13.1勾股定理及其逆定理
【知识点1】勾股定理 1
【知识点2】反证法 2
【知识点3】勾股定理的逆定理 2
【知识点4】勾股定理的证明 3
【知识点5】直角三角形的性质 3
【知识点6】勾股数 4
【题型1】勾股定理与逆定理的综合 4
【题型2】勾股数 6
【题型3】利用勾股定理解决图形面积问题 6
【题型4】勾股定理与数轴 8
【题型5】根据两锐角互余判断直角三角形 9
【题型6】利用勾股定理计算或证明线段的平方关系 9
【题型7】利用逆定理判断能否构成直角三角形 11
【题型8】用反证法证明命题 12
【题型9】勾股定理与折叠问题 13
【题型10】利用勾股定理求线段长 15
【题型11】勾股定理的证明 15
【题型12】反证法证明中的假设 17
【知识点1】勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=，b=及c=．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
1.（2025春 云溪区期末）点P（-2，1）在平面直角坐标系中，则点P到原点的距离是（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【知识点2】反证法
（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．
（2）反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
1.（2024春 德清县期末）若用反证法证明命题“若a=0或b=0，则ab=0”时，应假设（ ）
A．ab≠0 B．a≠0 C．b≠0 D．a≠b
2.（2023春 镇海区期末）用反证法证明“a＜b“时，首先应假设（ ）
A．a＜b B．a≥b C．a≤b D．a＞b
【知识点3】勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
1.（2025春 雨花区校级期末）下列条件中，能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a：b：c=1：2：3 B．a=5，b=12，c=13
C．∠A+∠B=2∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
2.（2024秋 简阳市期末）△ABC的三边为a、b、c,不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A． B．a：b：c=3：4：5
C．∠A-∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
【知识点4】勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
1.（2024 晋中一模）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术会议，第14届国际数学教育大会（1CME-14）将于2021年7月在上海举办，这是我国第一次承办此项大会．如图是这次大会的会标，会标蕴含了丰富的数学元素，其中会标中心的弦图是三国时期一位数学家所给出勾股定理的一个绝妙证法．这位数学家是（ ）
A．欧几里得 B．杨辉 C．祖冲之 D．赵爽
【知识点5】直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
1.（2024春 惠民县期末）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
2.（2024春 中山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=34°，则∠C的度数为（ ）
A．44° B．46° C．56° D．146°
【知识点6】勾股数
勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
1.（2024秋 渠县校级期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．，1， B．3，4，7 C．1，， D．6，8，10
2.（2024秋 安源区校级期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．
C．4，5，6 D．6，8，10
【题型1】勾股定理与逆定理的综合
【典型例题】如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在中，是边上一点，连接，，，，，则的长为（ ）
A.3 B.5 C.7 D.9
【举一反三2】如图，将绕点顺时针旋转得到，并使点的对应点点落在直线上，连接，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，中，，，P为三角形内一点． ，则的度数是 ．
【举一反三4】如图，在中，，，，为延长线上一点，．若，则的长为 ．
【举一反三5】如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E．
(1)试说明为直角三角形．
(2)求的长．
【题型2】勾股数
【典型例题】《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A.3，4，5 B.5，12，13 C.6，8，10 D.7，24，25
【举一反三1】在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如右表格中．则当时，的值为（ ）
A.162 B.200 C.242 D.288
【举一反三2】若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为（ ）
A.，， B. C.，， D.
【举一反三3】若a，12，13是一组勾股数，则 ．
【举一反三4】(1)我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
(2)如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
【题型3】利用勾股定理解决图形面积问题
【典型例题】如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形、然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…依此类推，若正方形①的边长为，则正方形⑨的边长为（ ）．
A. B. C.4 D.2
【举一反三1】如图，以一直角三角形的三边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则B所代表的正方形的面积为（ ）
A.144 B.196 C.256 D.304
【举一反三2】如图，有三个正方形，，，点，，，，都在同一直线上，若正方形，的面积分别为和，则正方形的面积为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.11
【举一反三3】在直线上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则 ．
【举一反三4】如图，在中，，，，以为一边在的同侧作正方形，求图中阴影部分的面积．
【题型4】勾股定理与数轴
【典型例题】如图 ，点 A 表示的实数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数0的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，正方形边长为，，则数轴上点对应的数是 ．
【举一反三3】无理数可以用数轴上的点表示，如图，数轴上点表示的数是 ．
【举一反三4】如图，为数轴原点，，两点表示的数分别为，3，作腰长为4的等腰三角形，连接．以点为圆心、的长为半径画弧，交数轴正半轴于点．求点表示的数．
【题型5】根据两锐角互余判断直角三角形
【典型例题】如图，在中，，，则△ADE为________三角形．
【举一反三1】如图，在中，于点，，则是_____三角形．
【举一反三2】已知：如图，BD⊥AC，E为垂足，△ABE的中线FE的延长线交CD于点G，∠1＝∠2，求证：△CGE是直角三角形．
【举一反三3】如图，已知，与的平分线相交于点，是直角三角形吗？请说明理由．
【题型6】利用勾股定理计算或证明线段的平方关系
【典型例题】如图，已知为等腰直角三角形，则，，三者的关系为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在中，若，则下列式子成立的是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，点E在边DB上，点A在内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是 （填序号）
①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）．
【举一反三3】问题：如图1，在等边三角形ABC内，点P到顶点A、B、C的距离分别是3，4，5，求∠APB的度数？
探究：由于PA、PB、PC不在同一个三角形中，为了解决本题，我们可以将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACP′处，连结P P′，这样就将三条线段转化到一个三角形中，从而利用全等的知识，求出∠APB的度数．请你写出解答过程：
应用：请你利用上面的方法解答：如图2，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点，且∠EAF=45°，求证：．
【举一反三4】概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．如图1，四边形中，；
新意应用：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂直四边形吗？请说明理由；
性质探究：如图1，垂直四边形被对角线分成了四个直角三角形，与有什么关系？并证明你的猜想．
【题型7】利用逆定理判断能否构成直角三角形
【典型例题】下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A.3，4，5 B.7，24，25 C.1，， D.2，3，4
【举一反三1】已知三边长a、b、c，且满足，则此三角形一定是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【举一反三2】三角形的三边长，，满足，则此三角形的形状是 （填锐角或直角或钝角）三角形．
【举一反三3】判断由线段a．b，c组成的三角形是不是直角三角形：．解：因为．所以，根据 ，这个三角形不是直角三角形．
【举一反三4】阅读下列解题过程并完成相应的任务：
已知为的三边，且满足，试判断的形状．
解：，
，
，
为直角三角形．
任务：
(1)上述解题过程中，开始出现错误的是______（填序号）．
(2)错误的原因是______．
(3)的形状可以是______（填写相应的字母）．
．等腰三角形 ．直角三角形 ．等腰直角三角形
【举一反三5】如图，在中，，，P是内一点，且，，，．
(1)与全等吗？请说明理由；
(2)求的度数．
【题型8】用反证法证明命题
【典型例题】我们可以用以下推理来证明“当一个三角形的三边长满足时，这个三角形不是直角三角形”．假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理，这与已知条件矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形．上述推理使用的证明方法是（ ）
A.比较法 B.反证法 C.综合法 D.分析法
【举一反三1】已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立．∴
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①②
【举一反三2】求证：两直线平行，内错角相等．
如图1，若，且，被所截，求证：．
以下是打乱的用反证法证明的过程：
①如图2，过点作直线，使；
②依据“内错角相等，两直线平行”，可得；
③假设；
④∴；
⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立．
证明步骤的正确顺序是 ．
【举一反三3】如图，在中，，是的中线，于点E，用反证法证明：点D与点E不重合．
【举一反三4】用反证法证明：的三个内角中至少有一个角不大于．
【题型9】勾股定理与折叠问题
【典型例题】如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为( )
A.5 B.4 C.4. 25 D.
【举一反三2】如图，三角形纸片中，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在长方形纸片中，为边上一点．将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则的长为 ．
【举一反三4】如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得两个锐角顶点A、C重合，设折痕为DE，若AB=4，BC=3，则△ADC的周长是
【举一反三5】学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作：
操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长；
操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长．
【题型10】利用勾股定理求线段长
【典型例题】勾股定理在《九章算术》中的表述是，“勾股术曰，勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（为勾，为股，为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”是（ ）
A.3 B. C. D.
【举一反三1】直角三角形的斜边为 cm，两条直角边之比为，则最短的直角边长是（ ）cm.
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三2】在中，，，，分别为，，的对边，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】在中，已知，，，则的长为 ．
【举一反三4】如图，在中，．
(1)实践与操作：过点作三角形边上的高（要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母）．
(2)计算：在(1)的条件下，若，，求的长
【举一反三5】如图，在中，，，为边上的高，且cm，求边的长．
【题型11】勾股定理的证明
【典型例题】我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点，，在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于，，的代数恒等式，则这个恒等式是 ．
【举一反三3】1876年，美国第20任总统仰菲尔德利用以下图形给出了一种证明勾股定理的方法，你能利用它证明勾股定理吗？写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）
【举一反三4】如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a，，斜边长为c．
(1)探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）．
①小正方形的边长为c，大正方形的边长为_________________________________；
②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式________________________，整理得__________________，从而验证勾股定理；
(2)应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比(1)中的方法用图③验证勾股定理．
【题型12】反证法证明中的假设
【典型例题】用反证法证明“若，，则”时，第一步应先假设（ ）
A.不平行于 B.不平行于 C. D.
【举一反三1】用反证法证明“在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C＞∠B＞∠A且∠C≠90°，那么a2＋b2≠c2．”应先假设（ ）
A.a2＋b2＝c2 B.a2＋b2＞c2 C.a2＋b2＜c2 D.a2＋b2＞c2或a2＋b2＜c2
【举一反三2】牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一” ．那么我们用反证法证明：“若，则”，首先应该假设（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设（ ）
A.不平行于 B.平行于 C.不垂直于 D.不垂直于
【举一反三4】要用反证法证明：“如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形．”，第一步应假设 ．
【举一反三5】用反证法证明“已知，．求证：．”第一步应先假设 ．
【举一反三6】用反证法证明，“在中，对边是．若，则．”第一步应假设 ．13.1勾股定理及其逆定理
【知识点1】勾股定理 1
【知识点2】反证法 2
【知识点3】勾股定理的逆定理 3
【知识点4】勾股定理的证明 4
【知识点5】直角三角形的性质 5
【知识点6】勾股数 6
【题型1】勾股定理与逆定理的综合 7
【题型2】勾股数 12
【题型3】利用勾股定理解决图形面积问题 14
【题型4】勾股定理与数轴 17
【题型5】根据两锐角互余判断直角三角形 19
【题型6】利用勾股定理计算或证明线段的平方关系 20
【题型7】利用逆定理判断能否构成直角三角形 25
【题型8】用反证法证明命题 28
【题型9】勾股定理与折叠问题 30
【题型10】利用勾股定理求线段长 35
【题型11】勾股定理的证明 37
【题型12】反证法证明中的假设 40
【知识点1】勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=，b=及c=．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
1.（2025春 云溪区期末）点P（-2，1）在平面直角坐标系中，则点P到原点的距离是（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】D
【分析】如图，过P作PH⊥x轴于H，由P的坐标，得到OH=2，PH=1，由勾股定理求出OP=，即可得到答案．
【解答】解：如图，过P作PH⊥x轴于H，
∵P的坐标是（-2，1），
∴OH=2，PH=1，
∴OP==，
∴点P到原点的距离是．
故选：D．
【知识点2】反证法
（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．
（2）反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
1.（2024春 德清县期末）若用反证法证明命题“若a=0或b=0，则ab=0”时，应假设（ ）
A．ab≠0 B．a≠0 C．b≠0 D．a≠b
【答案】A
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
【解答】解：“若a=0或b=0，则ab=0”，第一步应假设：ab≠0．
故选：A．
2.（2023春 镇海区期末）用反证法证明“a＜b“时，首先应假设（ ）
A．a＜b B．a≥b C．a≤b D．a＞b
【答案】B
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是a＜b的反面有多种情况，应一一否定．
【解答】解：a,b的大小关系有a＞b,a＜b,a=b三种情况，因而a＜b的反面是a≥b.
因此用反证法证明“a＜b”时，应先假设a≥b.
故选：B．
【知识点3】勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
1.（2025春 雨花区校级期末）下列条件中，能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a：b：c=1：2：3 B．a=5，b=12，c=13
C．∠A+∠B=2∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和为180度进行判定即可．
【解答】解：A、a：b：c=1：2：3，所以设a=x,b=2x,c=3x,而x2+（2x）2≠（3x）2，故△ABC不是直角三角形；故该选项不正确，不符合题意；
B、a=5，b=12，c=13，52+122=132 符合勾股定理的逆定理，故△ABC为直角三角形；故该选项正确，符合题意；
C、因为∠A+∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=60°，不能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、因为∠A：∠B：∠C=3：4：5，所以设∠A=3x,则∠B=4x,∠C=5x,故3x+4x+5x=180°，解得x=15°，3x=15×3=45°，4x=15×4=60°，5x=15×5=75°，故此三角形是锐角三角形，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
2.（2024秋 简阳市期末）△ABC的三边为a、b、c,不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A． B．a：b：c=3：4：5
C．∠A-∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、设a=x,则b=x,c=2x,
.∵a2+b2=x2+3x2=4x2，c2=4x2，
∴a2+b2=c2．
∴△ABC是直角三角形．
故A不符合题意；
B、设a=3x,则b=4x,c=5x.
∵a2+b2=9x2+16x2=25x2，c2=25x2，
∴a2+b2=c2．
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵∠A-∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
设∠A=3x,则∠B=4x,∠C=5x,
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，
∴∠C=5×15°=75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故D符合题意，
故选：D．
【知识点4】勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
1.（2024 晋中一模）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术会议，第14届国际数学教育大会（1CME-14）将于2021年7月在上海举办，这是我国第一次承办此项大会．如图是这次大会的会标，会标蕴含了丰富的数学元素，其中会标中心的弦图是三国时期一位数学家所给出勾股定理的一个绝妙证法．这位数学家是（ ）
A．欧几里得 B．杨辉 C．祖冲之 D．赵爽
【答案】D
【分析】根据题意，可知这位数学家是赵爽，本题得以解决．
【解答】解：如图是这次大会的会标，会标蕴含了丰富的数学元素，其中会标中心的弦图是三国时期一位数学家所给出勾股定理的一个绝妙证法．这位数学家是赵爽，
故选：D．
【知识点5】直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
1.（2024春 惠民县期末）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
【答案】D
【分析】由三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．
【解答】解：A选项，∠A+∠B=∠C，即2∠C=180°，∠C=90°，为直角三角形，不符合题意；
B选项，∠A-∠B=∠C，即2∠A=180°，∠A=90°，为直角三角形，不符合题意；
C选项，∠A：∠B：∠C=1：2：3，即∠A+∠B=∠C，同A选项，不符合题意；
D选项，∠A=∠B=3∠C，即7∠C=180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
2.（2024春 中山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=34°，则∠C的度数为（ ）
A．44° B．46° C．56° D．146°
【答案】C
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠C的度数．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=34°，
∴∠C=90°-∠A=90°-34°=56°；
故选：C．
【知识点6】勾股数
勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
1.（2024秋 渠县校级期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．，1， B．3，4，7 C．1，， D．6，8，10
【答案】D
【分析】根据勾股数的定义解答即可．
【解答】解：A、，1，不是整数，这一组数不是勾股数，不符合题意；
B、∵32+42≠72，
∴这一组数不是勾股数，不符合题意；
C、1，，不是整数，这一组数不是勾股数，不符合题意；
D、∵62+82=102，
∴这一组数是勾股数，符合题意，
故选：D．
2.（2024秋 安源区校级期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．
C．4，5，6 D．6，8，10
【答案】D
【分析】满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数，由此即可判断．
【解答】A、三个数不是正整数，故A不符合题意；
B、不是正整数，故B不符合题意；
C、42+52≠62，故C不符合题意；
D、62+82=102，故D符合题意．
故选：D．
【题型1】勾股定理与逆定理的综合
【典型例题】如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接，
∵，，
∴，
∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴
故选：．
【举一反三1】如图，在中，是边上一点，连接，，，，，则的长为（ ）
A.3 B.5 C.7 D.9
【答案】C
【解析】在中，，，，
，，
，
是直角三角形，，
，
在中，，，
，
．
故选：．
【举一反三2】如图，将绕点顺时针旋转得到，并使点的对应点点落在直线上，连接，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由旋转的性质可知，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵点的对应点点落在直线上，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，，
故选：A．
【举一反三3】如图，中，，，P为三角形内一点． ，则的度数是 ．
【答案】
【解析】∵，，
故把三角形绕点顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，如图所示：
由旋转性质得
则，
∴，
∵，
∴，
故，
即，
故答案为：．
【举一反三4】如图，在中，，，，为延长线上一点，．若，则的长为 ．
【答案】9.6
【解析】，，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
的面积，
，
，
解得：，
故答案为：9.6．
【举一反三5】如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E．
(1)试说明为直角三角形．
(2)求的长．
【答案】解 (1)∵，，
∴，
∴为直角三角形．
(2)设长为，则．
∵垂直平分，
∴．
在中，由勾股定理得，
解得，所以的长为．
【题型2】勾股数
【典型例题】《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A.3，4，5 B.5，12，13 C.6，8，10 D.7，24，25
【答案】C
【解析】∵，
∴．
∵，
∴．
∴a，b是直角三角形的直角边，
∵，是互质的奇数，
∴A．，
∴当，时，，，，
∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出；
B．，
∴当，时，，，，
∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；
C．，，
∵，是互质的奇数，
∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出；
D．，
∴当，时，，，，
∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出．
故选：C．
【举一反三1】在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如右表格中．则当时，的值为（ ）
A.162 B.200 C.242 D.288
【答案】D
【解析】根据表格中数据可得：，并且，
则，
当时，，
解得：，
则，
∴，
故选：D．
【举一反三2】若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为（ ）
A.，， B. C.，， D.
【答案】C
【解析】正整数a，b，c是一组勾股数，根据题意，不妨设c最大，则：，
A．，，，
∵，
∴，，不一定是勾股数，故A错误；
B．，，，
∵，
∴不一定是勾股数，故B错误；
C．，，，
∵，
∴，，一定是勾股数，故C正确；
D．，，，
∵，
∴不一定是一组勾股数 ，故D错误．
故选：C．
【举一反三3】若a，12，13是一组勾股数，则 ．
【答案】5
【解析】①a为最长边， ，a不是整数，不能构成勾股数，不符合题意．
②13为最长边， ，三边都是正整数，符合题意；
故答案为5．
【举一反三4】(1)我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
(2)如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
【答案】解 (1)，，（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：
∵k是正整数，
∴，，都是正整数，
∵，
∴，，（k是正整数）是一组勾股数；
(2)，，（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：
∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数，
∴，，是三个正整数，
∵，
∴，
∴，，（k是正整数）是一组勾股数．
【题型3】利用勾股定理解决图形面积问题
【典型例题】如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形、然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…依此类推，若正方形①的边长为，则正方形⑨的边长为（ ）．
A. B. C.4 D.2
【答案】C
【解析】根据题意：第一个正方形的边长为；
第二个正方形的边长为：cm；
第三个正方形的边长为：，
…，
此后，每一个正方形的边长是上一个正方形的边长的，
所以第9个正方形的边长为，
故选C．
【举一反三1】如图，以一直角三角形的三边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则B所代表的正方形的面积为（ ）
A.144 B.196 C.256 D.304
【答案】A
【解析】如图，
由正方形的面积公式得：，
由勾股定理得：，
∴B所代表的正方形的面积为144，
故选：A．
【举一反三2】如图，有三个正方形，，，点，，，，都在同一直线上，若正方形，的面积分别为和，则正方形的面积为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.11
【答案】B
【解析】∵四边形，，都是正方形，
∴，；
∴，
∴，
∴（），
∴，，
∵正方形，的面积分别为和，
∴，
∴正方形的面积
故选∶B．
【举一反三3】在直线上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则 ．
【答案】
【解析】如图所示，根据题意可得：，
∴，
∴
在和中
∴
∴
在中，，
，
，
同理可得：，
，
故答案为：．
【举一反三4】如图，在中，，，，以为一边在的同侧作正方形，求图中阴影部分的面积．
【答案】解 如图，中，，，，
由勾股定理知，，
∴，
故．
【题型4】勾股定理与数轴
【典型例题】如图 ，点 A 表示的实数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】点 A 表示的实数是1-．
故答案为C．
【举一反三1】如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数0的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】数轴上正方形的边长为1，
则正方形的对角线长为：，
∴OA=OB=．
∴A表示的数是．
故选：C．
【举一反三2】如图，正方形边长为，，则数轴上点对应的数是 ．
【答案】
【解析】先确定点对应的数和线段的长，再求解点对应的数．
由题意得，数轴上点对应的数是，
，
即，
数轴上点对应的数是，
故答案为：．
【举一反三3】无理数可以用数轴上的点表示，如图，数轴上点表示的数是 ．
【答案】
【解析】根据勾股定理得，
，
点表示的数为．
故答案为：．
【举一反三4】如图，为数轴原点，，两点表示的数分别为，3，作腰长为4的等腰三角形，连接．以点为圆心、的长为半径画弧，交数轴正半轴于点．求点表示的数．
【答案】解 为等腰三角形，，．
在中，，
，
点表示的数为.
【题型5】根据两锐角互余判断直角三角形
【典型例题】如图，在中，，，则△ADE为________三角形．
【答案】直角
【解析】，，
，，则为直角三角形．
【举一反三1】如图，在中，于点，，则是_____三角形．
【答案】直角
【解析】于点，，，
，，即是直角三角形．
【举一反三2】已知：如图，BD⊥AC，E为垂足，△ABE的中线FE的延长线交CD于点G，∠1＝∠2，求证：△CGE是直角三角形．
【答案】证明：∵BD⊥AC，EF是△ABE的中线，∴EF＝BF，
∴∠2＝∠BEF，
又∵∠CEG+∠BEF＝90°，∴∠CEG+∠2＝90°，
又∵∠2＝∠1，∴∠CEG+∠1＝90°，
∴△CGE是直角三角形．
【举一反三3】如图，已知，与的平分线相交于点，是直角三角形吗？请说明理由．
【答案】解：是直角三角形．
理由：，两直线平行，同旁内角互补，
、分别是和的平分线，，，
，是直角三角形．
【题型6】利用勾股定理计算或证明线段的平方关系
【典型例题】如图，已知为等腰直角三角形，则，，三者的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，过点C作，使，连接，，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
在和中，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
故选C．
【举一反三1】在中，若，则下列式子成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，若，
，
为直角边，为斜边，
根据勾股定理可得，
．
故选：A．
【举一反三2】如图，点E在边DB上，点A在内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是 （填序号）
①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）．
【答案】①③
【解析】①由已知条件证明DAB≌EAC即可；
②由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°；
③由ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC =45°+45°=90°可判断③；
④由BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2可判断④．
∵DAE＝BAC＝90°，
∴DAB＝EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴AED=ADE=ABC=ACB=45°，
∵在DAB和EAC中，
，
∴DAB≌EAC，
∴BD＝CE，ABD＝ECA，故①正确；
由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°故②错误；
∵ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC =45°+45°=90°，
∴CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确；
∴BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2．
∴BE2＝2（AD2+AB2）－CD2，故④错误．
故答案为：①③．
【举一反三3】问题：如图1，在等边三角形ABC内，点P到顶点A、B、C的距离分别是3，4，5，求∠APB的度数？
探究：由于PA、PB、PC不在同一个三角形中，为了解决本题，我们可以将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACP′处，连结P P′，这样就将三条线段转化到一个三角形中，从而利用全等的知识，求出∠APB的度数．请你写出解答过程：
应用：请你利用上面的方法解答：如图2，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点，且∠EAF=45°，求证：．
【答案】探究：
解 将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，
∴△BAP≌△CAP′，
∴AB＝AC，AP＝AP′，∠BAP＝∠CAP′，
∴∠BAC＝∠PAP′＝60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴∠APP′＝60°，
因为BPP′不一定在一条直线上，
∴P′C＝PB＝4，PP′＝PA＝3，P′C＝PC＝5，
∴∠PP′C＝90°，
∴△PP′C是直角三角形，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠APP′+∠P′PC＝60°+90°＝150°，
∴∠BPA＝150°；
应用：
证明 把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．
则△ACF≌△ABG．
∴AG＝AF，BG＝CF，∠ABG＝∠ACF＝45°．
∵∠BAC＝90°，∠GAF＝90°．
∴∠GAE＝∠EAF＝45°，
在△AEG和△AFE中，
，
∴△AEG≌△AFE（SAS）．
∴EF＝EG，
又∵∠GBE＝90°，
∴BE2+BG2＝EG2，
即BE2+CF2＝EF2．
【举一反三4】概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．如图1，四边形中，；
新意应用：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂直四边形吗？请说明理由；
性质探究：如图1，垂直四边形被对角线分成了四个直角三角形，与有什么关系？并证明你的猜想．
【答案】新意应用：
解 四边形是垂直四边形，
理由：连接，
∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点C在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
即四边形是垂直四边形；
性质探究：
解 ，理由如下：
∵，
∴，
由勾股定理得，，，
∴．
【题型7】利用逆定理判断能否构成直角三角形
【典型例题】下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A.3，4，5 B.7，24，25 C.1，， D.2，3，4
【答案】D
【解析】A.，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【举一反三1】已知三边长a、b、c，且满足，则此三角形一定是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【答案】C
【解析】，
，，，
，，．
，
即：，
所以此三角形是直角三角形．
又，
故此三角形是等腰直角三角形．
故选：C．
【举一反三2】三角形的三边长，，满足，则此三角形的形状是 （填锐角或直角或钝角）三角形．
【答案】直角
【解析】先对已知进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．
∵，
∴，
∴，
∴三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
【举一反三3】判断由线段a．b，c组成的三角形是不是直角三角形：．解：因为．所以，根据 ，这个三角形不是直角三角形．
【答案】勾股定理的逆定理
【解析】已知三边判断三角形是不是直角三角形，用勾股定理的逆定理．
故答案为：勾股定理的逆定理．
【举一反三4】阅读下列解题过程并完成相应的任务：
已知为的三边，且满足，试判断的形状．
解：，
，
，
为直角三角形．
任务：
(1)上述解题过程中，开始出现错误的是______（填序号）．
(2)错误的原因是______．
(3)的形状可以是______（填写相应的字母）．
．等腰三角形 ．直角三角形 ．等腰直角三角形
【答案】解 (1)由解题过程可得，开始出现错误的是，
故答案为：；
(2)错误的原因是没有考虑，
故答案为：没有考虑；
(3)∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
当时，为直角三角形；
当时，即，为等腰三角形；
∴为等腰三角形或直角三角形，
故答案为：．
【举一反三5】如图，在中，，，P是内一点，且，，，．
(1)与全等吗？请说明理由；
(2)求的度数．
【答案】解 (1)与全等，理由如下：
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
(2)∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
【题型8】用反证法证明命题
【典型例题】我们可以用以下推理来证明“当一个三角形的三边长满足时，这个三角形不是直角三角形”．假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理，这与已知条件矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形．上述推理使用的证明方法是（ ）
A.比较法 B.反证法 C.综合法 D.分析法
【答案】B
【解析】根据反证法的一般步骤判断即可．
推理使用的证明方法是：反证法．
故选：B．
【举一反三1】已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立．∴
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①②
【答案】D
【解析】运用反证法证明这个命题的四个步骤，
(1)假设在中，；
(2)由，得，即；
(3)，这与三角形内角和为矛盾；
(4)因此假设不成立．，
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②．
故选：D．
【举一反三2】求证：两直线平行，内错角相等．
如图1，若，且，被所截，求证：．
以下是打乱的用反证法证明的过程：
①如图2，过点作直线，使；
②依据“内错角相等，两直线平行”，可得；
③假设；
④∴；
⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立．
证明步骤的正确顺序是 ．
【答案】③①②⑤④
【解析】③假设；
①如图2，过点作直线，使；
②依据“内错角相等，两直线平行”，可得；
⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立；
④∴，
故答案为：③①②⑤④.
【举一反三3】如图，在中，，是的中线，于点E，用反证法证明：点D与点E不重合．
【答案】证明 假设点D与点E重合．
∵是的中线，，
∴垂直平分，
∴，与相矛盾，
∴点D与点E不重合．
【举一反三4】用反证法证明：的三个内角中至少有一个角不大于．
【答案】证明 假设，，都大于，则，
这与三角形的内角和等于相矛盾，因此假设不成立，
，，中至少有一个角不大于．
【题型9】勾股定理与折叠问题
【典型例题】如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由折叠的性质可得，
设，则，
由长方形的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选：C．
【举一反三1】如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为( )
A.5 B.4 C.4. 25 D.
【答案】D
【解析】由折叠的性质可得AE=A1E，
∵△ABC为等腰直角三角形，BC=6，
∴AB=6，
∵A1为BC的中点，
∴A1B=3，
设AE=A1E=x，则BE=6-x，
在Rt△A1BE中，由勾股定理可得32+（6-x)2=x2，解得x=，
故选D．
【举一反三2】如图，三角形纸片中，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处，
∴，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
设，
∴，解得：，即．
故选D．
【举一反三3】如图，在长方形纸片中，为边上一点．将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则的长为 ．
【答案】3
【解析】由长方形的性质可得，，，
由折叠的性质可得，，，，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
故答案为：3．
【举一反三4】如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得两个锐角顶点A、C重合，设折痕为DE，若AB=4，BC=3，则△ADC的周长是
【答案】
【解析】∵折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点、重合，
∴，
设，则，故，
∵，
∴，
即，
解得，
∴．
则，
在中，
由勾股定理得，
∴AC=5，
∴周长为AD+CD+AB= ．
故答案为：．
【举一反三5】学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作：
操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长；
操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长．
【答案】解 操作一：在中，，，，
，
由翻折可得，，，
，
设，则，，
在中，，由勾股定理得：，
解得： ，
∴；
操作二：在长方形中，，，
根据折叠的性质得，，
在中，，
根据勾股定理可得，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
的长为．
【题型10】利用勾股定理求线段长
【典型例题】勾股定理在《九章算术》中的表述是，“勾股术曰，勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（为勾，为股，为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”是（ ）
A.3 B. C. D.
【答案】D
【解析】“勾”为2，“股”为3，则“弦”．
故选：D.
【举一反三1】直角三角形的斜边为 cm，两条直角边之比为，则最短的直角边长是（ ）cm.
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】由题意，设两条直角边长分别为 cm和 cm，
则，
解得或（不符合题意，舍去），
则最短的直角边长是，
故选：C．
【举一反三2】在中，，，，分别为，，的对边，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据勾股定理直接计算即可．
，
，
故选：D．
【举一反三3】在中，已知，，，则的长为 ．
【答案】
【解析】，，，
由勾股定理得：
．
故答案为：．
【举一反三4】如图，在中，．
(1)实践与操作：过点作三角形边上的高（要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母）．
(2)计算：在(1)的条件下，若，，求的长
【答案】解 (1)如图所示，即为所求，
(2)，，，
，
在中，．
是边上的高，
，
，
【举一反三5】如图，在中，，，为边上的高，且cm，求边的长．
【答案】cm
【解析】∵为边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴cm．
【题型11】勾股定理的证明
【典型例题】我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．大正方形面积为：，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意；
D．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
【举一反三1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B.，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C.，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D.， 根据图形不能证明勾股定理；
故选：D．
【举一反三2】把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点，，在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于，，的代数恒等式，则这个恒等式是 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【举一反三3】1876年，美国第20任总统仰菲尔德利用以下图形给出了一种证明勾股定理的方法，你能利用它证明勾股定理吗？写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）
【答案】证明 由图可知，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，
则，
所以，
所以，
即一个直角三角形的两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．
【举一反三4】如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a，，斜边长为c．
(1)探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）．
①小正方形的边长为c，大正方形的边长为_________________________________；
②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式________________________，整理得__________________，从而验证勾股定理；
(2)应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比(1)中的方法用图③验证勾股定理．
【答案】解 (1)①由图和题意可知：大正方形的边长为；
故答案为：；
②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式，整理得；
故答案为：，；
(2)用两种不同的方法表示出梯形的面积，可得：，
∴，
∴．
【题型12】反证法证明中的假设
【典型例题】用反证法证明“若，，则”时，第一步应先假设（ ）
A.不平行于 B.不平行于 C. D.
【答案】A
【解析】原命题的结论是求证，
那么利用反证法时应该假设a和c相交，即不平行于，
故选：A．
【举一反三1】用反证法证明“在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C＞∠B＞∠A且∠C≠90°，那么a2＋b2≠c2．”应先假设（ ）
A.a2＋b2＝c2 B.a2＋b2＞c2 C.a2＋b2＜c2 D.a2＋b2＞c2或a2＋b2＜c2
【答案】A
【解析】根据题意得：应先假设a2＋b2=c2．
故选：A．
【举一反三2】牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一” ．那么我们用反证法证明：“若，则”，首先应该假设（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】反证法证明：“若，则”， 首先应该假设，
故选：．
【举一反三3】用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设（ ）
A.不平行于 B.平行于 C.不垂直于 D.不垂直于
【答案】A
【解析】用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设不平行于，故选：A．
【举一反三4】要用反证法证明：“如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形．”，第一步应假设 ．
【答案】这个三角形是直角三角形
【解析】由题意得，用反证法证明“如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形．”，第一步应假设这个三角形是直角三角形，
故答案为：这个三角形是直角三角形．
【举一反三5】用反证法证明“已知，．求证：．”第一步应先假设 ．
【答案】/
【解析】“已知，，．求证：”．第一步应先假设．
故答案为：．
【举一反三6】用反证法证明，“在中，对边是．若，则．”第一步应假设 ．
【答案】
【解析】用反证法证明，“在中，对边是．若，则．”第一步应假设，
故答案为：．
