2025高中数学人教A版（2019）必修一第二章单元基础练习题（含解析）

2025高中数学人教A版必修一第二章单元基础练习题
题型1 用不等式表示不等关系
1．（24-25高一上·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　）
A．4×≥100 B．4×≤100
C．4×＞100 D．4×＜100
2．（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·全国·课后作业）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 .
4．（24-25高一上·全国·课后作业）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式.
5．（24-25高一上·全国·课后作业）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系．
题型2 利用不等式的性质判断正误
1．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，，则下列不等式一定成立的是 .
①；②；③；④
4．（24-25高一·上海·课堂例题）设a、b、c是实数，判断下列命题的真假，并说明理由.
(1)如果，那么；
(2)如果，那么；
(3)如果，那么.
5．（24-25高一·湖南·课后作业）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．
(1)如果，那么；
(2)若，，则；
(3)若，则；
(4)若，，则．
题型3 由基本不等式比较大小
1．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·陕西西安·期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　）
A．小于 B．等于
C．大于 D．与左右臂的长度有关
3．（24-25高一上·上海·课后作业）若、、、、、是正实数，且，，则有 ．（比较大小）
4．（23-24高一·上海·课堂例题）设，且，请将a、b、、2ab、从小到大排列，并说明理由．
5．（24-25高一上·广东广州·期中）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加升的燃油；第二种方案，每次加元的燃油．
(1)分别用表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请你计算出每种加油方案的均价；
(2)选择哪种加油方案比较经济划算？请你给出证明．
题型4 利用基本不等式求最值（无条件）
1．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则的最小值为 .
4．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）（1）已知，， 求的最小值；
（2）已知，求的最大值；
5．（24-25高一上·海南·期中）（1）若 ，求 的最大值；
（2）已知 ，求 的最小值．
题型5 基本不等式“1”的妙用求最值
1．（24-25高一上·湖北·期末）已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．9
2．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）设，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知为非负数，为正数，并满足，则的最小值为 .
4．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知正数，满足.
(1)求的最小值；
(2)求的最小值.
5．（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知正数满足.
(1)求的最小值；
(2)求的最小值.
题型6 一元二次不等式的解法
1．（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）求不等式的解集 ．
4．（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式
(1)
(2)
5．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）求下列一元二次不等式的解集
(1)
(2)
(3)
(4)
题型7 解分式、高次、绝对值不等式
1．（24-25高一上·安徽宿州·期末）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·辽宁·期中）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）不等式 的解集是 .
4．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）求下列不等式的解集：
(1)
(2)
(3)．
5．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）解下列关于x的不等式．
(1)；
(2)；
(3)．
题型8 二次函数的图象分析与判断
1．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·江西南昌·开学考试）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·上海徐汇·阶段练习）二次函数的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是 ．
（1）异号；（2）当和时，函数值相等；（3）；（4）当时，的取值只能为0.
4．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知二次函数．
(1)画出函数图像，并比较，，的大小（不需要写画图过程）；
(2)求不等式的解集．
5．（24-25高一上·新疆喀什·期中）已知二次函数且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数的定义域为，作出函数图象并求其值域．
题型9 三个“二次”关系的应用
1．（24-25高一上·浙江金华·阶段练习）已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·河南·阶段练习）二次方程的两根为2，，那么关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C． D．
3．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为 .
4．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知函数.
(1)若关于的不等式有解，求的取值范围；
(2)求的取值范围，使得总有实数解.
5．（24-25高一上·山西临汾·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于，两点.
(1)当时，求的值；
(2)求关于x的不等式的解集.
题型10 一元二次不等式的实际应用
1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（ ）
A．25元 B．20元 C．10元 D．5元
2．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·广东·阶段练习）如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周斜线部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为 .
4．（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？
5．（24-25高一上·全国·单元测试）某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价．
(1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式；
(2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围．
答案解析
题型1
1．（24-25高一上·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　）
A．4×≥100 B．4×≤100
C．4×＞100 D．4×＜100
【答案】C
【解题思路】人跑开的路程应大于100米，可得结论.
【解答过程】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m．
由题意可得4×＞100.
故选：C.
2．（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】根据题设可得每天加工的商品数为件，即可求出结果.
【解答过程】由题意得现在工厂每天加工的商品数为件，则该工厂30天加工的商品数为件，
所以题中关系表示为.
故选：B.
3．（24-25高一上·全国·课后作业）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 .
【答案】
【解题思路】根据题意列式即可.
【解答过程】由题意得，即.
故答案为：.
4．（24-25高一上·全国·课后作业）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式.
【答案】
【解题思路】设该车工3天后平均每天需加工个零件，由前3天加工的零件个数与后12天加工的零件个数和不小于总个数即得．
【解答过程】设该车工3天后平均每天需加工个零件，加工天共加工个零件，
15天里共加工个零件，则．
故不等关系表示为．
5．（24-25高一上·全国·课后作业）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系．
【答案】
【解题思路】根据题意可得，以及菜园面积，即可得不等关系.
【解答过程】由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18m，
则，菜园的另一条边长为．
可得菜园面积，
依题意有，即，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为.
题型2
1．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解题思路】对于ACD，举例判断，对于B，根据不等式的性质以及作差法分析判断.
【解答过程】对于A，若，满足，则，所以A错误，
对于B，因为，，所以，即得，又因为，
则，所以B正确，
对于C，若，满足，则，所以C错误，
对于D，若，则，所以D错误，
故选：B.
2．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解题思路】举例说明判断ACD；利用不等式性质推理判断B.
【解答过程】对于A，取，满足，而，A错误；
对于B，由，得，则，B正确；
对于C，取，满足，而，C错误；
对于D，取，满足，而，D错误.
故选：B.
3．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，，则下列不等式一定成立的是 .
①；②；③；④
【答案】④
【解题思路】利用特殊值法可判断①②③错误，由不等式的性质可证明④正确.
【解答过程】对于①②③，假设，，，，满足，，
，，此时不成立，
，，此时不成立，
，，此时不成立，故①②③错误；
对于④，由，，得，即，故④正确；
故答案为：④.
4．（24-25高一·上海·课堂例题）设a、b、c是实数，判断下列命题的真假，并说明理由.
(1)如果，那么；
(2)如果，那么；
(3)如果，那么.
【答案】(1)真命题
(2)假命题
(3)真命题
【解题思路】（1）利用不等式的性质可判断原命题的真假；
（2）取特殊值可判断原命题的真假；
（3）利用不等式的基本性质可判断原命题的真假.
【解答过程】（1）因为，所以，由不等式的乘法性质得，故原命题为真命题；
（2）取，，，满足，但是，
所以原命题为假命题；
（3）因为，所以由不等式的开方法则得，故原命题为真命题.
5．（24-25高一·湖南·课后作业）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．
(1)如果，那么；
(2)若，，则；
(3)若，则；
(4)若，，则．
【答案】(1)成立，理由见解析；
(2)成立，理由见解析；
(3)不成立，理由见解析；
(4)不成立，理由见解析；
【解题思路】由不等式的性质判断（1）（2）成立，取特殊值判断（3）（4）不成立.
【解答过程】（1），
，
，
故成立.
（2），,
,
即.
（3）取时，满足，但是不成立.
（4）取，满足，，但是不成立.
题型3
1．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项.
【解答过程】因为，所以，，
，当且仅当时，等号成立，
则.
故选：A.
2．（24-25高一上·陕西西安·期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　）
A．小于 B．等于
C．大于 D．与左右臂的长度有关
【答案】C
【解题思路】利用杠杆原理求得顾客购得的黄金质量的表达式，依据均值定理即可得到顾客购得的黄金质量的取值范围，进而得到选项.
【解答过程】设天平左、右两边的臂长分别为x，y，
设售货员第一次称得黄金的质量为a克，第二次称得黄金的质量为b克，
则，解之得，
则顾客购得的黄金为（克），
（当且仅当时等号成立），
由题意知，，则克.
故选：C.
3．（24-25高一上·上海·课后作业）若、、、、、是正实数，且，，则有 ．（比较大小）
【答案】≤
【解题思路】根据基本不等式即可求解.
【解答过程】．当且仅当时等号成立，
故,
故答案为：.
4．（23-24高一·上海·课堂例题）设，且，请将a、b、、2ab、从小到大排列，并说明理由．
【答案】
【解题思路】根据已知条件，结合不等式的性质，以及作差法，即可求解.
【解答过程】，且，则，即，
故，，当且仅当时，等号成立，
故，即，
，故，
因为，所以，
由于，所以，即，
，
即，
综上所述：.
5．（24-25高一上·广东广州·期中）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加升的燃油；第二种方案，每次加元的燃油．
(1)分别用表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请你计算出每种加油方案的均价；
(2)选择哪种加油方案比较经济划算？请你给出证明．
【答案】(1)第一种方案的均价为；第二种方案的均价为；
(2)第二种加油方案比较经济划算，详见解析.
【解题思路】（1）根据题意即得；
（2）利用基本不等式即得.
【解答过程】（1）由题可得第一种方案的均价为，
第二种方案的均价为；
（2）因为，，
所以，，
所以 ，
即第二种加油方案比较经济划算.
题型4
1．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解题思路】利用基本不等式求出最小值.
【解答过程】由，得，则，当且仅当时取等号，
所以所求的最小值为8.
故选：D.
2．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【解答过程】当时，，函数，
当且仅当，即时取等号，
所以所求最小值为2.
故选：A.
3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则的最小值为 .
【答案】
【解题思路】求出的范围，根据基本不等式即可求出的最小值.
【解答过程】，，
，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
4．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）（1）已知，， 求的最小值；
（2）已知，求的最大值；
【答案】（1）4；（2）
【解题思路】（1）由基本不等式即可求解；
（2）由基本不等式即可求解.
【解答过程】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为；
（2）因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
5．（24-25高一上·海南·期中）（1）若 ，求 的最大值；
（2）已知 ，求 的最小值．
【答案】（1）1；（2）6．
【解题思路】（1）由基本不等式求积的最大值；
（2）运用常数分离法将所求式化简，利用基本不等式求和的最小值．
【解答过程】（1）由，
则，
当且仅当时，等号成立，
故最大值为1．
（2）当时，，
则 ，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为6．
题型5
1．（24-25高一上·湖北·期末）已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．9
【答案】B
【解题思路】利用乘“1”法即可求出最值.
【解答过程】，
当且仅当，即时等号成立.
故选：B.
2．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）设，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据条件得到，再利用基本不等式，即可求解.
【解答过程】因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故选：D.
3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知为非负数，为正数，并满足，则的最小值为 .
【答案】
【解题思路】根据给定条件，利用配凑方法，结合基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【解答过程】由为非负数，为正数，得，由，得，
因此
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8.
故答案为：8.
4．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知正数，满足.
(1)求的最小值；
(2)求的最小值.
【答案】(1)36.
(2).
【解题思路】（1）由基本不等式可得，再求解即可；
（2）利用“1”的灵活运用，结合基本不等式即得.
【解答过程】（1）由得，当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为36.
（2）由题意可得，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
5．（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知正数满足.
(1)求的最小值；
(2)求的最小值.
【答案】(1)2
(2)
【解题思路】（1）结合完全平方式，利用基本不等式求解即可.
（2）由得，然后利用“1”的代换求解即可.
【解答过程】（1）因为，
当且仅当时，取得等号，
所以，
故的最小值为2.
（2）由得，，
则
，
当且仅当，即时，取得等号，
故的最小值为．
题型6
1．（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【解题思路】由一元二次不等式的解法求解即可.
【解答过程】由，可得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
2．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可.
【解答过程】当时，不等式，即，，
故不等式的解集为，故A可能；
当时，，即，
当时，的解集为，故D可能；
当时，不等式无解；
当时，的解集为，故B可能.
故选：C.
3．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）求不等式的解集 ．
【答案】
【解题思路】利用分解因式的方法求解一元二次不等式.
【解答过程】不等式，化为，解得或，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
4．（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解题思路】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【解答过程】（1）由，得，
解得，
所以不等式的解集为；
（2）由，得，
即，解得或，
所以不等式的解集为.
5．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）求下列一元二次不等式的解集
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解题思路】（1）利用因式分解法结合一元二次不等式解集的形式，解不等式；
（2）根据一元二次不等式解集的形式，解不等式；
（3）根据实数的性质解不等式；
（4）根据根的判别式的值确定解集的形式.
【解答过程】（1） 或.
所以所求不等式的解集为：
（2） .
所以所求不等式的解集为：
（3）由 .
所以所求不等式的解集为：
（4）因为 .
由，
所以所求不等式的解集为：.
题型7
1．（24-25高一上·安徽宿州·期末）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】根据分式不等式的解法求解即可.
【解答过程】由，得，解得或，
故选：D.
2．（24-25高一上·辽宁·期中）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】利用分类讨论法计算可得.
【解答过程】不等式，等价于或，
解得或，
即不等式的解集为.
故选：A.
3．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）不等式 的解集是 .
【答案】
【解题思路】通过移项，通分，分式不等式转化为整式不等式求解.
【解答过程】由可得，
等价于，解得，
故原不等式的解集为.
故答案为：.
4．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）求下列不等式的解集：
(1)
(2)
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解题思路】（1）把分式不等式转化为整式不等式求解.
（2）利用“穿根法”解高次不等式.
（3）分情况讨论，去掉绝对值符号，解不等式.
【解答过程】（1） .
所以不等式的解集为：.
（2）由
所以，
由穿根法：
原不等式的解集为：.
（3）
当时，原不等式可化为： ；
当时，原不等式可化为： ，无解.
综上可知：原不等式的解集为：.
5．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）解下列关于x的不等式．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)或；
(2)或；
(3)或
【解题思路】（1）由分式不等式解法可得答案；
（2）分类讨论去掉绝对值可解不等式；
（3）注意到，后讨论正负情况可得答案.
【解答过程】（1）
或；
（2）当时，，
结合，则；
当时，，
结合，则；
当时，，
结合，则.
综上：或；
（3）.
则或.
或，不存在.
综上：或 .
题型8
1．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案.
【解答过程】由题意得，为的两个根，
故，即，
开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为
故选：B.
2．（24-25高一上·江西南昌·开学考试）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，由此可判断二次函数的图象可能的位置，即得答案.
【解答过程】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，则图像，开口向上，对称轴为；D正确.
故选：D.
3．（24-25高一上·上海徐汇·阶段练习）二次函数的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是 ．
（1）异号；（2）当和时，函数值相等；（3）；（4）当时，的取值只能为0.
【答案】3
【解题思路】根据二次函数的图象得到对称轴即可结合二次函数的性质求解.
【解答过程】根据图象可知：是二次函数与的两个交点，所以可得对称轴方程为
，故对称轴为，故异号且，（1）（3）正确；
因为对称轴为，故当和时，函数值相等，
当时，的取值为0和4，故（2）正确，（4）错误；故正确的个数是3.
故答案为：3.
4．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知二次函数．
(1)画出函数图像，并比较，，的大小（不需要写画图过程）；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)图像见解析，
(2)
【解题思路】（1）利用二次函数的画法画出图像即可
（2）结合图像解不等式.
【解答过程】（1）由二次函数，即的图像如图所示：
由图像，可知．
注意：图像应体现关键点，，，．
（2）∵不等式，
∴当时，，由图像可知，；
当时，，由图像可，；
∴不等式的解集为．
5．（24-25高一上·新疆喀什·期中）已知二次函数且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数的定义域为，作出函数图象并求其值域．
【答案】(1)；
(2)作图见解析，．
【解题思路】（1）由，列方程求出，可得函数的解析式；
（2）由二次函数的图象特征，作出函数图象，根据图象求值域．
【解答过程】（1）二次函数满足，
则有，解得，
所以.
（2）函数的定义域为，函数图象如图所示，

由函数图象可知，函数的值域为.
题型9
1．（24-25高一上·浙江金华·阶段练习）已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】利用二次不等式的解集，求得a,b,c的关系，由此判断二次函数的图像与性质，从而判断出的大小关系.
【解答过程】由于二次不等式的解集为，
所以，是方程的两个实数根，即
即.
则，，其图像开口向上，且对称轴为 ，
所以
故选：A.
2．（24-25高二上·河南·阶段练习）二次方程的两根为2，，那么关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】B
【解题思路】根据，确定二次函数的图象开口方向，再由二次方程的两根为2，，写出不等式的解集.
【解答过程】因为二次方程的两根为2，，
又二次函数的图象开口向上，
所以不等式的解集为或 ，
故选：B.
3．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为 .
【答案】
【解题思路】数形结合，根据二次函数的图象，求得参数，再求一元二次不等式即可.
【解答过程】根据二次函数的图象可知，为方程的两根，
故，即，
则即，也即，
，解得或.
故不等式解集为.
故答案为：.
4．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知函数.
(1)若关于的不等式有解，求的取值范围；
(2)求的取值范围，使得总有实数解.
【答案】(1)或；
(2)或.
【解题思路】（1）根据二次函数与一元二次不等式的关系，结合分类讨论即可求解，
（2）根据一元二次方程的根，利用判别式即可求解.
【解答过程】（1）若，则，不满足题意；
若，则必有解；
若，解得，
故的取值范围为或；
（2）①若，则，不满足题意；
②由，由知总有实数解，
即，则或，
由于，则或，
综上，或.
5．（24-25高一上·山西临汾·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于，两点.
(1)当时，求的值；
(2)求关于x的不等式的解集.
【答案】(1)12
(2)答案见解析
【解题思路】（1）根据根与系数的关系得，，再利用完全平方公式的变形求解；
（2）讨论两根大小求解一元二次不等式.
【解答过程】（1）当时，.
由题意可知是方程的两个不同实根，则，，
故.
（2）不等式可转化为.
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是.
题型10
1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（ ）
A．25元 B．20元 C．10元 D．5元
【答案】C
【解题思路】根据题意，列出不等式，代入计算，即可求解.
【解答过程】设每株多肉植物的售价为元，则每天可以卖株，
由题意可得，即，
解得，所以每株这种多肉植物的最低售价为10元.
故选：C.
2．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果.
【解答过程】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，，
即，解得，又因为，所以，
这批台灯的销售单价的取值范围是.
故选：C.
3．（24-25高一上·广东·阶段练习）如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周斜线部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为 .
【答案】
【解题思路】设草坪的宽为米，则长为米，由长比宽至少多米，则，即可求得花卉宽的取值范围.
【解答过程】设矩形花卉的宽为米，
因为三块花卉的面积均为平方米，则长为米，
又矩形花卉的长比宽至少多米，所以，
即，即， 解得，
所以花卉宽的取值范围是.
故答案为：.
4．（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？
【答案】花卉的宽度至少为
【解题思路】设花卉带的宽度为，根据已知条件求出的取值范围，求出草坪的长和宽，根据题意可得出关于的不等式，解之即可得出结论.
【解答过程】解：设花卉带的宽度为，则，可得，
所以，草坪的长为，宽为，
则草坪的面积为，
因为草坪的面积不超过总面积的一半，则，
整理可得，解得，又因为，可得.
所以，花卉的宽度至少为.
5．（24-25高一上·全国·单元测试）某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价．
(1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式；
(2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据已知条件求出售价降低x成商品售价和售出商品数量即可求该商品一天的营业额，再结合售价不能低于成本价求出变量的取值范围即可得y与x之间的函数关系式.
（2）由（1）可得该商品一天的营业额和变量的取值范围，再结合已知条件列出不等式求解即可得解.
【解答过程】（1）依题意售价降低x成则商品售价为元/件，
售出商品数量为件，
所以该商品一天的营业额为，
又售价不能低于成本价，所以，解得，
所以.
（2）由（1）商品一天的营业额为，
令，化简得，
解得，又，
所以x的取值范围为．