12.2三角形全等的判定
【知识点1】作图—基本作图 1
【知识点2】全等三角形的判定 3
【知识点3】直角三角形全等的判定 4
【题型1】用AAS判定三角形全等 5
【题型2】AAS的实际应用 7
【题型3】ASA判定三角形全等 10
【题型4】ASA的实际应用 13
【题型5】用SAS判定三角形全等 16
【题型6】HL与全等三角形的性质的综合 19
【题型7】全等三角形判定条件的探索 23
【题型8】全等三角形的定义 26
【题型9】全等三角形的对应元素 28
【题型10】SSS与全等三角形的性质的综合 31
【题型11】ASA与全等三角形的性质的综合 34
【题型12】SAS与全等三角形的性质的综合 37
【题型13】用SSS判定三角形全等 41
【题型14】SSS的实际应用 43
【题型15】AAS与全等三角形的性质的综合 46
【题型16】全等三角形的性质 50
【题型17】用HL判定直角三角形全等 52
【题型18】SAS的实际应用 55
【知识点1】作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
1.（2025春 绿园区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB=3，连接AC．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出AC的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质求出∠CEA=∠CEA，得到CE=AC，即可求解．
【解答】解：由作图可知，AE平分∠CAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，BC=AB=3，∠B=90°，
在Rt△ABC中，AC=3，
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠CEA=∠DAE，
∴∠CEA=∠DAE=∠CAE，
∴，
故选：B．
2.（2025春 长春期末）用直尺和圆规作△ABC的中线AD，作图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图进行排除选项．
【解答】解：A、由图可知：尺规作图是作BC的垂直平分线，所以AD是△ABC的中线，故A符合题意；
B、由图可知：尺规作图是作AB的垂直平分线，所以AD不是△ABC的中线，故B不符合题意；
C、由图可知：AD不是△ABC的中线，故C不符合题意；
D、由图可知：AD是∠BAC的平分线，所以AD不是△ABC的中线，故D不符合题意；
故选：A．
【知识点2】全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
1.（2024秋 汕头期末）如图，点B，F，E，D共线，∠B=∠D，BE=DF，添加一个条件，不能判定△ABF≌△CDE的是（ ）
A．AF∥CE B．∠A=∠C C．AF=CE D．AB=CD
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理判断求解即可．
【解答】解：∵BE=DF，
∴BF+EF=DE+EF，
即BF=DE，
A．∵AF∥CE，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AFB=∠CED，
又∠B=∠D，BF=DE，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABF≌△CDE，故本选项不符合题意；
B．∠A=∠C，∠B=∠D，BF=DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABF≌△CDE，故本选项不符合题意；
C．AF=CE，BF=DE，∠B=∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABF≌△CDE，故本选项符合题意；
D．AB=CD，∠B=∠D，BF=DE，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABF≌△CDE，故本选项不符合题意；
故选：C．
【知识点3】直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
1.（2021秋 蒙城县期末）下列说法中，正确的个数是（ ）
①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；
④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据HL可得①正确；由SAS或AAS或ASA可得②正确；如果一直角边和一斜边对应相等，这两个直角三角形不全等；由AAS或ASA可得③正确；三个角相等的两个直角三角形不一定全等．
【解答】解：①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；
②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等，正确；
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确；
④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，错误；
故选：C．
【题型1】用AAS判定三角形全等
【典型例题】如图，已知，，那么要得到，还应给出的条件是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴再加一对对应边相等即可，
则A选项不符合题意；
B.添加，符合可得，符合题意；
C.由和不是对应边，故不符合题意；
D.由和不是对应边，故不符合题意；
故选：B．
【举一反三1】如图，点B．E．C．F在一条直线上，，且，请添加一个条件不能使是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A．∵
∴
由得：，
∴，
∵
∴，
故A选项不符合题意．
B．∵
∴，
故B选项不符合题意．
C．添加的条件不能使，
故C选项符合题意．
D．∵，
∴.
故D选项符合题意．
故选：C．
【举一反三2】如图，，要依据“”判定，则还需要添加的条件是 ．
【答案】
【解析】∵，，
∴添加，
∴；
故答案为：．
【举一反三3】已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，．
求证：．
【答案】证明 ∵，
∴，
∴．
在和中，
∴．
【题型2】AAS的实际应用
【典型例题】如图，用7块长为8 cm，宽为3 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(，，点A，B，C，D，E在同--平面内)，点B在上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 .
【答案】
【解析】，，
，
，
，
在和中，
，
依题意可得：，
，
，
故答案为：.
【举一反三1】黄河是中华民族的母亲河，是孕育中华文明的摇篮，黄河文化寄托着中华民族伟大复兴的梦想．聊城某中学以“保护母亲河——探寻黄河之美”为主题开展了主题活动，带领学生亲近黄河，了解黄河．如图，要量黄河两岸相对两点A，B的距离，可以在的垂线上取两点C，D，使，再作出的垂线，使A，C，E在一条直线上，这时可得，用于判定全等的最佳依据是 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
【举一反三2】如图所示，海岛上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？
【答案】解 相等．
理由：
∵∠CAD＝∠CBD，∠COA＝∠DOB(对顶角)，
∴由内角和定理，得∠C＝∠D，
又∵∠CAB＝∠DBA＝90°，
在△CAB和△DBA中，
，
∴△CAB≌△DBA(A.A.S.)，
∴CA＝DB，
∴海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等．
【举一反三3】如图，在河岸两侧的A，B两点处分别有一个电线塔，张旭想要测量这两个电线塔之间的距离，于是他在点B所在河岸一侧的平地上取一点C，使点A，B，C在一条直线上，另取点D，使得CD＝BC＝5 m，然后测得∠DCB＝100°，∠ADC＝65°，在CD的延长线上取一点E，使得∠BEC＝15°．量得CE＝32 m，请你帮他算一算，这两个电线塔之间的距离是多少米？
【答案】解 ∵∠DCB＝100°，∠ADC＝65°，
∴∠A＝180°﹣100°﹣65°＝15°，
∵∠BEC＝15°，
∴∠BEC＝∠A，
在△BCE与△DCA中，
，
∴△BCE≌△DCA(A.A.S.)，
∴AC＝CE，
∵BC＝CD，
∴AC﹣BC＝CE﹣CD，
∴AB＝32﹣5＝27(m)，
即这两个电线塔之间的距离是27米．
【题型3】ASA判定三角形全等
【典型例题】如图，已知点为边上一点，点为外一点，如果，且，那么下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，即，
∵
∴，
又，
∴，
∴选项D正确；
而选项A．B．C都无法证明三角形全等，
故选：D．
【举一反三1】根据下列已知条件，能唯一画出的是( )
A.，，
B.，，
C.，，
D.，
【答案】B
【解析】A．∵，不能够成三角形．该选项是错误．
B．已知两角夹边，即，三角形就确定了．该选项是正确．
C．边边角不能确定三角形．该选项是错误．
D．一角一边不能确定三角形．该选项是错误．
故选：B．
【举一反三2】如图示，点B在上．，要使，还需添加一个条件是 ．(填上你认为适当的一个条件即可)
【答案】(答案不唯一)
【解析】添加一个条件是 (答案不唯一)，
理由：，，
∴，
，
．
故答案为：．
【举一反三3】如图，在中，，于D，，交于M，过点N作交于F，交于H．与全等的三角形为 ．
【答案】
【解析】与全等的三角形为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：．
【举一反三4】如图，在四边形中，点为对角线上一点，，，且．证明 ．
【答案】证明 ∵，
∴，
在与中，
，
．
【举一反三5】已知：如图，，，为上两点，，，，求证：．
【答案】证明 在和中，
∵，
∴．
【题型4】ASA的实际应用
【典型例题】有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是( )
A.①② B.②③ C.②④ D.①④
【答案】D
【解析】想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是①④或③④，
满足的为①④，
故选D．
【举一反三1】为测量一池塘两端A，B间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．
甲：如图1，先过点B作AB的垂线BF，再在射线BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E．则测出DE的长即为A，B间的距离；
乙：如图2，先确定直线AB，过点B作射线BE，在射线BE上找可直接到达点A的点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，则测出BC的长即为AB间的距离，则下列判断正确的是( )
A.只有甲同学的方案可行 B.只有乙同学的方案可行 C.甲、乙同学的方案均可行 D.甲、乙同学的方案均不可行
【答案】A
【解析】甲：∵AB⊥BC，ED⊥BC，
∴∠B＝∠CDE，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC(A.S.A.)，
∴DE＝AB，
故甲正确；
故选：A．
【举一反三2】如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离(两点之间有障碍无法直接测量)，在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是 ．
【答案】两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等
【解析】在和中，
，
，
判定理由是两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等，
故答案为：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
【举一反三3】小江做限时练中的试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是 ．
【答案】
【解析】小江书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，
他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
故答案为：．
【举一反三4】如图，小明同学站在一条河堤岸的B点处，正对他的A点有一棵树(简称A树)．他想知道A树距离他有多远，计划实施如下方案：首先，他在B点处沿河岸直走到达另一棵树C处，又继续前行到达D处；接着，从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达E处时，A树正好被C树遮挡住，则停止行走(即点A、C、E在同一条直线上)；最后，他测得的长为．
请根据以上信息，回答下面问题：
(1)小明同学在B点时与A树的距离为_______m(直接写出结果)；
(2)请用学过的数学知识说明小明同学方案的正确性．
【答案】解 (1)连接，如图所示：
由题意可得，点A、C、E在同一条直线上，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
所以小明同学在B点时与A树的距离；
(2)由(1)知道，
那么全等三角形的对应边相等，即，
所以用学过的数学知识能说明小明同学方案是正确的．
【题型5】用SAS判定三角形全等
【典型例题】如图，在中，平分，，可用“”判断全等的是( )
A.和 B.和 C.和 D.以上三个选项都可以
【答案】C
【解析】∵平分，
∴，
在与中，
∴，
故选：C．
【举一反三1】如图，△ABC与△DEF的边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，且BE＝CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，全等的依据是“S.A.S.”，则需要添加的条件是( )
A.AC∥DF B.AC＝DF C.∠A＝∠D D.AB＝DE
【答案】D
【解析】需要添加的条件是AB＝DE，理由如下：
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(S.A.S.)，
故选：D．
【举一反三2】如图，已知△ABC六个元素，则下列甲．乙．丙三个三角形中与△ABC全等的三角形是( )
A.甲乙 B.甲丙 C.乙丙 D.乙
【答案】D
【解析】由图形可知，甲有一边一角，不能判断两三角形全等，
乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等，
丙得出两角及其一角对边，原图中是两角及其夹边，不能判断两三角形全等，
根据全等三角形的判定得，乙正确．
故选：D．
【举一反三3】如图，在中，，是中线，则由 可得．
【答案】
【解析】∵是中线，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【举一反三4】如图，已知，，E．F是上两点，且．求证：
【答案】证明 ∵，
∴，即．
又∵，
∴．
在和中
，
∴．
【题型6】HL与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图所示，，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
∵，
∴，
∴，
则，
故选：A．
【举一反三1】如图，中，，，，，，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
．
在和中，，
，
．
，
．
故选：B．
【举一反三2】如图，在中，，于点D，，若 cm，则的值为( )
A.7 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm
【答案】B
【解析】∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
故选：B．
【举一反三3】如图，，，垂足分别为、，，与交于点．写出由上述条件得到的两个不同类的结论 ．
【答案】PM=PN，∠PON=∠POM(答案不唯一)．
【解析】如PM=PN，∠PON=∠POM，∠OPN=∠OPM，BN=AM，OA=OB．从中选择边和角不同的结论即可．
∵AN⊥OB，BM⊥OA，
∴在Rt△OPM与Rt△OPN中
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN(H.L.)，
∴∠PON=∠POM，PN=PM，∠OPN=∠OPM，
在△APM与△PBN中
，
∴△APM≌△PBN(A.S.A.)，
∴BN=AM，
∵OA=AM+OM，OB=BN+ON，
∴OA=OB．
故答案为：PM=PN，∠PON=∠POM(答案不唯一)．
【举一反三4】如图，点E，F是线段上的两点，，，，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明 ∵，
∴，
∵，，
∴；
(2)证明 ∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【举一反三5】如图，在和中，，与相交于点F，且，，连接，．
(1)求证：；
(2)试判断与的数量关系，并说明理由
【答案】(1)证明 在和中，
∴，
∴，
∴
∴；
(2)解 在和中，
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
在和中
∴，
∴．
【题型7】全等三角形判定条件的探索
【典型例题】如图是小明用七巧板拼成的一个机器人，其中全等三角形有( )
A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对
【答案】B
【解析】如图：
对图中的三角形进行标注,①②是全等三角形;④⑤是全等三角形,故共有2对全等三角形.
【举一反三1】下列说法正确的是( )
A.形状相同的两个三角形一定是全等三角形
B.周长相等的两个三角形一定是全等三角形
C.面积相等的两个三角形一定是全等三角形
D.边长为的等边三角形都是全等三角形
【答案】D
【解析】A ．形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；
B ．周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；
C ．面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；
D ．边长为的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意；
故选：D．
【举一反三2】全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形．
下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ．
【答案】①③
【解析】根据题意得：①③运动方向相反，
∴属于镜面合同三角形的有①③．
故答案为：①③
【举一反三3】如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是小方格的顶点)．若格点△ACP与△ABC全等(不与△ABC重合)，则所有满足条件的点P有
个．
【答案】3
【解析】如图，把沿直线对折可得：
把 沿直线对折可得：
∴
所以符合条件的点有3个，
故答案为：3.
【举一反三4】如图，方格纸中的△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上，请在方格纸上按下列要求画图．
(1)在图①中画出与△ABC全等且有一个公共顶点的△A′B′C′；
(2)在图②中画出与△ABC全等且有一条公共边的△A″B″C″．
【答案】解 (1)如图①；
(2)如图②．
【题型8】全等三角形的定义
【典型例题】下列说法中正确的是( )
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形
B.全等三角形是指大小相同的两个三角形
C.全等三角形是指周长相等的两个三角形
D.全等三角形的形状．大小完全相同
【答案】D
【解析】A.全等三角形是指形状相同的两个三角形，错误；
B.全等三角形是指大小相同的两个三角形，错误；
C.周长相等的两个三角形不一定能完全重合，故错误；
D.全等三角形一定能完全重合，则形状和大小完全相同，故正确．
故选：D．
【举一反三1】有下列说法：①两个三角形全等，它们的形状一定相同；②两个三角形形状相同，它们一定是全等三角形；③两个三角形全等，它们的面积一定相等；④两个三角形面积相等，它们一定是全等三角形．其中正确的说法是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
【答案】C
【解析】两个三角形全等，它们的形状一定相同，故①正确，
两个三角形形状相同，它们不一定是全等三角形，故②错误，
两个三角形全等，它们的面积一定相等，故③正确，
两个三角形面积相等，它们不一定是全等三角形，故④错误，
综上，正确的说法是①③，
故选C.
【举一反三2】下列说法正确的是( )
A.形状相同的两个三角形全等
B.周长相等的两个三角形全等
C.面积相等的两个三角形全等
D.形状．大小相同的两个三角形全等
【答案】D
【解析】A．形状相同的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
B．周长相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
C．面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
D．形状．大小相同的两个三角形全等，正确，符合题意．
故选：D．
【举一反三3】下列说法正确的是( )
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形
B.全等三角形的周长和面积分别相等
C.全等三角形是指面积相等的两个三角形
D.所有的直角三角形都是全等三角形
【答案】B
【解析】A．全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项错误；
B．全等三角形的周长和面积分别相等，该选项正确；
C．面积相等的两个三角形不一定都是全等三角形，该选项错误；
D．所有的直角三角形不一定都是全等三角形，该选项错误．
故选：B．
【举一反三4】下列说法中正确的是( )
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形
B.全等三角形是指大小相同的两个三角形
C.全等三角形是指周长相等的两个三角形
D.全等三角形的形状．大小完全相同
【答案】D
【解析】A.全等三角形是指形状相同的两个三角形，错误；
B.全等三角形是指大小相同的两个三角形，错误；
C.周长相等的两个三角形不一定能完全重合，故错误；
D.全等三角形一定能完全重合，则形状和大小完全相同，故正确．
故选：D．
【举一反三5】和全等，记作 ．
【答案】
【解析】和全等，记作，
故答案为：．
【举一反三6】和全等，记作 ．
【答案】
【解析】和全等，记作，
故答案为：．
【举一反三7】能够 的两个图形叫做全等形．两个三角形重合时，互相 的顶点叫做对应顶点．记两个三角形全等时，通常把 顶点的字母写在 的位置上．
【答案】互相重合 重合 对应 对应
【解析】能够 互相重合的两个图形叫做全等形．两个三角形重合时，互相 重合的顶点叫做对应顶点．记两个三角形全等时，通常把 对应顶点的字母写在 对应的位置上．
故答案为互相重合；重合；对应；对应．
【题型9】全等三角形的对应元素
【典型例题】如图，两个三角形△ABC与△BDE全等，观察图形，判断在这两个三角形中边DE的对应边为( )
A.BE B.AB C.CA D.BC
【答案】B
【解析】观察图形可知：BE＞AB，BE＞BC，∴BE和AC是对应边，显然BD和BC是对应边，∴DE 和AB是对应边．
故选B．
【举一反三1】如图，，，则的对应边是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ABC≌△CDA，
∠BAC=∠DCA，
∴∠BAC与∠DCA是对应角，
∴BC与DA是对应边(对应角对的边是对应边)．
故选A．
【举一反三2】如图所示，图中的两个三角形能完全重合，下列写法正确的是( )
A.△ABE≌△AFB B.△ABE≌△ABF C.△ABE≌△FBA D.△ABE≌△FAB
【答案】B
【解析】要把对应顶点写在对应位置．∵B和B对应，A和A对应，E和F对应，故△ABE≌△ABF．故选B．
【举一反三3】如图，与全等，可表示为 ，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是 ，其余的对应边是 ．
【答案】与，与AB与BA，BC与AD
【解析】∵，与是对应角，AC与BD是对应边，
∴与，与；
其余的对应边是AB与BA，BC与AD．
故答案为：，与，与，AB与BA，BC与AD
【难度】基础题
【举一反三4】如图,△ABC≌△DBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是对应角,其对应边: .
【答案】BC和BC,CD和CA,BD和AB
【解析】∵△ABC≌DBC，且∠A和∠D，∠ABC和∠DBC是对应角，
∴对应边是BC和BC，CD和CA，BD和AB，
故答案为：BC和BC，CD和CA，BD和AB.
【举一反三5】如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．
【答案】解 ∵如图，与全等，
∴点与点，点与点，点与点是对应顶点，
∴；
相等的边为，，；
相等的角为，，．
【举一反三6】如图，已知，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角．
【答案】解 ∵，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点，
∴这两个三角形的对应边是：和，和，和；
对应角是：和，和，和．
【题型10】SSS与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，，，E．F是上两点，．若，，则的度数为( )．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
【举一反三1】如图，是的中点，，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，，故选项正确，不符合题意，
∵不是对应边，
∴与不一定相等，故D选项错误，符合题意，
故选：D．
【举一反三2】如图，与相交于点O，与(不包括)一定相等的角有( )个．
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【举一反三3】如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为 ．
【答案】
【解析】，，
在与中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【举一反三4】如图，在中，，分别以为一边，向外作和，若,，则的度数为 ．
【答案】
【解析】在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【举一反三5】如图，已知中，，是边上的中线，试猜想：
(1)与的大小关系；
(2)与的位置关系．并证明你的结论．
【答案】解 (1)，理由如下：
是边上的中线，
，
在与中，
，
，
．
(2)，理由如下：
证明 (已证)，
，
，
，
．
【题型11】ASA与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，AB和CF，E为DF的中点，若AB＝7 cm，CF＝5 cm，则BD是( )
A.2 cm B.2.5 cm C.3 cm D.3.5 cm
【答案】A
【解析】∵AB∥FC，
∴∠ADE＝∠EFC，
∵E是DF的中点，
∴DE＝EF，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE(A.S.A.)，
∴AD＝CF＝5 cm，
∴BD＝AB﹣AD＝7﹣5＝2(cm)．
故选：A．
【举一反三1】如图，将两块相同的三角板(含30°角)按图中所示位置摆放，若BE交CF于D，AC交BE于M，AB交CF于N，则下列结论中错误的是( )
A.∠EAC＝∠FAB B.∠EAF＝∠EDF C.△ACN≌△ABM D.AM＝AN
【答案】B
【解析】∵△ABE≌△AFC，
∴∠EAB＝∠CAF，AC＝AB，∠C＝∠B，
∴∠EAC＝∠FAB，故A正确；
在△ACN与△ABM中，
∴△ACN≌△ABM，故C正确；
∴AM＝AN，故D正确；
故选：B．
【举一反三2】如图，，，，，则等于 ．
【答案】3
【解析】∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：3．
【举一反三3】如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD．若∠FCD＝30°，∠A＝80°，则∠DBE的度数为 °．
【答案】110．
【解析】∵BE∥DF，
∴∠ABE＝∠D，
在△ABE和△FDC中，
，
∴△ABE≌△FDC(A.S.A.)，
∴∠E＝∠FCD＝30°
∴∠DBE＝∠E+∠A＝30°+80°＝110°．
故答案为：110．
【举一反三4】已知：如图，，，．求证：．
【答案】证明 ，
，
，，
，
，
，
即，
又，
，
，
．
【题型12】SAS与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接CE，BF，有下列说法：①△ABD和△ACD的面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③BF∥CE；④CE＝AE，其中，正确的说法有( )
A.②③ B.①③ C.①②③④ D.①②③
【答案】B
【解析】①△ABD和△ACD是等底同高的两个三角形，其面积相等；
②注意区分中线与角平分线的性质；
③由全等三角形的判定定理S.A.S.证得结论正确；
④由③中的全等三角形的性质得到．
①∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD面积相等；
故①正确；
②若在△ABC中，当AB≠AC时，AD不是∠BAC的平分线，即∠BAD≠∠CAD．即②不一定正确；
③∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE(S.A.S.)．
∴∠CED＝∠BFD，
∴BF∥CE；
故③一定正确．
④∵△BDF≌△CDE(S.A.S.)．
∴CE＝BF，故④错误；
综上所述，正确的结论是：①③，共有2个．
故选：B．
【举一反三1】如图，在 中，，，，，平分 ，交 于点，，是 ，上的动点，则 的最小值为( )
A. B.3 C.4 D.
【答案】D
【解析】如图，过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，
∵平分 ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，
∵，
∴，
即的最小值为，
故选：D．
【举一反三2】在中，，，延长到D，使，连接，则长度的取值范围为 ．
【答案】
【解析】如下图，延长到E，使，连接
在和中，
∴，
∴．
∵
∴，
∴．
【举一反三3】如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，连接．求证：．
【答案】证明 由旋转的性质可得，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【举一反三4】如图，已知在和中，，，．求证：．
【答案】证明 ，
，
，
在和中，
，
，
．
【题型13】用SSS判定三角形全等
【典型例题】一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由“”可以判定两个三角形全等，
，，
，
故选：C．
【举一反三1】如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，若利用“”得到，则需要添加的条件是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】已知，
∴要利用“”得到，还需要，，
∵，
∴要得到，只需；
综上：满足题意的只有C选项；
故选C．
【举一反三2】如图，，若要用“”证明，需要补充一个条件，这个条件是 ．
【答案】
【解析】∵，，
∴可补充，
在和中，
，
∴ ，
故答案为：．
【举一反三3】图①．图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图．要求：
(1)在图①中画一个使它与全等．
(2)在图②中画一个使它与全等．
(3)在图③中不同于(2)一个使它与全等．
【答案】解 (1)如图，或即为所求；
(2)如图，即为所求；
(3)如图，即为所求．
【题型14】SSS的实际应用
【典型例题】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在 的边 上分别取 ， 然后移动角尺使角尺的两边相同的刻度分别与 M，N 重合，得到的平分线 ， 做法中用到三角形全等的判定方法是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，，，
∴
∴，即为的平分线．
故选A．
【举一反三1】“三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据，不用度量就知道，则她判定两个三角形全等的方法是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在和中
，
，
故选：A．
【举一反三2】如图，为测量桃李湖两端的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．那么判定的理由是( )
A.S. B. C. D.
【答案】A
【解析】在和中，
，
∴．
故选：A．
【举一反三3】肖老师为班级中每名同学准备了长分别为、、三根木条，所有同学都用三根木条，首尾顺次拼接组成三角形，这时小陈同学说：“我们所有人的三角形，形状和大小是完全一样的”小陈同学的说法依据 ．
【答案】S.S.S.
【解析】小陈同学的说法依据，
故答案为：．
【举一反三4】如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制年，油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为了说明这一制作方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程
已知：如图2，点，，，在同一平面内，___________，_____________．
求证：_________________．
【答案】解 已知：，．
求证：(或AD平分)，
故答案为：，，(或AD平分)，
证明：在和中，∴，
∴.
【举一反三5】一种雨伞的轴截面如图所示，伞骨，支撑杆，，．当沿伞轴滑动时，雨伞开闭，此过程中，与有何关系？请说明理由．
【答案】解 ，理由如下：
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴．
【题型15】AAS与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，已知，，，，若，，则的长为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】A
【解析】，
，
，
，
，
，
又，
，
，
．
故选：A．
【举一反三1】如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
【答案】C
【解析】，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
故选：C．
【举一反三2】如图，在中，是边上的高，是边上的高，且交于点F，若，则线段的长为 ．
【答案】6
【解析】是边上的高，是边上的高，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：6．
【举一反三3】如图，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明 ∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
(2)解 ∵，
∴，
∵，是的外角，
．
【举一反三4】已知是直角三角形，，直线l经过点 A，分别过点 B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E.
(1)如图a，当点 B、C 位于直线l的同侧时，证明
(2)如图b，锐角中，，直线l经过点A，点 D、E 分别在直线l上，点B，C位于l的同一侧，如果，请找到图中的全等三角形，并写出线段和之间的数量关系
【答案】(1)证明 ，，
，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
(2)解 ，；
理由：∵，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴．
【题型16】全等三角形的性质
【典型例题】如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝5，DE＝2，则CE等于( )
A.2.5 B.3 C.3.5 D.4
【答案】B
【解析】∵△ABC≌△BDE，AC＝5，DE＝2，
∴BE＝AC＝5，BC＝DE＝2，
∴CE＝BE﹣BC＝5﹣2＝3，
故选：B．
【举一反三1】如图，已知△ABC≌△DEC，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD交CD于点F，若∠BCE＝60°，则∠CAF的度数为( )
A.35° B.30° C.59° D.65°
【答案】B
【解析】∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACF＝∠BCE＝60°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣60°＝30°．
故选：B．
【举一反三2】如图，△ABD≌△CDB，∠ABD＝40°，∠CBD＝35°，则∠C＝ ．
【答案】105°
【解析】∵△ABD≌△CDB，
∴∠ABD＝∠CDB＝40°，
∴∠C＝180°﹣∠CDB﹣∠CBD＝180°﹣40°﹣35°＝105°．
故答案为：105°．
【举一反三3】如图，△ABC≌△ADE，若∠B+∠C＝110°，则∠DAE＝ 度．
【答案】70
【解析】在△ABC中，∠B+∠C＝110°，
∴∠BAC＝180°﹣(∠B+∠C)＝70°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝70°，
故答案为：70．
【举一反三4】完成下列各题：
如图，已知△ABC≌△AEF，∠EAB＝25°，∠F＝57°．
(1)请说明：∠EAB＝∠CAF；
(2)△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；
(3)求∠AMB的度数．
【答案】解 (1)∵△ABC≌△AEF，
∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠EAB+∠BAF＝∠FAC+∠BAF，
∴∠EAB＝∠CAF；
(2)∵∠EAB＝25°，△ABC≌△AEF，
∴△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；
(3)由(1)知，∠EAB＝∠FAC＝25°，
∵△ABC≌△AEF，
∴∠C＝∠F＝57°，
∴∠AMB＝∠C+∠FAC＝57°+25°＝82°．
【题型17】用HL判定直角三角形全等
【典型例题】题目：“如图，，，，点，分别在，上，且．当为何值时，与全等．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是( )
A.只有甲答的对 B.甲．丙答案合在一起才完整 C.乙．丙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整
【答案】B
【解析】根据已知条件，得到，，，要使两个直角三角形全等还需要一条直角边对应相等即可，分析得到或时，．
如图所示，
，，，
，
在和中，
，
如图所示，
，，，
，
在和中，
，
，
综上，或时，，
故选：．
【举一反三1】如图，，要根据“”判定，则需添加的条件是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】添加条件：，
在和中，
，
∴，
故选：B．
【举一反三2】如图，E．B．F．C在同一条直线上，若，，．则全等的根据是 ．
【答案】
【解析】，
，即，
，
在和中，
，
，
故答案为∶．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=，点E在BC上，点F在AB的延长线上，且AE=CF，求证：△ABE≌△CBF．
【答案】证明 ∵∠ABC=90，点F在AB的延长线上，
∴∠ABC=∠FBC=90，
在Rt ABE与Rt CBF中，
，
∴ ABE CBF(H.L.)．
【题型18】SAS的实际应用
【典型例题】如图，小亮要测量池塘，两端的距离，他设计了一个测量方案． 先在平地上取可以直接到达点和点的，两点，与相交于点，且，，又测得的周长为，则，两端的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，即，
∵
∴，
∴，
故选：C．
【举一反三1】如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC，AE＝AF．若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等( )
A.BE B.AE C.DE D.DP
【答案】C
【解析】∵AP平分∠BAC．
∴∠EAD＝∠FAD，
在△ADE与△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF(S.A.S.)，
∴DF＝DE，
即所换长度应与DF的长度相等，
故选：C．
【举一反三2】如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ．
【答案】
【解析】，
，
在和中，
，
，
故答案为：．
【举一反三3】如图，将两根长度相等的钢条，的中点固定在点，使，可以绕着点转动，就做成了一个测量工具，则的长等于内槽宽，原因是和全等，那么判定和全等的依据为 ．
【答案】边角边
【解析】连接、，
∵两根长度相等的钢条，的中点固定在点，
∴，
∵，
∴；
故答案为：边角边．
【举一反三4】如图，公园里有一条“”字形的小路，其中，在，，三段路旁各有一个小石凳，，供游人休息，测得，且是的中点．请你用所学知识验证一下，，三点在一条直线上．三点在一条直线上，即是
【答案】证明 连接，．
，已知
两线平行内错角相等．
在和中，
，
．
，
，
，，在一条直线上12.2三角形全等的判定
【知识点1】作图—基本作图 1
【知识点2】全等三角形的判定 2
【知识点3】直角三角形全等的判定 3
【题型1】用AAS判定三角形全等 3
【题型2】AAS的实际应用 4
【题型3】ASA判定三角形全等 5
【题型4】ASA的实际应用 7
【题型5】用SAS判定三角形全等 8
【题型6】HL与全等三角形的性质的综合 9
【题型7】全等三角形判定条件的探索 11
【题型8】全等三角形的定义 13
【题型9】全等三角形的对应元素 14
【题型10】SSS与全等三角形的性质的综合 15
【题型11】ASA与全等三角形的性质的综合 16
【题型12】SAS与全等三角形的性质的综合 18
【题型13】用SSS判定三角形全等 19
【题型14】SSS的实际应用 20
【题型15】AAS与全等三角形的性质的综合 21
【题型16】全等三角形的性质 23
【题型17】用HL判定直角三角形全等 24
【题型18】SAS的实际应用 25
【知识点1】作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
1.（2025春 绿园区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB=3，连接AC．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
2.（2025春 长春期末）用直尺和圆规作△ABC的中线AD，作图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【知识点2】全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
1.（2024秋 汕头期末）如图，点B，F，E，D共线，∠B=∠D，BE=DF，添加一个条件，不能判定△ABF≌△CDE的是（ ）
A．AF∥CE B．∠A=∠C C．AF=CE D．AB=CD
【知识点3】直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
1.（2021秋 蒙城县期末）下列说法中，正确的个数是（ ）
①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；
④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型1】用AAS判定三角形全等
【典型例题】如图，已知，，那么要得到，还应给出的条件是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，点B．E．C．F在一条直线上，，且，请添加一个条件不能使是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，，要依据“”判定，则还需要添加的条件是 ．
【举一反三3】已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，．
求证：．
【题型2】AAS的实际应用
【典型例题】如图，用7块长为8 cm，宽为3 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(，，点A，B，C，D，E在同--平面内)，点B在上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 .
【举一反三1】黄河是中华民族的母亲河，是孕育中华文明的摇篮，黄河文化寄托着中华民族伟大复兴的梦想．聊城某中学以“保护母亲河——探寻黄河之美”为主题开展了主题活动，带领学生亲近黄河，了解黄河．如图，要量黄河两岸相对两点A，B的距离，可以在的垂线上取两点C，D，使，再作出的垂线，使A，C，E在一条直线上，这时可得，用于判定全等的最佳依据是 ．
【举一反三2】如图所示，海岛上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？
【举一反三3】如图，在河岸两侧的A，B两点处分别有一个电线塔，张旭想要测量这两个电线塔之间的距离，于是他在点B所在河岸一侧的平地上取一点C，使点A，B，C在一条直线上，另取点D，使得CD＝BC＝5 m，然后测得∠DCB＝100°，∠ADC＝65°，在CD的延长线上取一点E，使得∠BEC＝15°．量得CE＝32 m，请你帮他算一算，这两个电线塔之间的距离是多少米？
【题型3】ASA判定三角形全等
【典型例题】如图，已知点为边上一点，点为外一点，如果，且，那么下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】根据下列已知条件，能唯一画出的是( )
A.，，
B.，，
C.，，
D.，
【举一反三2】如图示，点B在上．，要使，还需添加一个条件是 ．(填上你认为适当的一个条件即可)
【举一反三3】如图，在中，，于D，，交于M，过点N作交于F，交于H．与全等的三角形为 ．
【举一反三4】如图，在四边形中，点为对角线上一点，，，且．证明 ．
【举一反三5】已知：如图，，，为上两点，，，，求证：．
【题型4】ASA的实际应用
【典型例题】有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是( )
A.①② B.②③ C.②④ D.①④
【举一反三1】为测量一池塘两端A，B间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．
甲：如图1，先过点B作AB的垂线BF，再在射线BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E．则测出DE的长即为A，B间的距离；
乙：如图2，先确定直线AB，过点B作射线BE，在射线BE上找可直接到达点A的点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，则测出BC的长即为AB间的距离，则下列判断正确的是( )
A.只有甲同学的方案可行 B.只有乙同学的方案可行 C.甲、乙同学的方案均可行 D.甲、乙同学的方案均不可行
【举一反三2】如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离(两点之间有障碍无法直接测量)，在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是 ．
【举一反三3】小江做限时练中的试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是 ．
【举一反三4】如图，小明同学站在一条河堤岸的B点处，正对他的A点有一棵树(简称A树)．他想知道A树距离他有多远，计划实施如下方案：首先，他在B点处沿河岸直走到达另一棵树C处，又继续前行到达D处；接着，从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达E处时，A树正好被C树遮挡住，则停止行走(即点A、C、E在同一条直线上)；最后，他测得的长为．
请根据以上信息，回答下面问题：
(1)小明同学在B点时与A树的距离为_______m(直接写出结果)；
(2)请用学过的数学知识说明小明同学方案的正确性．
【题型5】用SAS判定三角形全等
【典型例题】如图，在中，平分，，可用“”判断全等的是( )
A.和 B.和 C.和 D.以上三个选项都可以
【举一反三1】如图，△ABC与△DEF的边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，且BE＝CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，全等的依据是“S.A.S.”，则需要添加的条件是( )
A.AC∥DF B.AC＝DF C.∠A＝∠D D.AB＝DE
【举一反三2】如图，已知△ABC六个元素，则下列甲．乙．丙三个三角形中与△ABC全等的三角形是( )
A.甲乙 B.甲丙 C.乙丙 D.乙
【举一反三3】如图，在中，，是中线，则由 可得．
【举一反三4】如图，已知，，E．F是上两点，且．求证：
【题型6】HL与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图所示，，，，则( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，中，，，，，，则等于( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在中，，于点D，，若 cm，则的值为( )
A.7 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm
【举一反三3】如图，，，垂足分别为、，，与交于点．写出由上述条件得到的两个不同类的结论 ．
【举一反三4】如图，点E，F是线段上的两点，，，，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
【举一反三5】如图，在和中，，与相交于点F，且，，连接，．
(1)求证：；
(2)试判断与的数量关系，并说明理由
【题型7】全等三角形判定条件的探索
【典型例题】如图是小明用七巧板拼成的一个机器人，其中全等三角形有( )
A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对
【举一反三1】下列说法正确的是( )
A.形状相同的两个三角形一定是全等三角形
B.周长相等的两个三角形一定是全等三角形
C.面积相等的两个三角形一定是全等三角形
D.边长为的等边三角形都是全等三角形
【举一反三2】全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形．
下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ．
【举一反三3】如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是小方格的顶点)．若格点△ACP与△ABC全等(不与△ABC重合)，则所有满足条件的点P有
个．
【举一反三4】如图，方格纸中的△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上，请在方格纸上按下列要求画图．
(1)在图①中画出与△ABC全等且有一个公共顶点的△A′B′C′；
(2)在图②中画出与△ABC全等且有一条公共边的△A″B″C″．
【题型8】全等三角形的定义
【典型例题】下列说法中正确的是( )
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形
B.全等三角形是指大小相同的两个三角形
C.全等三角形是指周长相等的两个三角形
D.全等三角形的形状．大小完全相同
【举一反三1】有下列说法：①两个三角形全等，它们的形状一定相同；②两个三角形形状相同，它们一定是全等三角形；③两个三角形全等，它们的面积一定相等；④两个三角形面积相等，它们一定是全等三角形．其中正确的说法是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
【举一反三2】下列说法正确的是( )
A.形状相同的两个三角形全等
B.周长相等的两个三角形全等
C.面积相等的两个三角形全等
D.形状．大小相同的两个三角形全等
【举一反三3】下列说法正确的是( )
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形
B.全等三角形的周长和面积分别相等
C.全等三角形是指面积相等的两个三角形
D.所有的直角三角形都是全等三角形
【举一反三4】下列说法中正确的是( )
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形
B.全等三角形是指大小相同的两个三角形
C.全等三角形是指周长相等的两个三角形
D.全等三角形的形状．大小完全相同
【举一反三5】和全等，记作 ．
【举一反三6】和全等，记作 ．
【举一反三7】能够 的两个图形叫做全等形．两个三角形重合时，互相 的顶点叫做对应顶点．记两个三角形全等时，通常把 顶点的字母写在 的位置上．
【题型9】全等三角形的对应元素
【典型例题】如图，两个三角形△ABC与△BDE全等，观察图形，判断在这两个三角形中边DE的对应边为( )
A.BE B.AB C.CA D.BC
【举一反三1】如图，，，则的对应边是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图所示，图中的两个三角形能完全重合，下列写法正确的是( )
A.△ABE≌△AFB B.△ABE≌△ABF C.△ABE≌△FBA D.△ABE≌△FAB
【举一反三3】如图，与全等，可表示为 ，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是 ，其余的对应边是 ．
【举一反三4】如图,△ABC≌△DBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是对应角,其对应边: .
【举一反三5】如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．
【举一反三6】如图，已知，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角．
【题型10】SSS与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，，，E．F是上两点，．若，，则的度数为( )．
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，是的中点，，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，与相交于点O，与(不包括)一定相等的角有( )个．
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三3】如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为 ．
【举一反三4】如图，在中，，分别以为一边，向外作和，若,，则的度数为 ．
【举一反三5】如图，已知中，，是边上的中线，试猜想：
(1)与的大小关系；
(2)与的位置关系．并证明你的结论．
【题型11】ASA与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，AB和CF，E为DF的中点，若AB＝7 cm，CF＝5 cm，则BD是( )
A.2 cm B.2.5 cm C.3 cm D.3.5 cm
【举一反三1】如图，将两块相同的三角板(含30°角)按图中所示位置摆放，若BE交CF于D，AC交BE于M，AB交CF于N，则下列结论中错误的是( )
A.∠EAC＝∠FAB B.∠EAF＝∠EDF C.△ACN≌△ABM D.AM＝AN
【举一反三2】如图，，，，，则等于 ．
【举一反三3】如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD．若∠FCD＝30°，∠A＝80°，则∠DBE的度数为 °．
【举一反三4】已知：如图，，，．求证：．
【题型12】SAS与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接CE，BF，有下列说法：①△ABD和△ACD的面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③BF∥CE；④CE＝AE，其中，正确的说法有( )
A.②③ B.①③ C.①②③④ D.①②③
【举一反三1】如图，在 中，，，，，平分 ，交 于点，，是 ，上的动点，则 的最小值为( )
A. B.3 C.4 D.
【举一反三2】在中，，，延长到D，使，连接，则长度的取值范围为 ．
【举一反三3】如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，连接．求证：．
【举一反三4】如图，已知在和中，，，．求证：．
【题型13】用SSS判定三角形全等
【典型例题】一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，若利用“”得到，则需要添加的条件是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，，若要用“”证明，需要补充一个条件，这个条件是 ．
【举一反三3】图①．图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图．要求：
(1)在图①中画一个使它与全等．
(2)在图②中画一个使它与全等．
(3)在图③中不同于(2)一个使它与全等．
【题型14】SSS的实际应用
【典型例题】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在 的边 上分别取 ， 然后移动角尺使角尺的两边相同的刻度分别与 M，N 重合，得到的平分线 ， 做法中用到三角形全等的判定方法是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】“三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据，不用度量就知道，则她判定两个三角形全等的方法是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，为测量桃李湖两端的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．那么判定的理由是( )
A.S. B. C. D.
【举一反三3】肖老师为班级中每名同学准备了长分别为、、三根木条，所有同学都用三根木条，首尾顺次拼接组成三角形，这时小陈同学说：“我们所有人的三角形，形状和大小是完全一样的”小陈同学的说法依据 ．
【举一反三4】如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制年，油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为了说明这一制作方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程
已知：如图2，点，，，在同一平面内，___________，_____________．
求证：_________________．
【举一反三5】一种雨伞的轴截面如图所示，伞骨，支撑杆，，．当沿伞轴滑动时，雨伞开闭，此过程中，与有何关系？请说明理由．
【题型15】AAS与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，已知，，，，若，，则的长为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
【举一反三1】如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
【举一反三2】如图，在中，是边上的高，是边上的高，且交于点F，若，则线段的长为 ．
【举一反三3】如图，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【举一反三4】已知是直角三角形，，直线l经过点 A，分别过点 B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E.
(1)如图a，当点 B、C 位于直线l的同侧时，证明
(2)如图b，锐角中，，直线l经过点A，点 D、E 分别在直线l上，点B，C位于l的同一侧，如果，请找到图中的全等三角形，并写出线段和之间的数量关系
【题型16】全等三角形的性质
【典型例题】如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝5，DE＝2，则CE等于( )
A.2.5 B.3 C.3.5 D.4
【举一反三1】如图，已知△ABC≌△DEC，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD交CD于点F，若∠BCE＝60°，则∠CAF的度数为( )
A.35° B.30° C.59° D.65°
【举一反三2】如图，△ABD≌△CDB，∠ABD＝40°，∠CBD＝35°，则∠C＝ ．
【举一反三3】如图，△ABC≌△ADE，若∠B+∠C＝110°，则∠DAE＝ 度．
【举一反三4】完成下列各题：
如图，已知△ABC≌△AEF，∠EAB＝25°，∠F＝57°．
(1)请说明：∠EAB＝∠CAF；
(2)△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；
(3)求∠AMB的度数．
【题型17】用HL判定直角三角形全等
【典型例题】题目：“如图，，，，点，分别在，上，且．当为何值时，与全等．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是( )
A.只有甲答的对 B.甲．丙答案合在一起才完整 C.乙．丙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整
【举一反三1】如图，，要根据“”判定，则需添加的条件是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，E．B．F．C在同一条直线上，若，，．则全等的根据是 ．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=，点E在BC上，点F在AB的延长线上，且AE=CF，求证：△ABE≌△CBF．
【题型18】SAS的实际应用
【典型例题】如图，小亮要测量池塘，两端的距离，他设计了一个测量方案． 先在平地上取可以直接到达点和点的，两点，与相交于点，且，，又测得的周长为，则，两端的距离为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC，AE＝AF．若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等( )
A.BE B.AE C.DE D.DP
【举一反三2】如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ．
【举一反三3】如图，将两根长度相等的钢条，的中点固定在点，使，可以绕着点转动，就做成了一个测量工具，则的长等于内槽宽，原因是和全等，那么判定和全等的依据为 ．
【举一反三4】如图，公园里有一条“”字形的小路，其中，在，，三段路旁各有一个小石凳，，供游人休息，测得，且是的中点．请你用所学知识验证一下，，三点在一条直线上．三点在一条直线上，即是
