2025高中数学人教A版必修一第二章单元培优测试卷（含解析）

2025高中数学人教A版必修一第二章单元培优测试卷
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（24-25高一上·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（5分）（24-25高一上·新疆和田·期末）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．（5分）（24-25高一上·全国·课前预习）已知，则函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）（24-25高二上·浙江·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（ ）
A．9 B．6 C． D．5
8．（5分）（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．（6分）（24-25高一上·陕西西安·期末）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为或
11．（6分）（24-25高一上·四川眉山·期中）已知且，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为9
B．的最小值为6
C．的最大值为
D．的最小值为9
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知实数满足，，则的取值范围为 ．
13．（5分）（24-25高一上·广东佛山·期末）若正数满足，则的最小值为 .
14．（5分）（24-25高一上·河南许昌·期末）若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高一上·山西晋中·期中）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3).
16．（15分）（24-25高一上·全国·课前预习）（1）比较和的大小；
（2）已知，，证明：
17．（15分）（2025高一·全国·专题练习）实数、满足，.
(1)求实数、的取值范围；
(2)求的取值范围．
18．（17分）（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知实数、满足：.
(1)求和的最大值；
(2)求的最小值和最大值.
19．（17分）（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数．
(1)解关于x的不等式：；
(2)当时，恒成立，试确定实数m的取值范围．
答案解析
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（24-25高一上·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解题思路】根据不等式的性质逐项分析即可.
【解答过程】对A，当时，，故A错误；
对B，，，故B正确；
对C，若，则，则，即，故C错误；
对D，当时，，则，故D错误.
故选：B.
2．（5分）（24-25高一上·新疆和田·期末）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据一元二次函数的因式分解和不等式的性质求解一元二次不等式的解即可.
【解答过程】因为，所以.
所以，所以或.
所以不等式的解集为.
故选：B.
3．（5分）（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】利用作差比较法求解.
【解答过程】因为，
所以.
故选：C.
4．（5分）（24-25高一上·全国·课前预习）已知，则函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解.
【解答过程】因为，可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以函数的最大值为.
故选：C.
5．（5分）（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据不等式的性质求解．
【解答过程】因为，又，，
所以的取值范围是．
故选：C．
6．（5分）（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案.
【解答过程】由题意得，为的两个根，
故，即，
开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为
故选：B.
7．（5分）（24-25高二上·浙江·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（ ）
A．9 B．6 C． D．5
【答案】D
【解题思路】把问题转化为在区间上有解，利用基本不等式求解.
【解答过程】关于的不等式在区间上有解，
等价于在区间上有解，
即在区间上有解，
又，当且仅当时，取最小值6．
故，可得，则实数的最小值为5．
故选：D．
8．（5分）（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为
【答案】C
【解题思路】利用三个二次的关系分析得到，，即可判断AB；对于C，由或可得；对于D，利用前面已得结论，消元后解一元二次不等式即得.
【解答过程】由题意知，和3是方程的两根，且，
则有 ，故得.
对于AB，由和，可推得，故AB均错误；
对于C，因或故，故C正确；
对于D，由上分析，不等式可化为，
因，故可解得，即的解集为，故D错误.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解题思路】根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合可得答案.
【解答过程】对于A，不妨设满足条件，则，故A错误；
对于B，因为，，故，故B正确；
对于C，由条件可知：，，所以，故，故C正确
对于D，因为，，所以，即，故D正确．
故选：BCD．
10．（6分）（24-25高一上·陕西西安·期末）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为或
【答案】ACD
【解题思路】由不等式的解集得到，同时和是的两个根，进而得到 ，，逐项判断即可；
【解答过程】由一元二次不等式得解集结构可得：
且和是的两个根，
故，，得，，
A选项：由可判断A正确；
B选项：，故B错误；
C选项：由得得，故C正确；
D选项：由得，得，得或，故D正确；
故选：ACD.
11．（6分）（24-25高一上·四川眉山·期中）已知且，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为9
B．的最小值为6
C．的最大值为
D．的最小值为9
【答案】AB
【解题思路】根据基本不等式以及函数关系，可得答案.
【解答过程】对于A，由，则，当且仅当时等号成立，
整理可得，解得，即，故A正确；
对于B，由，则，当且仅当时等号成立，
整理可得，解得，故B正确；
对于C，由，当时，整理可得，
由，则，即，解得，
所以，故C错误；
对于D，由，当时，整理可得，
由，则，即，解得，
则，
当且仅当等号成立，故D错误.
故选：AB.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知实数满足，，则的取值范围为 ．
【答案】
【解题思路】根据不等式性质直接求解即可.
【解答过程】因为，，所以，，
所以，即的取值范围为.
故答案为：.
13．（5分）（24-25高一上·广东佛山·期末）若正数满足，则的最小值为 .
【答案】25
【解题思路】由，得到，再利用“1”的代换求解.
【解答过程】解：因为正数满足，
所以，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为25，
故答案为：25.
14．（5分）（24-25高一上·河南许昌·期末）若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【解题思路】利用参变分离法将不等式化成，只需求函数在上的最小值即得参数m的取值范围.
【解答过程】由不等式对任意都成立，可得不等式对任意都成立，
因，，则得，
故得，即实数m的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高一上·山西晋中·期中）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)或；
(2)；
(3).
【解题思路】（1）（2）利用一元二次不等式的解法求解.
（3）化分式不等式为不等式组，再利用一元二次不等式的解法求解.
【解答过程】（1）不等式化为：，解得或，
所以原不等式的解集为或.
（2）不等式化为：，则，
所以原不等式的解集为.
（3）不等式化为：，解得，
所以原不等式的解集为.
16．（15分）（24-25高一上·全国·课前预习）（1）比较和的大小；
（2）已知，，证明：
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解题思路】（1）展开后作差比较大小；
（2）根据不等式的性质先证明，然后证明，最后再证明.
【解答过程】（1）因为，
所以.
（2）证明：因为，所以，，
于是，即，
由，得.
17．（15分）（2025高一·全国·专题练习）实数、满足，.
(1)求实数、的取值范围；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【解题思路】由不等式的性质求解．
【解答过程】（1）由，，
则，所以，
所以，即，
即实数的取值范围为．
因为，
由，
所以，所以，
所以，
∴，
即实数的取值范围为．
（2）设，
则，解得，
∴，
∵，．
∴，，
∴，
即的取值范围为．
18．（17分）（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知实数、满足：.
(1)求和的最大值；
(2)求的最小值和最大值.
【答案】(1)；
(2)最小值为，最大值为.
【解题思路】（1）使用基本不等式根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解；
（2）使用基本不等式，注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解.
【解答过程】（1）∵，∴，
∵，∴，∴，
当且仅当、或、时等号成立，∴的最大值为，
∵，∴，
∵，
∴，∴，
∴，当且仅当、时等号成立，∴的最大值为；
（2）∵，∴，
∵，∴，即，
当且仅当、或、时等号成立，∴的最小值为，
又，∴，即，
当且仅当、或、时等号成立，
∴的最大值为.
19．（17分）（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数．
(1)解关于x的不等式：；
(2)当时，恒成立，试确定实数m的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解题思路】（1）由原不等式可得 ， 对分三种情况讨论 ，分别利用二次不等式的解法即可得解；
（2） 恒成立等价于 在区间 上恒成立，令 ，结合二次函数的性质即可求解.
【解答过程】（1），即为，
即可得，
令可得或，
当，即时，或；
当，即时，；
当，即时，或，
综上，当时，不等式的解集为或；
当时， 不等式的解集为；
当时， 不等式的解集为或；
（2）因为当 时， 恒成立，
即当 时， 恒成立，
即当 时， 恒成立，
设函数 ，
则 在区间 上单调递减，
所以 在区间 上的最小值为 ，
所以 ，
故实数 的取值范围为 .