2025高中数学人教A版必修一第二章单元拔尖测试卷（含解析）

2025高中数学人教A版必修一第二章单元拔尖测试卷
考试时间：120分钟；满分：150分
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知实数，且．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）（24-25高一上·江西南昌·开学考试）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（5分）（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．（5分）（24-25高一上·云南昆明·期末）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（ ）
A．大于10克 B．小于10克
C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克
5．（5分）（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．（5分）（24-25高一上·广东广州·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（ ）
A．160000元 B．179200元
C．198400元 D．297600元
7．（5分）（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．64 B．25 C．13 D．12
8．（5分）（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（6分）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知为正实数，，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值
C．的最小值为 D．的最小值为
11．（6分）（24-25高一上·山东东营·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为或
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知实数满足，，则的取值范围是 .
13．（5分）（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 .
14．（5分）（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为的矩形花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽，东西两侧的草坪宽，则矩形面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围．
（2）设、均为正实数，试比较和的大小．
16．（15分）（24-25高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式，
(1)若的解集为，求实数a，b的值；
(2)若求关于x的不等式的解集．
17．（15分）（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明：
(1)；
(2).
18．（17分）（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题：
(1)求的最大值.
(2)求的最小值.
(3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围.
19．（17分）（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数，．
(1)当时，解不等式；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围．
答案解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知实数，且．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据已知可得，然后根据不等式的性质，以及赋值法即可判断各项的正误.
【解答过程】因为，所以，所以，故A错误；
因为，所以，又，所以，
所以，所以，故B正确；
当时，，故C错误；
因为，且，所以，所以，
又，所以，所以，故D错误．
故选：B.
2．（5分）（24-25高一上·江西南昌·开学考试）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，由此可判断二次函数的图象可能的位置，即得答案.
【解答过程】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，则图像，开口向上，对称轴为；D正确.
故选：D.
3．（5分）（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解题思路】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值．
【解答过程】，，
当且仅当，即时取等号.
故选：A.
4．（5分）（24-25高一上·云南昆明·期末）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（ ）
A．大于10克 B．小于10克
C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克
【答案】A
【解题思路】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.
【解答过程】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为，
所以，所以，
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.
由杠杆的平衡原理：，．解得，，
则.
下面比较与10的大小：
因为，
因为，所以，即，
所以这样可知称出的黄金质量大于.
故选：A.
5．（5分）（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可.
【解答过程】由题可知的根为1和2，代入方程可得，，
不等式等价于，则解集为，
故选：D.
6．（5分）（24-25高一上·广东广州·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（ ）
A．160000元 B．179200元
C．198400元 D．297600元
【答案】C
【解题思路】设池底的长为x，宽为y，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，计算出建造这个水池的总造价是，结合基本不等关系求得最小值.
【解答过程】设池底的长为x，宽为y，则，即
因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，
建造这个水池的总造价是
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C.
7．（5分）（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．64 B．25 C．13 D．12
【答案】B
【解题思路】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案．
【解答过程】，，则，
不等式 恒成立，即恒成立，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即实数m的最大值为.
故选：B.
8．（5分）（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】先解不等式可得或，再解不等式，进而分三种情况讨论，结合交集的定义求解即可.
【解答过程】由，即，解得或，
由，即，
当时，不等式为，无解；
当时，不等式解集为，
结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解，
所以，即，
当时，不等式解集为，
结合题意，要使不等式组仅有一个整数解，
则，即，
综上所述，k的取值范围为，
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解题思路】应用作差法判断A、B、D，根据不等式的性质判断C.
【解答过程】A：，又，
所以，则，即，对；
B：，且，而符号不定，
所以符号不定，错；
C：由题设，若，则，错；
D：，则，对.
故选：AD.
10．（6分）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知为正实数，，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】ABC
【解题思路】应用基本不等式及应用常值代换分别计算判断各个选项即可.
【解答过程】对于A：，当且仅当时取“=”，A正确；
对于B： ，当且仅当时取“=”，B正确；
对于C： ，
令，，则，
，
当且仅当，即，时取“=”，
的最小值为，C正确；
对于D：
当且仅当时取“=”，D错误；
故选：ABC.
11．（6分）（24-25高一上·山东东营·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为或
【答案】AD
【解题思路】根据不等式的解集与不等式的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出、与的等量关系，利用一次不等式的解法可判断B选项；代值计算可判断C选项；利用二次不等式的解法可判断D选项.
【解答过程】对于A选项，因为关于的不等式的解集为，则，A对；
对于B选项，由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，
由韦达定理可得，可得，
所以，不等式即为，即，解得，
故不等式的解集为，B错；
对于C选项，，C错；
对于D选项，不等式即为，即，
即，解得或，
因此，不等式的解集为或，D对.
故选：AD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知实数满足，，则的取值范围是 .
【答案】
【解题思路】设，得到，结合不等式的性质，即可求解.
【解答过程】由题意，设，整理得，
所以，解得，即，
因为，，
所以，，
所以，即，
所以的取值范围是，
故答案为：.
13．（5分）（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 .
【答案】
【解题思路】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围.
【解答过程】由不等式在上恒成立，
得在上恒成立，
所以在上恒成立，
又，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，故的最小值为.
故答案为：.
14．（5分）（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为的矩形花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽，东西两侧的草坪宽，则矩形面积的最小值为 ．
【答案】
【解题思路】设，则，根据可求出的取值范围，求出，，利用基本不等式可求得矩形面积的最小值.
【解答过程】设，则，其中，
因为，则，可得，
由题意可得，，
所以，矩形的面积为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，矩形面积的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围．
（2）设、均为正实数，试比较和的大小．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解题思路】（1）结合不等式的基本性质即可求解.
（2）利用作差法进行比较，先对代数式作差得出；再分类讨论即可得出结果.
【解答过程】（1）因为， 所以，
又，两个不等式相加可得，即．
因为，所以，
又，两个不等式相加可得，即．
因为，所以，
当时，两个不等式相加乘可得：，即；
当时，两个不等式相加乘可得：，即，
所以．
的取值范围为；
的取值范围为；
的取值范围为.
（2）．
因为，均为正实数，所以．
当，即时，，此时；
当，即时，，此时；
当，即时，，此时．
综上可得：当时，；
当时，；
当时，．
16．（15分）（24-25高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式，
(1)若的解集为，求实数a，b的值；
(2)若求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，然后代入方程求出，解一元二次不等式求解.
（2）按照，和分类讨论，根据一元二次不等式的解法解不等式即可.
【解答过程】（1）若的解集为，
则是方程的一个根，即，解得，
所以不等式为，解得：，所以.
即，.
（2）因为，即，
当时，令，解得，
若时，，不等式解集为：；
若时，，不等式解集为：；
若时， ，不等式解集为：；
综上所述： 当时，不等式解集为：；
当时，不等式解集为：；
当时， 不等式解集为：.
17．（15分）（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解题思路】（1）利用基本不等式可证不等式成立；
（2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立.
【解答过程】（1）因为，
当且仅当时等号成立，
故，当且仅当时等号成立，
故成立.
（2）,
由基本不等式有，
，
，
故，
当且仅当时等号成立.
18．（17分）（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题：
(1)求的最大值.
(2)求的最小值.
(3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解题思路】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值；
（2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值；
（3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可.
【解答过程】（1）当时，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，函数的最大值为.
（2）当时，，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为.
（3）因为，且，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，
因为恒成立，则，即，解得.
因此，实数的取值范围是.
19．（17分）（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数，．
(1)当时，解不等式；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)或；
(2)；
(3).
【解题思路】（1）利用十字相乘的方法解二次不等式即可；
（2）利用参变分离的方法解恒成立问题，其中最值可由均值不等式求得；
（3）将问题转化为，分类讨论求出，再解范围即可.
【解答过程】（1）当时，即，
所以，所以，所以或，
所以不等式的解集为或.
（2）“对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”，
因为时，（当且仅当时等号成立），
所以即，
所以实数的取值范围是.
（3）因为对，，使得不等式成立，
所以不等式，
因为，
所以在单调递增，
所以.
因为，
所以当，即时，在单调递增，
所以，
则成立，故；
当，即时，，
由得，所以；
当，即时，，
由得，所以.
综上所述，实数的取值范围是.