12.3等腰三角形
【知识点1】等腰三角形的性质 1
【知识点2】等边三角形的性质 2
【知识点3】等腰三角形的判定与性质 3
【知识点4】等边三角形的判定 4
【知识点5】等边三角形的判定与性质 5
【知识点6】等腰三角形的判定 7
【知识点7】作图—基本作图 8
【题型1】利用等边对等角求角度 10
【题型2】等边三角形中的三线合一 13
【题型3】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 17
【题型4】用等角对等边求线段的长 21
【题型5】等角对等边判定等腰三角形 23
【题型6】用等角对等边证明线段相等 27
【题型7】等边三角形的性质的综合应用 31
【题型8】三个角都相等的三角形是等边三角形 36
【题型9】等边三角形判定与性质的综合应用 38
【题型10】等边三角形的三个角都等于60° 43
【题型11】利用等边对等角进行证明 46
【题型12】利用三线合一进行计算 50
【知识点1】等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
1.（2025春 泾阳县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（ ）
A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40°
【答案】C
【分析】先分顶角为70°和底角为70°两种情况，再根据等腰三角形的性质即可解答．
【解答】解：当它的顶角为70°时，
它的顶角度数为：（180°-70°）÷2=55°；
当它的底角为70°时，
它的顶角度数为：180°-2×70°=40°；
∴它的底角度数是55°或70°．
故选：C．
2.（2024秋 姜堰区期末）如果等腰三角形的两边长为2cm,4cm,那么它的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．11cm D．8cm或10cm
【答案】B
【分析】分两种情况：①底为2cm,腰为4cm时，求出三角形的周长即可；
②底为4cm,腰为2cm时；2+2=4，由三角形的三边关系得出不能构成三角形．
【解答】解：分两种情况：
①底为2cm,腰为4cm时，
等腰三角形的周长=2+4+4=10（cm）；
②底为4cm,腰为2cm时，
∵2+2=4，
∴不能构成三角形；
∴等腰三角形的周长为10cm；
故选：B．
【知识点2】等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
1.（2023秋 龙山区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（ ）
A．25° B．60° C．85° D．95°
【答案】D
【分析】等边三角形的三个角都为60°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
【解答】解：∠ADB=∠DBC+∠C=35°+60°=95°．
故选：D．
【知识点3】等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
1.（2024春 凤城市期中）如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO，BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N，BC于M，则△CMN的周长为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．不确定
【答案】B
【分析】由AO，BO分别是角平分线求得∠1=∠2，∠3=∠4，利用平行线性质求得，∠1=∠6，∠3=∠5，利用等量代换求得∠2=∠6，∠4=∠5，即可解题．
【解答】解：由AO，BO分别是角平分线得∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵MN∥BA，∴∠1=∠6，∠3=∠5，
∴∠2=∠6，∠4=∠5，
∴AN=NO，BM=OM．
∵AC+BC=24，∴AC+BC=AN+NC+BM+MC=24，
即MN+MC+NC=24，也就是△CMN的周长是24．
故选：B．
【知识点4】等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
1.（2021秋 淮安期末）三角形的三边长a,b,c满足（a-b）4+（b-c）2+|c-a|=0，那么这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰非等边三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【分析】利用偶次方及绝对值的非负性可得出a-b=0，b-c=0，c-a=0，进而可得出a=b=c,再结合a,b,c是三角形的三边长，即可得出这个三角形是等边三角形．
【解答】解：∵（a-b）4+（b-c）2+|c-a|=0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c.
又∵a,b,c是三角形的三边长，
∴这个三角形是等边三角形．
故选：B．
2.（2023春 漳州期中）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形
【答案】D
【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．
【解答】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形．
故选：D．
【知识点5】等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
1.（2021春 张店区期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（ ）
A．△BPQ是等边三角形 B．△PCQ是直角三角形
C．∠APB=150° D．∠APC=135°
【答案】D
【分析】根据等边三角形性质得出∠ABC=60°，根据全等得出∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，求出∠PBQ=60°，即可判断A，根据勾股定理的逆定理即可判断B；求出∠BQP=60°，∠PQC=90°，即可判断C，求出∠APC+∠QPC=150°和PQ≠QC即可判断D．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ=BP=4，
∵PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形，
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠BOQ=∠BQP=60°，
∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，
∴∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵∠PQC=90°，PQ≠QC，
∴∠QPC≠45°，
即∠APC≠135°，
∴选项A、B、C正确，选项D错误．
故选：D．
2.（2011秋 罗平县期末）设M，N，P分别是等边三角形ABC各边上的点，AM=BN=CP，则△MNP是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
【答案】A
【分析】由△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求得AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，又由AM=BN=CP，利用SAS的判定方法即可判定△AMP≌△BNM≌△CPN，则可得PM=MN=NP，证得△MNP是等边三角形．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵AM=BN=CP，
∴BM=CN=AP，
在△AMP，△BNM和△CPN中，
，
∴△AMP≌△BNM≌△CPN（SAS），
∴PM=MN=NP，
∴△MNP是等边三角形．
故选：A．
【知识点6】等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
1.（2023秋 海曙区校级期中）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A=30°，∠B=60° B．AB=AC=2，BC=4
C．∠A=50°，∠B=80° D．AB=3、BC=7，周长为13
【答案】C
【分析】求出∠C，即可判断A；根据三角形的三边关系定理即可判断B；求出∠C即可判断C；求出AC，根据三角形三边关系定理即可判断D．
【解答】解：A、∵∠A=30°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
即∠A≠∠B≠∠C，
∴△ABC不是等腰三角形，故本选项错误；
B、∵AB=AC=2，BC=2，
∴2+2=4，
即三条线段不能组成三角形，故本选项错误；
C、∵∠A=50°，∠B=80°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=50°，
即∠A=∠C，
∴△ABC是等腰三角形，故本选项正确；
D、∵AB=3，BC=7，周长是13，
∴AC=13-3-7=3，
∵3+3＜7，
∴三条线段不能组成三角形，故本选项错误；
故选：C．
【知识点7】作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
1.（2025春 长春期末）用直尺和圆规作△ABC的中线AD，作图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图进行排除选项．
【解答】解：A、由图可知：尺规作图是作BC的垂直平分线，所以AD是△ABC的中线，故A符合题意；
B、由图可知：尺规作图是作AB的垂直平分线，所以AD不是△ABC的中线，故B不符合题意；
C、由图可知：AD不是△ABC的中线，故C不符合题意；
D、由图可知：AD是∠BAC的平分线，所以AD不是△ABC的中线，故D不符合题意；
故选：A．
2.（2025春 绿园区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB=3，连接AC．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出AC的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质求出∠CEA=∠CEA，得到CE=AC，即可求解．
【解答】解：由作图可知，AE平分∠CAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，BC=AB=3，∠B=90°，
在Rt△ABC中，AC=3，
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠CEA=∠DAE，
∴∠CEA=∠DAE=∠CAE，
∴，
故选：B．
【题型1】利用等边对等角求角度
【典型例题】如图，已知，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选B.
【举一反三1】如图，中，，E是边上的点，先将沿着翻折，得到 ，边交于点 D，再将沿着 翻折，得到，点恰好在上，此时 ，则∠A的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，
，
根据折叠的性质知：，
，
在中，
， ，
，
，
，
故选：C．
【举一反三2】将一张圆形纸片(圆心为点沿直径对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线剪开，再将展开得到如图3的一个六角星．若，则的度数为 ．
【答案】
【解析】由题知，，
由翻折知，，
，
，
，
，
故答案为：．
【举一反三3】如图，已知，，，，求的度数为 °．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
故答案为：．
【举一反三4】已知等腰三角形的一个角比另一个角的2倍多，求这个等腰三角形的底角的度数．
【答案】解 设另一个角的度数为，则原来那个角的度数为，
分两种情况：
当是顶角，是底角时，
，
解得：，
，
底角的度数为；
当是底角，是顶角时，
，
解得：，
底角的度数为；
综上所述：这个等腰三角形的底角的度数为或．
【举一反三5】如图，在中，，是边上一点，，，，求的度数．
【答案】解 ∵，
∴设，
，
∵，
∴，
在中，，
，
．
【题型2】等边三角形中的三线合一
【典型例题】如图，等边三角形的两条中线，交于点M，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】是等边三角形,
两条中线，交于点M
平分
故选：C．
【举一反三1】如图，是等边三角形，为中线，为上一点，连接，有，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵为等边三角形，
∴．
∵是等边三角形的中线，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【举一反三2】如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵在等边中，是边上的中线，
∴是的平分线，
∴．
故选：D．
【举一反三3】如图，等边三角形的两条中线，交于点M，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】是等边三角形,
两条中线，交于点M
平分
故选：C．
【举一反三4】如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵在等边中，是边上的中线，
∴是的平分线，
∴．
故选：D．
【举一反三5】如图，是等边三角形的高，，则 ．
【答案】
【解析】∵三角形是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【举一反三6】如图，在等边中，边长为，点为的中点，将按逆时针方向旋转后得到，则 ．
【答案】9
【解析】∵等边，点为的中点，
∴
由旋转可得．
故答案为：9．
【举一反三7】如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧交的延长线于，连接，则 ．
【答案】
【解析】是等边三角形，
，，
是的中线，
，
由题意得：，
，
，
故答案为：．
【举一反三8】如图，BD是等边的边上的高是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长线于点E，则 ．
【答案】
【解析】∵是等边的边上的高，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【题型3】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【典型例题】满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角形的是( )
A.有两个内角是的三角形
B.有两边相等且是轴对称图形的三角形
C.有一个内角是且有两边相等的三角形
D.三边都相等的三角形
【答案】B
【解析】A．有两个内角是的三角形是等边三角形，不符合题意；
B．有两边相等且是轴对称图形的三角形是等腰三角形，符合题意；
C．有一个内角是且有两边相等的三角形是等边三角形，不符合题意；
D．三边都相等的三角形是等边三角形，不符合题意；
故选：B．
【举一反三1】下列条件不能判定是等边三角形的是( )
A. B. C.， D.
【答案】D
【解析】A．∵，
∴是等边三角形，故A选项不符合题意；
B．∵，
∴是等边三角形，故B选项不符合题意；
C．∵，，
∴是等边三角形，故A选项不符合题意；
D．∵∠A+∠B=2∠C，，
∴，不能判断是等边三角形，故D选项符合题意，
故选：D．
【举一反三2】在中，，添加下列一个条件后不能判断是等边三角形的是( )
A. B. C.的补角等于的补角 D.边上的高也是边上的中线
【答案】C
【解析】∵，
∴是等腰三角形，
当时，是等边三角形，故A不符合题意，
当时，是等边三角形，故B不符合题意，
当的补角等于的补角时，即，不一定是等边三角形，故C符合题意，
当边上的高也是边上的中线时，得到，是等边三角形，故D不符合题意．
故选：C．
【举一反三3】下列四个说法中：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于的三角形是等边三角形；③有一个角是的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形. 其中不正确的是 (填序号)
【答案】④
【解析】①三个角都相等的三角形是等边三角形，正确，不符合题意；
②有两个角等于的三角形是等边三角形；正确，不符合题意；
③有一个角是的等腰三角形是等边三角形；正确，不符合题意；
④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形. 不正确，符合题意；
故答案为：④．
【举一反三4】在中，若，请你补充一个条件使得为等边三角形 ．
【答案】，答案不唯一
【解析】根据等边三角形的性质可得：
∵，
∴或都可以使为等边三角形，
故答案为：，答案不唯一．
【举一反三5】如图，在中，，为边的中点，于点，于点，．求证：是等边三角形．
【答案】证明 ∵为的中点，
∴，
∵，，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
【举一反三6】如图，是的角平分线，，交于点F．已知．
(1)求的度数．
(2)若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)解 ∵，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为；
(2)解 是等边三角形，理由：
由(1)得：，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
【题型4】用等角对等边求线段的长
【典型例题】如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，平分，，，则( )
A.10 B.8 C.7 D.6
【答案】C
【解析】延长，，交于点G，如图所示：
∵点D为的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【举一反三1】将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，
．
故选：A．
【举一反三2】如图，已知交于点，且，若，，则的长为 ．
【答案】8
【解析】，
，，
，
，
，
，
故答案为：8．
【举一反三3】如图，，求的长．
【答案】解 ∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【题型5】等角对等边判定等腰三角形
【典型例题】如图，在中，，若三等分，则图中的等腰三角形有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
【答案】C
【解析】∵，
∴为等腰三角形，，
∵三等分，
∴，
∴，
∴,
∴为等腰三角形，
再由，
得，
∴为等腰三角形，
∵
∴，
∴为等腰三角形，
同理为等腰三角形，
故图中有6个等腰三角形，
故选：C．
【举一反三1】下面是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能够得到两个等腰三角形纸片的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意；
B．如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意；
C．如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意；
D．不可以裁成两个等腰三角形，符合题意；
故选D．
【举一反三2】如图，在中，，，分别平分与，且相交于点，交于点，交于点，则图中的等腰三角形共有 个．
【答案】8
【解析】∵，，
∴，
∵分别平分与，
∴，
∴，，
∴，，
综上：均为等腰三角形，一共8个，
故答案为：8．
【举一反三3】如图，在中，，，，则图中等腰三角形的个数是 ．
【答案】3
【解析】在中，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，都是等腰三角形，共3个．
故答案为：3．
【举一反三4】在中，是的角平分线，是的中点，过作交延长线于，交于．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：；
【答案】证明 (1)是的角平分线，
，
∵，
，，
，
，
∴是等腰三角形；
(2)由(1)得，，
过作交延长线于点，
∵，，
，
，，
，
，
在与中，
，
∴，
，
．
【举一反三5】如图，在等腰中，，为底边延长线上任意一点，过点作，与的延长线交于点，求证：是等腰三角形．
【答案】证明 ∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【题型6】用等角对等边证明线段相等
【典型例题】如图，已知，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，，，
∴，故正确；
根据性质，不能确定，
故选：．
【举一反三1】在中，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，，则：，
故选A．
【举一反三2】如图，在中，点分别在边上，与相交于点，下列各个选项所列举的条件中，不能证明的是( )
A.， B.， C.， D.，
【答案】B
【解析】A．因为，，为公共角，
∴，
∴，故A选项不符合题意；
B．根据，，无法判断和全等，故无法得到和的大小关系，则和的大小无法判断，
∴不能证明，故B选项符合题意；
C．∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故C选项不符合题意；
D．∵，，，
∴，
∴，
∴，故D选项不符合题意；
故选：B．
【举一反三3】如图，已知，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，，，
∴，故正确；
根据性质，不能确定，
故选：．
【举一反三4】在中，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，，则：，
故选A．
【举一反三5】如图，点A，D，B，E在同一条直线上，与相交于点O，，，．求证：．
【答案】证明 ∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
【举一反三6】如图，在中，，，．
求证：(1)
(2)．
【答案】(1)证明 ∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)证明 ∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【题型7】等边三角形的性质的综合应用
【典型例题】如图，为等边三角形，且与相交于点，则( )．
A.等于 B.等于 C.等于 D.大小不确定
【答案】B
【解析】∵等边，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【举一反三1】如图，是等边三角形，点是下方的一点，，，点和点分别是和上一点，．若的周长为12，则的周长为( )
A.5 B.6 C.8 D.9
【答案】C
【解析】如图，延长至点，使，连接．
∵是等边三角形，的周长为12，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
【举一反三2】如图等边、，其中，则( )．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵、是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【举一反三3】如图，为等边三角形，其边长为是等腰三角形，，在上有一动点，连接，在上有一点，使得与的夹角为，连接，则的周长为 ．
【答案】18
【解析】如图，延长至点P，使，连接．
∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的周长=.
故答案为：18
【举一反三4】如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)证明 ∵和均是等边三角形，
∴，，，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
(2)解 ∵
∴
∵是的外角
∴
∵，，
∴．
【举一反三5】如图，和均为等边三角形，，垂足为点，点分别在的延长线上，连接，使得．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明 和均为等边三角形．
．
∴,
又∵，
，即．
在和中，
．
(2)解 ∵，
∴．
，
．
为等边三角形，，
点为的中点．
．
．
【题型8】三个角都相等的三角形是等边三角形
【典型例题】如图是一款圣诞帽，该帽子的下方是正六边形ABCDEF，延长BA，EF，交于点G，则帽子的顶部△GAF的形状是( )
A.只有两边相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.无法确定
【答案】B
【解析】∵正六边形ABCDEF，
∴，
△GAF是等边三角形，
故选B
【举一反三1】适合条件的三角形是( )
A.锐角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∴此三角形是等边三角形．
故选：B．
【举一反三2】若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是( )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
【答案】A
【解析】∵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，
∴若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，则与之不相邻的两个内角相等，
∴这个三角形是等边三角形．
故选：A．
【举一反三3】命题“三个角都是的三角形是等边三角形”是 (填“真”或“假”)命题．
【答案】真
【解析】三个角都是的三角形是等边三角形，故该命题是真命题，
故答案为：真．
【举一反三4】在中，如果，，那么的形状为 ．
【答案】等边三角形
【解析】在中，由得，
又∵，
∴，
∴是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E．
(1)求证：EC⊥BC；
(2)若∠BAC=120°，试判定△ACE的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明 ∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
又∵CE∥AD，
∴EC⊥BC；
(2)解 △ACE是等边三角形，理由如下：
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠BAC =60°, ∠EAC =60°,
又∵CE∥AD，
∴∠E=60°,
∴∠EAC =∠E=∠ECA=60°,
∴△ACE是等边三角形.
【题型9】等边三角形判定与性质的综合应用
【典型例题】如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点O，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
∵，
，即，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：C．
【举一反三1】如图，为一个平面内的等边三角形，在同一个平面内有一点，使得，则点到点的最大距离为( )
A.12 B.15 C.18 D.
【答案】B
【解析】如图，把绕点A按逆时针方向旋转，得，则，连接，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵为一个平面内的等边三角形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
．
故选：B.
【举一反三2】如图，在等边内有一点，使得，那么以、的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】将绕点B顺时针旋转得到，连结，
则，，，，
是等边三角形，
∴，，
就是以，，的长度为边长的三角形，
∵，
，
，
，
，
，
，
以，，的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为．
故选：A
【举一反三3】如图，在等边中，点D是边上一点，将绕点B逆时针旋转得到，若，，则的周长为 ．
【答案】
【解析】∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
【举一反三4】如图，是等边三角形，D为外一点，且，连接，若，则的长为 ．
【答案】
【解析】在上截取，连接，如图所示，
，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【举一反三5】如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC．
(1)试说明△ADC与△BEC全等的理由；
(2)试判断△DCE的形状，并说明理由．
【答案】解 (1)∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC(S.A.S.)；
(2)△DCE是等边三角形；理由如下：
∵△ADC≌△BEC，
∴∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC，
即△DCE是等腰三角形，
∴△DCE是等边三角形．
【题型10】等边三角形的三个角都等于60°
【典型例题】如图，已知等边三角形，且，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故选C
【举一反三1】如图，为等边三角形，D是内一点，将经过旋转到的位置，则旋转角的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵是等边三角形，
∴，，
∵将经过旋转到的位置，
∴旋转角为，
故选：D．
【举一反三2】如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为 ．
【答案】
【解析】由翻折性质可知：，
∵为等边三角形，
∴，，，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵是由翻折得到，
∴，
故答案为：．
【举一反三3】如图，已知，是等边三角形，，求的度数．
【答案】解 是等边三角形，
，
，
，
，
．
【举一反三4】如图，在等边三角形中，D是边上一点，以为边作等腰三角形，使，，交于点F，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】解 (1)∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
(2)∵，，
∴，
，
又∵
∴．
【题型11】利用等边对等角进行证明
【典型例题】如图，已知在，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，
，
，
故选：C．
【举一反三1】如图，在中，，若是边上任意一点，，连接，在①，②，③中，所有正确的结论是( )
A.③ B.①② C.②③ D.①②③
【答案】C
【解析】∵，
∴，，，，
故结论①错误，不符合题意；
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故结论③正确，符合题意；
∵，
∴，
故结论②正确，符合题意；
∴正确的结论是②③．
故选：C．
【举一反三2】如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：D．
【举一反三3】如图，在中，，若是边上任意一点，，连接，在①，②，③中，所有正确的结论是( )
A.③ B.①② C.②③ D.①②③
【答案】C
【解析】∵，
∴，，，，
故结论①错误，不符合题意；
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故结论③正确，符合题意；
∵，
∴，
故结论②正确，符合题意；
∴正确的结论是②③．
故选：C．
【举一反三4】如图，C为线段上一点，分别以为底边，在的同侧作等腰和等腰，且，在线段上取一点F，使，连接.
(1)如图1，判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若，延长交于点G，探究与的关系，并说明理由.
【答案】(1)解 ，理由如下：
等腰和等腰中，和是底边，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
(2)解 ，理由如下：
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
即．
【举一反三5】如图，在中，，点为的中点，且平分，的延长线交于点．求证：．
【答案】证明 ，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【题型12】利用三线合一进行计算
【典型例题】如图，在中，，点D是中点，，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，点D是中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【举一反三1】如图，在中，，平分．若，，则的周长为( )
A.11 B.14 C.16 D.18
【答案】D
【解析】∵，平分．
∴，
∴的周长为，
故选：D．
【举一反三2】如图，在中，，，平分，点M为上一点，且，则 ．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，是边上的中线，
∴，，
∴，
则
故答案为：．
【举一反三3】在中，，过点A作于D，若，则 ．
【答案】7
【解析】如图，
，，
，
，
，
故答案为：7．
【举一反三4】如图所示，中，，于点E，于点D，交于F．
(1)若，求的度数；
(2)若点F是的中点，求证：．
【答案】解 (1)∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
(2)如图，连接，
∵，且点F是的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．12.3等腰三角形
【知识点1】等腰三角形的性质 1
【知识点2】等边三角形的性质 2
【知识点3】等腰三角形的判定与性质 2
【知识点4】等边三角形的判定 3
【知识点5】等边三角形的判定与性质 3
【知识点6】等腰三角形的判定 4
【知识点7】作图—基本作图 4
【题型1】利用等边对等角求角度 5
【题型2】等边三角形中的三线合一 6
【题型3】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 9
【题型4】用等角对等边求线段的长 10
【题型5】等角对等边判定等腰三角形 10
【题型6】用等角对等边证明线段相等 12
【题型7】等边三角形的性质的综合应用 13
【题型8】三个角都相等的三角形是等边三角形 15
【题型9】等边三角形判定与性质的综合应用 16
【题型10】等边三角形的三个角都等于60° 17
【题型11】利用等边对等角进行证明 18
【题型12】利用三线合一进行计算 20
【知识点1】等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
1.（2025春 泾阳县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（ ）
A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40°
2.（2024秋 姜堰区期末）如果等腰三角形的两边长为2cm,4cm,那么它的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．11cm D．8cm或10cm
【知识点2】等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
1.（2023秋 龙山区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（ ）
A．25° B．60° C．85° D．95°
【知识点3】等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
1.（2024春 凤城市期中）如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO，BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N，BC于M，则△CMN的周长为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．不确定
【知识点4】等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
1.（2021秋 淮安期末）三角形的三边长a,b,c满足（a-b）4+（b-c）2+|c-a|=0，那么这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰非等边三角形 D．钝角三角形
2.（2023春 漳州期中）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形
【知识点5】等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
1.（2021春 张店区期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（ ）
A．△BPQ是等边三角形 B．△PCQ是直角三角形
C．∠APB=150° D．∠APC=135°
2.（2011秋 罗平县期末）设M，N，P分别是等边三角形ABC各边上的点，AM=BN=CP，则△MNP是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
【知识点6】等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
1.（2023秋 海曙区校级期中）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A=30°，∠B=60° B．AB=AC=2，BC=4
C．∠A=50°，∠B=80° D．AB=3、BC=7，周长为13
【知识点7】作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
1.（2025春 长春期末）用直尺和圆规作△ABC的中线AD，作图正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2025春 绿园区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB=3，连接AC．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【题型1】利用等边对等角求角度
【典型例题】如图，已知，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，中，，E是边上的点，先将沿着翻折，得到 ，边交于点 D，再将沿着 翻折，得到，点恰好在上，此时 ，则∠A的度数是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】将一张圆形纸片(圆心为点沿直径对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线剪开，再将展开得到如图3的一个六角星．若，则的度数为 ．
【举一反三3】如图，已知，，，，求的度数为 °．
【举一反三4】已知等腰三角形的一个角比另一个角的2倍多，求这个等腰三角形的底角的度数．
【举一反三5】如图，在中，，是边上一点，，，，求的度数．
【题型2】等边三角形中的三线合一
【典型例题】如图，等边三角形的两条中线，交于点M，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，是等边三角形，为中线，为上一点，连接，有，则等于( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，等边三角形的两条中线，交于点M，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三4】如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三5】如图，是等边三角形的高，，则 ．
【举一反三6】如图，在等边中，边长为，点为的中点，将按逆时针方向旋转后得到，则 ．
【举一反三7】如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧交的延长线于，连接，则 ．
【举一反三8】如图，BD是等边的边上的高是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长线于点E，则 ．
【题型3】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【典型例题】满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角形的是( )
A.有两个内角是的三角形
B.有两边相等且是轴对称图形的三角形
C.有一个内角是且有两边相等的三角形
D.三边都相等的三角形
【举一反三1】下列条件不能判定是等边三角形的是( )
A. B. C.， D.
【举一反三2】在中，，添加下列一个条件后不能判断是等边三角形的是( )
A. B. C.的补角等于的补角 D.边上的高也是边上的中线
【举一反三3】下列四个说法中：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于的三角形是等边三角形；③有一个角是的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形. 其中不正确的是 (填序号)
【举一反三4】在中，若，请你补充一个条件使得为等边三角形 ．
【举一反三5】如图，在中，，为边的中点，于点，于点，．求证：是等边三角形．
【举一反三6】如图，是的角平分线，，交于点F．已知．
(1)求的度数．
(2)若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由．
【题型4】用等角对等边求线段的长
【典型例题】如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，平分，，，则( )
A.10 B.8 C.7 D.6
【举一反三1】将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，已知交于点，且，若，，则的长为 ．
【举一反三3】如图，，求的长．
【题型5】等角对等边判定等腰三角形
【典型例题】如图，在中，，若三等分，则图中的等腰三角形有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
【举一反三1】下面是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能够得到两个等腰三角形纸片的是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在中，，，分别平分与，且相交于点，交于点，交于点，则图中的等腰三角形共有 个．
【举一反三3】如图，在中，，，，则图中等腰三角形的个数是 ．
【举一反三4】在中，是的角平分线，是的中点，过作交延长线于，交于．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：；
【举一反三5】如图，在等腰中，，为底边延长线上任意一点，过点作，与的延长线交于点，求证：是等腰三角形．
【题型6】用等角对等边证明线段相等
【典型例题】如图，已知，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】在中，，则( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在中，点分别在边上，与相交于点，下列各个选项所列举的条件中，不能证明的是( )
A.， B.， C.， D.，
【举一反三3】如图，已知，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
【举一反三4】在中，，则( )
A. B. C. D.
【举一反三5】如图，点A，D，B，E在同一条直线上，与相交于点O，，，．求证：．
【举一反三6】如图，在中，，，．
求证：(1)
(2)．
【题型7】等边三角形的性质的综合应用
【典型例题】如图，为等边三角形，且与相交于点，则( )．
A.等于 B.等于 C.等于 D.大小不确定
【举一反三1】如图，是等边三角形，点是下方的一点，，，点和点分别是和上一点，．若的周长为12，则的周长为( )
A.5 B.6 C.8 D.9
【举一反三2】如图等边、，其中，则( )．
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，为等边三角形，其边长为是等腰三角形，，在上有一动点，连接，在上有一点，使得与的夹角为，连接，则的周长为 ．
【举一反三4】如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【举一反三5】如图，和均为等边三角形，，垂足为点，点分别在的延长线上，连接，使得．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【题型8】三个角都相等的三角形是等边三角形
【典型例题】如图是一款圣诞帽，该帽子的下方是正六边形ABCDEF，延长BA，EF，交于点G，则帽子的顶部△GAF的形状是( )
A.只有两边相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.无法确定
【举一反三1】适合条件的三角形是( )
A.锐角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
【举一反三2】若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是( )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
【举一反三3】命题“三个角都是的三角形是等边三角形”是 (填“真”或“假”)命题．
【举一反三4】在中，如果，，那么的形状为 ．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E．
(1)求证：EC⊥BC；
(2)若∠BAC=120°，试判定△ACE的形状，并说明理由．
【题型9】等边三角形判定与性质的综合应用
【典型例题】如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点O，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，为一个平面内的等边三角形，在同一个平面内有一点，使得，则点到点的最大距离为( )
A.12 B.15 C.18 D.
【举一反三2】如图，在等边内有一点，使得，那么以、的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在等边中，点D是边上一点，将绕点B逆时针旋转得到，若，，则的周长为 ．
【举一反三4】如图，是等边三角形，D为外一点，且，连接，若，则的长为 ．
【举一反三5】如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC．
(1)试说明△ADC与△BEC全等的理由；
(2)试判断△DCE的形状，并说明理由．
【题型10】等边三角形的三个角都等于60°
【典型例题】如图，已知等边三角形，且，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，为等边三角形，D是内一点，将经过旋转到的位置，则旋转角的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为 ．
【举一反三3】如图，已知，是等边三角形，，求的度数．
【举一反三4】如图，在等边三角形中，D是边上一点，以为边作等腰三角形，使，，交于点F，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【题型11】利用等边对等角进行证明
【典型例题】如图，已知在，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在中，，若是边上任意一点，，连接，在①，②，③中，所有正确的结论是( )
A.③ B.①② C.②③ D.①②③
【举一反三2】如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在中，，若是边上任意一点，，连接，在①，②，③中，所有正确的结论是( )
A.③ B.①② C.②③ D.①②③
【举一反三4】如图，C为线段上一点，分别以为底边，在的同侧作等腰和等腰，且，在线段上取一点F，使，连接.
(1)如图1，判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若，延长交于点G，探究与的关系，并说明理由.
【举一反三5】如图，在中，，点为的中点，且平分，的延长线交于点．求证：．
【题型12】利用三线合一进行计算
【典型例题】如图，在中，，点D是中点，，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在中，，平分．若，，则的周长为( )
A.11 B.14 C.16 D.18
【举一反三2】如图，在中，，，平分，点M为上一点，且，则 ．
【举一反三3】在中，，过点A作于D，若，则 ．
【举一反三4】如图所示，中，，于点E，于点D，交于F．
(1)若，求的度数；
(2)若点F是的中点，求证：．
