，等式右边不是乘积形式，故选项不合题意；
B．(x+2)(x﹣2)＝x2﹣4，是整式乘法，故选项不合题意；
C．x2+8x+16＝(x+4)2，是因式分解，故选项符合题意；
D．a2+4＝(a+2)2﹣4a，等式右边不是乘积形式，故选项不合题意．
故选：C．
【举一反三3】下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是( )
A.(a+1)(a﹣1)＝a2﹣1 B.a2﹣2a+3＝a(a﹣2)+3 C.x2 5x＝5x3 D.4x2﹣4x+1＝(2x﹣1)2
【答案】D
【解析】A．(a+1)(a﹣1)＝a2﹣1，是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．a2﹣2a+3＝a(a﹣2)+3，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．x2 5x＝5x3，等式的左边不是一个多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．4x2﹣4x+1＝(2x﹣1)2，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
【举一反三4】下列等式从左到右的变形，是因式分解的是( )
A.2x(x﹣3)＝2x2﹣6x B.12m2n＝3m2 4n C.a2﹣2ab+b2﹣1＝(a﹣b)2﹣1 D.x2﹣y2＝(x+y)(x﹣y)
【答案】D
【解析】2x(x﹣3)＝2x2﹣6x是整式乘法运算，则A不符合题意；
12m2n＝3m2 4n是单项式的变形，则B不符合题意；
a2﹣2ab+b2﹣1＝(a﹣b)2﹣1的右边不是积的形式，则C不符合题意；
x2﹣y2＝(x+y)(x﹣y)符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D．
【题型4】公因式
【典型例题】多项式﹣8x2y3z+12xy2z3﹣24x3yz2的公因式是( )
A.﹣xyz B.﹣4x3y3z3 C.﹣4xyz D.﹣x3y3z3
【答案】C
【解析】多项式﹣8x2y3z+12xy2z3﹣24x3yz2的公因式是﹣4xyz，
故选：C．
【举一反三1】下列各组代数式中，没有公因式的是( )
A.ax+y和x+y B.2x和4y C.a﹣b和b﹣a D.﹣x2+xy和y﹣x
【答案】A
【解析】A、两个没有公因式，正确；
B、显然有系数的最大公约数是2，故错误；
C、只需把b﹣a＝﹣(a﹣b)，两个即为公因式，故错误；
D、﹣x2+xy＝x(y﹣x)，显然有公因式y﹣x，故错误．
故选：A．
【举一反三2】式子x(y﹣1)与﹣18(y﹣1)的公因式是 ．
【答案】y﹣1
【解析】式子x(y﹣1)与﹣18(y﹣1)的公因式是y﹣1，
故答案为：y﹣1．
【举一反三3】因式分解：3m(a﹣b)﹣9n(a﹣b)的公因式是 ．
【答案】3(a﹣b)
【解析】∵多项式3m(a﹣b)﹣9n(a﹣b)中各项都含有的因式为3(a﹣b)，
∴3m(a﹣b)﹣9n(a﹣b)的公因式是3(a﹣b)．
故答案为：3(a﹣b)．
【举一反三4】写出下列多项式各项的公因式：
(1)2x2+6x3；
(2)﹣24m2x3+16n2x2；
(3)5(a﹣b)3+10(a﹣b)．
【答案】解：(1)2x2+6x3中各项的公因式为2x2；
(2)﹣24m2x3+16n2x2中各项的公因式为﹣8x2；
(3)5(a﹣b)3+10(a﹣b)中各项的公因式为5(a﹣b)．
【题型5】因式分解在图形中的应用
【典型例题】如图，某养鸡场老板准备用20米的篱笆围成一个边长为a、b的长方形场地，已知a2b+ab2＝240，则这个长方形场地的面积为( )平方米．
A.32 B.24 C.16 D.12
【答案】B
【解析】由题意得(米)，a2b+ab2＝240，
∴ab(a+b)＝240，
解得ab＝24，
∴个长方形场地的面积为24平方米．
故选：B．
【举一反三1】已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式(a﹣b)2﹣c2的值( )
A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不能确定
【答案】B
【解析】∵(a﹣b)2﹣c2＝(a﹣b+c)(a﹣b﹣c)，a，b，c是三角形的三边，
∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴(a﹣b)2﹣c2的值是负数．
故选：B．
【举一反三2】已知三角形的三边a、b、c满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则三角形是 三角形．
【答案】等腰
【解析】∵a2﹣b2＝ac﹣bc，
∴(a﹣b)(a+b)＝c(a﹣b)，
∴(a﹣b)(a+b)﹣c(a﹣b)＝0，
∴(a﹣b)(a+b﹣c)＝0，
∵a、b、c为三角形三边，
∴a+b＞c，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
∴三角形为等腰三角形．
故答案为等腰．
【举一反三3】已知△ABC的三边长a、b、c满足3a2+2ab＝3c2+2bc．试判定△ABC的形状．
【答案】解：∵3a2+2ab＝3c2+2bc，即3a2+2ab﹣3c2﹣2bc＝0，
∴(3a2﹣3c2)+(2ab﹣2bc)＝0，
即3(a+c)(a﹣c)+2b(a﹣c)＝0，
∴(a﹣c)(3a+3c+2b)＝0，
∵△ABC的三边长a、b、c，而3a+3c+2b＞0，
∴a﹣c＝0，
即a＝c，
所以△ABC是等腰三角形．
【举一反三4】一个长方形的长与宽分别为a、b，若该长方形的周长为14，面积为5，求3a3b+6a2b2+3ab3的值．
【答案】解：根据题意，得2(a+b)＝14，ab＝5，
∴a+b＝7，
∵3a3b+6a2b2+3ab3＝3ab(a2+2ab+b2)＝3ab(a+b)2，
将a+b＝7，ab＝5代入，原式＝3×5×49＝735．
【题型6】提公因式法与公式法的综合运用
【典型例题】因式分解：mx2﹣4m＝( )
A.m(x2﹣4) B.m(x+2)(x﹣2) C.mx(x﹣4) D.m(x+4)(x﹣4)
【答案】B
【解析】原式＝m(m2﹣4)＝m(m+2)(m﹣2)，
故选：B．
【举一反三1】因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为( )
A.(a﹣b)2(a+b) B.(a+b)2(a﹣b) C.ab(a+b)2 D.ab(a﹣b)2
【答案】B
【解析】原式＝(a3+a2b)﹣(ab2+b3)
＝a2(a+b)﹣b2(a+b)
＝(a2﹣b2)(a+b)
＝(a﹣b)(a+b)(a+b)
＝(a﹣b)(a+b)2，
故选：B．
【举一反三2】多项式x2y2﹣y2﹣x2+1因式分解的结果是( )
A.(x2+1)(y2+1) B.(x﹣1)(x+1)(y2+1) C.(x2+1)(y+1)(y﹣1) D.(x+1)(x﹣1)(y+1)(y﹣1)
【答案】D
【解析】x2y2﹣y2﹣x2+1
＝y2(x2﹣1)﹣(x2﹣1)
＝(y2﹣1)(x﹣1)(x+1)
＝(y﹣1)(y+1)(x﹣1)(x+1)．
故选：D．
【举一反三3】分解因式x2y﹣16y的结果为 ．
【答案】y(x+4)(x﹣4)
【解析】x2y﹣16y＝y(x2﹣16)＝y(x+4)(x﹣4)．
故答案为：y(x+4)(x﹣4)．
【举一反三4】分解因式：x3y﹣10x2y2+25xy3＝ ．
【答案】xy(x﹣5y)2
【解析】x3y﹣10x2y2+25xy3＝xy(x2﹣10xy+25y2)＝xy(x﹣5y)2．
故答案为：xy(x﹣5y)2．
【举一反三5】分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y．
【答案】解：x3+2x2y﹣9x﹣18y
＝x2(x+2y)﹣9(x+2y)
＝(x+2y)(x2﹣9)
＝(x+2y)(x+3)(x﹣3)．
【题型7】因式分解在有理数简算中的应用
【典型例题】利用因式分解计算：的结果是( )
A.44 B.800 C.2200 D.8800
【答案】D
【解析】
．
故选：D．
【举一反三1】下列算式不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A、，选项正确，不符合题意；
B、，选项正确，不符合题意；
C、，选项正确，不符合题意；
D、，选项错误，符合题意．
故选：D．
【举一反三2】计算( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】．
故选：A．
【举一反三3】利用因式分解计算：的结果是 ．
【答案】8800
【解析】原式=
=
=
=8800．
故答案为：8800．
【举一反三4】计算： ．
【答案】
【解析】原式=
，
故答案为：．
【举一反三5】利用因式分解简便计算：
(1)；
(2)．
【答案】解：(1)
；
(2)
.
【题型8】公因式是多项式的因式分解
【典型例题】把(x﹣y)2﹣(y﹣x)分解因式的结果为( )
A.(x﹣y)(x﹣y﹣1) B.(y﹣x)(x﹣y﹣1) C.(y﹣x)(y﹣x﹣1) D.(y﹣x)(y+x+1)
【答案】C
【解析】原式＝(y﹣x)2﹣(y﹣x)
＝(y﹣x)[(y﹣x)﹣1]
＝(y﹣x)(y﹣x﹣1)．
故选：C．
【举一反三1】多项式x2y(a﹣b)﹣xy(b﹣a)+y(a﹣b)提公因式后，另一个因式为( )
A.x2﹣x+1 B.x2+x+1 C.x2﹣x﹣1 D.x2+x﹣1
【答案】B
【解析】原式＝(a﹣b)y(x2+x+1)，
公因式是(a﹣b)y，
故选：B．
【举一反三2】将多项式(m﹣n)3﹣m(m﹣n)2﹣n(n﹣m)2因式分解，结果为( )
A.2(m﹣n)3 B.2m(m﹣n)2 C.﹣2n(m﹣n)2 D.2(n﹣m)3
【答案】C
【解析】(m﹣n)3﹣m(m﹣n)2﹣n(n﹣m)2
＝(m﹣n)2[(m﹣n)﹣m﹣n]
＝﹣2n(m﹣n)2．
故选：C．
【举一反三3】因式分解：x(x+2)﹣x﹣2＝ ．
【答案】(x+2)(x﹣1)
【解析】x(x+2)﹣x﹣2＝x(x+2)﹣(x+2)＝(x+2)(x﹣1)．
故答案为：(x+2)(x﹣1)．
【举一反三4】分解因式：(a+1)2﹣2a﹣2＝ ．
【答案】(a+1)(a﹣1)
【解析】原式＝(a+1)2﹣2(a+1)
＝(a+1)(a+1﹣2)
＝(a+1)(a﹣1)，
故答案为：(a+1)(a﹣1)．
【举一反三5】因式分解：2m(a﹣b)﹣3n(b﹣a).
【答案】解：2m(a﹣b)﹣3n(b﹣a)
＝2m(a﹣b)+3n(a﹣b)
＝(a﹣b)(2m+3n)．
【题型9】运用两数和（差）的公式因式分解
【典型例题】下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有( )
(1)x2﹣4y2；
(2)9a2b2﹣3ab+1；
(3)﹣x2﹣2xy﹣y2；
(4)x2+y2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】(1)x2﹣4y2＝(x+2y)(x﹣2y)，能用平方差公式分解；
(2)9a2b2﹣3ab+1，不能用公式法分解；
(3)﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣(x2+2xy+y2)＝﹣(x+y)2，能用完全平方公式分解；
(4)x2+y2，不能用公式法分解．
故选：B．
【举一反三1】在学习对复杂多项式进行因式分解时，苏老师示范了如下例题：
因式分解：(x2+2x﹣3)(x2+2x+5)+16．
解：设x2+2x＝y，
原式＝(y﹣3)(y+5)+16
＝y2+2y﹣15+16
＝y2+2y+1
＝(y+1)2
＝(x2+2x+1)2
＝[(x+1)2]2
＝(x+1)4．
例题中体现的主要思想方法是( )
A.函数思想 B.整体思想 C.分类讨论思想 D.数形结合思想
【答案】B
【解析】例题中体现的主要思想方法是整体思想，
故选：B．
【举一反三2】因式分解：a2+2a(b+c)+(b+c)2＝ ．
【答案】(a+b+c)2
【解析】原式＝[a+(b+c)]2＝(a+b+c)2，
故答案为：(a+b+c)2．
【举一反三3】因式分解：25m2﹣10mn+n2＝ ．
【答案】(5m﹣n)2
【解析】原式＝(5m﹣n)2，
故答案为：(5m﹣n)2．
【举一反三4】将下列各式分解因式：(a2﹣2a)2+2(a2﹣2a)+1．
【答案】解：原式＝(a2﹣2a+1)2＝(a﹣1)4．
【题型10】利用因式分解进行求值
【典型例题】已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是( )
A.6 B.﹣6 C.1 D.﹣1
【答案】B
【解析】因为ab＝﹣3，a+b＝2，
所以a2b+ab2＝ab(a+b)＝﹣3×2＝﹣6，
故选：B．
【举一反三1】已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值是( )
A.2 B.6 C.4 D.8
【答案】C
【解析】∵m+n＝2，
∴原式＝(m+n)(m﹣n)+4n
＝2(m﹣n)+4n
＝2m﹣2n+4n
＝2(m+n)
＝2×2
＝4．
故选：C．
【举一反三2】若a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，则a+b的值为( )
A.±5 B.5 C.±4 D.4
【答案】A
【解析】∵a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，
∴(a2+ab)+(b2+ab)＝(16+m)+(9﹣m)，
∴(a+b)2＝25，
∴a+b＝±5，
故选：A．
【举一反三3】已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，则a+b+c的值为 ．
【答案】4
【解析】a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，
a2﹣abb2(b2﹣4b+4)+c2﹣2c+1＝0，
(ab)2(b﹣2)2+(c﹣1)2＝0，
∴ab＝0，(b﹣2)＝0，c﹣1＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝1，
则a+b+c＝4．
故答案为：4．
【举一反三4】已知x﹣y＝4，xy＝6，则x2y﹣xy2＝ ．
【答案】24
【解析】∵x﹣y＝4，xy＝6，
∴x2y﹣xy2＝xy(x﹣y)＝6×4＝24，
故答案为：24．
【举一反三5】阅读材料：将(x+y)2+2(x+y)+1分解因式．
解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝(A+1)2，再将A还原，原式＝(x+y+1)2．
上述材料解题过程用到了整体思想，整体思想是数学中的常用方法，请根据上面方法完成下列各小题．
(1)因式分解：(m+n)2﹣6(m+n)+9；
(2)设M＝(a﹣b)(a﹣b﹣2)+1．
①因式分解M；
②若M＝0，求a﹣b的值．
【答案】解：(1)令m+n＝A，则原式＝A2﹣6A+9＝(A﹣3)2，
再将A还原，原式＝(m+n﹣3)2；
(2)①M＝(a﹣b)[(a﹣b)﹣2]+1，
令a﹣b＝C，
则M＝C(C﹣2)+1
＝C2﹣2C+1
＝(C﹣1)2
＝(a﹣b﹣1)2；
②∵M＝0，
∴(a﹣b﹣1)2＝0，
∴a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
∴a﹣b的值为1．
【题型11】因式分解与多项式乘法的关系
【典型例题】已知多项式ax2+bx+c分解因式后结果2(x﹣3)(x+1)，则b，c的值为( )
A.b＝3，c＝﹣1 B.b＝﹣6，c＝2 C.b＝﹣6，c＝﹣4 D.b＝﹣4，c＝﹣6
【答案】D
【解析】2(x﹣3)(x+1)＝2(x2﹣2x﹣3)＝2x2﹣4x﹣6，
ax2+bx+c＝2x2﹣4x﹣6，
所以a＝2，b＝﹣4，c＝﹣6．
故选：D．
【举一反三1】若x2+mx﹣18能分解为(x﹣9)(x+n)，那么m、n的值是( )
A.7、2 B.﹣7、2 C.﹣7、﹣2 D.7、﹣2
【答案】B
【解析】根据题意得：x2+mx﹣18＝(x﹣9)(x+n)＝x2+(n﹣9)x﹣9n，
∴m＝n﹣9，﹣18＝﹣9n，
解得：m＝﹣7，n＝2．
故选：B．
【举一反三2】已知x﹣5是多项式2x2+8x+a的一个因式，则a可为( )
A.65 B.﹣65 C.90 D.﹣90
【答案】D
【解析】设多项式的另一个因式为2x+b．
则(x﹣5)(2x+b)＝2x2+(b﹣10)x﹣5b＝2x2+8x+a．
所以b﹣10＝8，解得b＝18．
所以a＝﹣5b＝﹣5×18＝﹣90．
故选：D．
【举一反三3】若x+2是x2﹣2x+m的一个因式，则常数m的值为 ．
【答案】﹣8
【解析】设该多项式的另一个因式是x+n．
得(x+2)(x+n)＝x2+(n+2)x+2n，
∴n+2＝﹣2，
解得n＝﹣4，
∴m＝2n＝2×(﹣4)＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【举一反三4】如果把多项式x2﹣3x+n分解因式得(x﹣1)(x+m)，那么m＝ ，n＝ ．
【答案】﹣2；2
【解析】x2﹣3x+n分解因式得(x﹣1)(x+m)，得
x2﹣3x+n＝x2+(m﹣1)x﹣m．
m﹣1＝﹣3，n＝﹣m．
解得m＝﹣2，n＝2，
故答案为：﹣2；2．
【举一反三5】仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为(x+n)，得x2﹣4x+m＝(x+3)(x+n)，
则x2﹣4x+m＝x2+(n+3)x+3n，
∴，
解得：n＝﹣7，m＝﹣21，
∴另一个因式为(x﹣7)，m的值为﹣21.
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是(2x﹣5)，求另一个因式以及k的值．
【答案】解：设另一个因式为(x+a)，得：2x2+3x﹣k＝(2x﹣5)(x+a)，
则2x2+3x﹣k＝2x2+(2a﹣5)x﹣5a，
∴，
解得：a＝4，k＝20．
故另一个因式为(x+4)，k的值为20．
【举一反三6】下面是一个正确的因式分解，但是其中部分一次式被墨水污染看不清了．
2x2+3x﹣6+＝(x﹣2)(2x+5)．
(1)求被墨水污染的一次式；
(2)若被墨水污染的一次式的值不小于2，求x的取值范围．
【答案】解：(1)被墨水污染的一次式为(x﹣2)(2x+5)﹣(2x2+3x﹣6)
＝2x2+5x﹣4x﹣10﹣2x2﹣3x+6
＝﹣2x﹣4；
(2)根据题意得：﹣2x﹣4≥2，
解得：x≤﹣3，
即x的取值范围是x≤﹣3．
【题型12】运用平方差公式因式分解
【典型例题】课堂上老师在黑板上布置了以下的题目：
用平方差公式分解因式：
(1)﹣a2+b2；
(2)﹣a2﹣b2；
(3)36a2﹣b2c2；
(4)16m2n2﹣25，
涛涛发现其中有一道题目错了，错误的题目是( )
A.第(1)题 B.第(2)题 C.第(3)题 D.第(4)题
【答案】B
【解析】(1)∵﹣a2+b2＝b2﹣a2＝(b+a)(b﹣a)，
∴(1)的题目正确；
(2)∵﹣a2﹣b2＝﹣(a2+b2)，不能分解，
∴(2)的题目错误；
(3)∵36a2﹣b2c2＝(6a)2﹣(bc)2＝(6a+bc)(6a﹣bc)，
∴(3)的题目正确；
(4)∵16m2n2﹣25＝(4mn)2﹣52＝(4mn+5)(4mn﹣5)，
∴(4)的题目正确，
故选：B．
【举一反三1】下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A.x2+y2 B.﹣x2﹣y2 C.x2﹣y3 D.﹣x2+y2
【答案】D
【解析】A、x2+y2，无法分解因式，不合题意；
B、﹣x2﹣y2，无法分解因式，不合题意；
C、x2﹣y3，无法分解因式，不合题意；
D、﹣x2+y2＝(y﹣x)(y+x)，正确，符合题意；
故选：D．
【举一反三2】对于任何整数a(a≠0)，多项式(3a+5)2﹣4都能( )
A.被9整除 B.被a整除 C.被a+1整除 D.被a﹣1整除
【答案】C
【解析】原式＝(3a+5+2)(3a+5﹣2)＝3(3a+7)(a+1)，
则对于任何整数a，多项式(3a+5)2﹣4都能被a+1整除．
故选：C．
【举一反三3】因式分解：x2﹣9y2＝ ．
【答案】(x+3y)(x﹣3y)
【解析】原式＝(x+3y)(x﹣3y)．
故答案为：(x+3y)(x﹣3y)．
【举一反三4】分解因式：(a+3)2﹣16＝ ．
【答案】(a+7)(a﹣1)
【解析】(a+3)2﹣16
＝(a+3)2﹣42
＝(a+3+4)(a+3﹣4)
＝(a+7)(a﹣1)．
故答案为：(a+7)(a﹣1)．
【举一反三5】分解因式：(3x﹣2)2﹣(2x+7)2.
【答案】解：原式＝[(3x﹣2)+(2x+7)][(3x﹣2)﹣(2x+7)]
＝(3x﹣2+2x+7)(3x﹣2﹣2x﹣7)
＝(5x+5)(x﹣9)
＝5(x+1)(x﹣9).
【举一反三6】因式分解(3x+y)2﹣(x+3y)2．小禾因式分解后，通过代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)小禾的解答是从第几步开始出错的，并帮助他指出错误的原因．
(2)请尝试写出正确的因式分解过程．
【答案】解：(1)小禾的解答是从第②步开始出错的，
错误的原因：y与﹣3y合并同类项计算错误；
(2)正确的因式分解过程如下：
(3x+y)2﹣(x+3y)2
＝(3x+y+x+3y)(3x+y﹣x﹣3y)
＝(4x+4y)(2x﹣2y)
＝8(x+y)(x﹣y)．
