2025-2026学年广东省深圳市福田区侨香外国语学校九年级（上）开学数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年广东省深圳市福田区侨香外国语学校九年级（上）开学数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 118.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-24 10:23:31 | ||
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文档简介
2025-2026学年广东省深圳市福田区侨香外国语学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.菱形ABCD中，若对角线AC=8cm,BD=6cm,则菱形ABCD的周长是（ ）
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
2.在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，添加下列条件能使四边形ABCD为菱形的是（ ）
A. AC=BD B. AB=AC C. ∠A=∠B D. AC⊥BD
3.如图，测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC=90°，则AD的长为（ ）
A. 4cm B. 3cm C. 5cm D. 2.5cm
4.如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为（ ）
A. 20°
B. 15°
C. 12.5°
D. 10°
5.一元二次方程3x2-5-4x=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 3，-5，-4 B. 3，-4，5 C. 3，-4，-5 D. 3，-5，4
6.如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（ ）
A. 32×20-20x-30x=540 B. 32×20-20x-30x-x2=540
C. （32-x）（20-x）=540 D. 32×20-20x-30x+2x2=540
7.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD点F，则△DAF与四边形BCEF的面积之比为（ ）
A. 3：4
B. 9：16
C. 12：19
D. 9：28
8.如图，有公共顶点的正方形ABCD和正方形BFGE如图摆放，其中点G恰在CD边的四等分点（CG＜DG），连结BD.则DH：BH为（ ）
A. 2：3
B. ：2
C. 2：
D. 15：17
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.若，则= ______.
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD的面积为______cm2.
11.把方程x2-4x-7=0化成（x-n）2=m的形式，则m+n的值是 .
12.如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB=6，则△DEF移动的距离AD= .
13.矩形ABCD中，AB=6，AD=12，连结BD，E，F分别在边BC，CD上，连结AE，AF分别交BD于点M，N，若∠EAF=45°，BE=3，则DN的长为______.
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题12分)
解下列一元二次方程：
（1）（x-1）2=2；
（2）x2=8x+9；
（3）（x+4）（x-2）=3（x-2）；
（4）2x2-x-5=0.
15.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D=∠CAE.
（1）求证：△ABD∽△ECA；
（2）若AC=6，CE=4，求BD的长度.
16.(本小题7分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，过D作DE∥AC，DF∥AB分别交AB、AC于点E、F.
（1）求证：四边形AEDF为菱形；
（2）若AC=8，DC=4，连接EF，求EF的长.
17.(本小题8分)
解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
18.(本小题8分)
阅读材料：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a≠0），其两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：.这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta'sformulas）.
解决问题：
（1）验证关系：给定一元二次方程3x2-5x+1=0，请验证其两个根的和与积是否分别满足和.
（2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和-2，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式______；
（3）能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：x1和x2是关于x的方程x2+（2a-1）x+a2=0的两个实数根，且（x1+2）（x2+2）=11，求a的值.
19.(本小题9分)
请根据以下素材，完成探究任务：
【汽车盲区与行车安全实践】
素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域.在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故.如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域.
素材二 如图2，若司机视线高度AB=1.5m,车前盖最高处与地面距离CD=1m,驾驶员与车头水平距离BE=2m,车前盖最高处与车头水平距离DE=0.5m,点M在EF上，ME=0.8m.
素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车.若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间.已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域.
问题解决
任务一 （1）①如图2，求车头盲区EF的长度；
②在M处有一个高度为0.5m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由；
任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持______米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区.
20.(本小题11分)
定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“亲子线”.
（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“亲子线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D，请你在图1中找出满足条件的点D，并画出这个四边形.保留画图痕迹（找出1个即可）；
（2）①如图2，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠DCB=135°，对角线AC平分∠DAB.请问∠ACD+∠ADC=______°？此时对角线AC是四边形ABCD的“亲子线”吗？请说明理由；
②若，求AD AB的值.
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠D=90°，在AD边上取一点E，使，过点E作EF∥CD交AC于点F，得到△AEF，连接CE、BF，在△AEF绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AF时，请你直接写出BF的长______.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】24
11.【答案】13
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】，．
x1=-1，x2=9．
x1=-1，x2=2．
，
15.【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠D=∠CAE．
∴△ABD∽△ECA；
（2）解：∵AB=AC，AC=6，
∴AB=AC=6，
∵△ABD∽△ECA，
∴，
∴，
∴BD=9．
16.【答案】（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形四边形AEDF为平行四边形，∠BAD=∠FDA，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠FDA=∠CAD，
∴AF=DF，
∴平行四边形AEDF为菱形；
（2）解：∵∠C=90°，AC=8，DC=4，
∴AD===4，
由（1）可知，AF=DF，四边形AEDF为菱形，
∴OA=OD=AD=2，OE=OF，AD⊥EF，
设AF=DF=x,则CF=AC-AF=8-x,
在Rt△CDF中，由勾股定理得：DC2+CF2=DF2，
即42+（8-x）2=x2，
解得：x=5，
∴DF=5，
∴OF===，
∴EF=2OF=2，
即EF的长为2．
17.【答案】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x,
依题意，得：500（1+x）2=720，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y-30）[600-10（y-40）]=10000，
整理，得：y2-130y+4000=0，
解得：y1=80（不合题意，舍去），y2=50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
18.【答案】满足，3x2-5x+1=0，
∵a=3，b=-5，c=1，
∴Δ=b2-4ac=（-5）2-4×3×1=13＞0，
∴，
∴，，
∴，，
则一元二次方程3x2-5x+1=0两个根的和与积满足和；
x2-x-6=0；
a=-1
19.【答案】解：（1）①根据题意，AB⊥BF，CD⊥BF，BE=2m,DE=0.5m,
∴AB∥CD，
BD=BE-DE=2-0.5=1.5m,
∴△FCD∽△FAB，
∴，且FB=FD+BD=FD+1.5，
∴=，
∴解得：FD=3,
∴EF=FD-DE=3-0.5=2.5m；
②过点M作MN⊥FB交AF于点N，
∴FM=EF-ME=2.5-0.8=1.7m,
FD=3m,
MD=ME+DE=0.8+0.5=1.3m,
∵MN∥CD，
∴△FMN∽△FDC，
∴=，
∴MN==≈0.57m,
∵0.57＞0.5，
∴不能观察到物体；
（2）45.
20.【答案】满足条件的点D，如图1即为所求（画出1个即可）；
①AC是四边形ABCD的“亲子线”；理由如下：
∵∠DAB=90°，对角线AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB=45°，
∴∠D+∠ACD=180°-∠DAC=135°，
又∵∠DCB=135°=∠DCA+∠ACB，
∴∠D=∠ACB，
∴△DAC∽△CAB，
∴对角线AC是四边形ABCD的“亲子线”；
135；
②40；
或
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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.菱形ABCD中，若对角线AC=8cm,BD=6cm,则菱形ABCD的周长是（ ）
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
2.在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，添加下列条件能使四边形ABCD为菱形的是（ ）
A. AC=BD B. AB=AC C. ∠A=∠B D. AC⊥BD
3.如图，测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC=90°，则AD的长为（ ）
A. 4cm B. 3cm C. 5cm D. 2.5cm
4.如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为（ ）
A. 20°
B. 15°
C. 12.5°
D. 10°
5.一元二次方程3x2-5-4x=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 3，-5，-4 B. 3，-4，5 C. 3，-4，-5 D. 3，-5，4
6.如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（ ）
A. 32×20-20x-30x=540 B. 32×20-20x-30x-x2=540
C. （32-x）（20-x）=540 D. 32×20-20x-30x+2x2=540
7.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD点F，则△DAF与四边形BCEF的面积之比为（ ）
A. 3：4
B. 9：16
C. 12：19
D. 9：28
8.如图，有公共顶点的正方形ABCD和正方形BFGE如图摆放，其中点G恰在CD边的四等分点（CG＜DG），连结BD.则DH：BH为（ ）
A. 2：3
B. ：2
C. 2：
D. 15：17
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.若，则= ______.
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD的面积为______cm2.
11.把方程x2-4x-7=0化成（x-n）2=m的形式，则m+n的值是 .
12.如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB=6，则△DEF移动的距离AD= .
13.矩形ABCD中，AB=6，AD=12，连结BD，E，F分别在边BC，CD上，连结AE，AF分别交BD于点M，N，若∠EAF=45°，BE=3，则DN的长为______.
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题12分)
解下列一元二次方程：
（1）（x-1）2=2；
（2）x2=8x+9；
（3）（x+4）（x-2）=3（x-2）；
（4）2x2-x-5=0.
15.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D=∠CAE.
（1）求证：△ABD∽△ECA；
（2）若AC=6，CE=4，求BD的长度.
16.(本小题7分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，过D作DE∥AC，DF∥AB分别交AB、AC于点E、F.
（1）求证：四边形AEDF为菱形；
（2）若AC=8，DC=4，连接EF，求EF的长.
17.(本小题8分)
解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
18.(本小题8分)
阅读材料：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a≠0），其两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：.这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta'sformulas）.
解决问题：
（1）验证关系：给定一元二次方程3x2-5x+1=0，请验证其两个根的和与积是否分别满足和.
（2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和-2，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式______；
（3）能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：x1和x2是关于x的方程x2+（2a-1）x+a2=0的两个实数根，且（x1+2）（x2+2）=11，求a的值.
19.(本小题9分)
请根据以下素材，完成探究任务：
【汽车盲区与行车安全实践】
素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域.在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故.如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域.
素材二 如图2，若司机视线高度AB=1.5m,车前盖最高处与地面距离CD=1m,驾驶员与车头水平距离BE=2m,车前盖最高处与车头水平距离DE=0.5m,点M在EF上，ME=0.8m.
素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车.若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间.已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域.
问题解决
任务一 （1）①如图2，求车头盲区EF的长度；
②在M处有一个高度为0.5m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由；
任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持______米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区.
20.(本小题11分)
定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“亲子线”.
（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“亲子线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D，请你在图1中找出满足条件的点D，并画出这个四边形.保留画图痕迹（找出1个即可）；
（2）①如图2，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠DCB=135°，对角线AC平分∠DAB.请问∠ACD+∠ADC=______°？此时对角线AC是四边形ABCD的“亲子线”吗？请说明理由；
②若，求AD AB的值.
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠D=90°，在AD边上取一点E，使，过点E作EF∥CD交AC于点F，得到△AEF，连接CE、BF，在△AEF绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AF时，请你直接写出BF的长______.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】24
11.【答案】13
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】，．
x1=-1，x2=9．
x1=-1，x2=2．
，
15.【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠D=∠CAE．
∴△ABD∽△ECA；
（2）解：∵AB=AC，AC=6，
∴AB=AC=6，
∵△ABD∽△ECA，
∴，
∴，
∴BD=9．
16.【答案】（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形四边形AEDF为平行四边形，∠BAD=∠FDA，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠FDA=∠CAD，
∴AF=DF，
∴平行四边形AEDF为菱形；
（2）解：∵∠C=90°，AC=8，DC=4，
∴AD===4，
由（1）可知，AF=DF，四边形AEDF为菱形，
∴OA=OD=AD=2，OE=OF，AD⊥EF，
设AF=DF=x,则CF=AC-AF=8-x,
在Rt△CDF中，由勾股定理得：DC2+CF2=DF2，
即42+（8-x）2=x2，
解得：x=5，
∴DF=5，
∴OF===，
∴EF=2OF=2，
即EF的长为2．
17.【答案】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x,
依题意，得：500（1+x）2=720，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y-30）[600-10（y-40）]=10000，
整理，得：y2-130y+4000=0，
解得：y1=80（不合题意，舍去），y2=50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
18.【答案】满足，3x2-5x+1=0，
∵a=3，b=-5，c=1，
∴Δ=b2-4ac=（-5）2-4×3×1=13＞0，
∴，
∴，，
∴，，
则一元二次方程3x2-5x+1=0两个根的和与积满足和；
x2-x-6=0；
a=-1
19.【答案】解：（1）①根据题意，AB⊥BF，CD⊥BF，BE=2m,DE=0.5m,
∴AB∥CD，
BD=BE-DE=2-0.5=1.5m,
∴△FCD∽△FAB，
∴，且FB=FD+BD=FD+1.5，
∴=，
∴解得：FD=3,
∴EF=FD-DE=3-0.5=2.5m；
②过点M作MN⊥FB交AF于点N，
∴FM=EF-ME=2.5-0.8=1.7m,
FD=3m,
MD=ME+DE=0.8+0.5=1.3m,
∵MN∥CD，
∴△FMN∽△FDC，
∴=，
∴MN==≈0.57m,
∵0.57＞0.5，
∴不能观察到物体；
（2）45.
20.【答案】满足条件的点D，如图1即为所求（画出1个即可）；
①AC是四边形ABCD的“亲子线”；理由如下：
∵∠DAB=90°，对角线AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB=45°，
∴∠D+∠ACD=180°-∠DAC=135°，
又∵∠DCB=135°=∠DCA+∠ACB，
∴∠D=∠ACB，
∴△DAC∽△CAB，
∴对角线AC是四边形ABCD的“亲子线”；
135；
②40；
或
第2页，共2页
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