2025高中数学人教A版必修一第二章单元培优练习题（含解析）

2025高中数学人教A版必修一第二章单元培优练习题
题型1 利用作差法、作商法比较大小
1．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，其中，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不确定
2．（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·四川宜宾·阶段练习）若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空）
4．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小：
①设，比较的大小；
②设，比较的大小；
③设，比较的大小.
注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.
5．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了．
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
(2)利用（1）的结论比较的大小；
(3)证明命题：设，证明：．
题型2 利用不等式的性质求取值范围
1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·全国·周测）若，，则的取值范围为 ．
4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，．
(1)求的取值范围；
(2)求的取值范围．
5．（24-25高一上·重庆·期中）已知
(1)求的取值范围；
(2)若将条件变为“”，求的范围
题型3 利用不等式的性质证明不等式
1．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）若实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·吉林四平·阶段练习）已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：．
4．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，．
(1)求证：；
(2)求证：．
5．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．
(1)证明糖水不等式；
题型4 条件等式求最值
1．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
2．（24-25高一上·四川德阳·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
3．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 .
4．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，，．
(1)求的最小值和的最小值；
(2)求的最小值．
5．（24-25高一上·江西·期中）已知正数，满足.
(1)求的最小值；
(2)求的最小值.
题型5 利用基本不等式证明不等式
1．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知为不相等的正实数，满足．则下列不等式中不正确的为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：；
（2）若，，都是正数，求证：.
4．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明：
(1)；
(2).
5．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：；
（2）已知，，，求证：．
题型6 基本不等式的恒成立问题
1．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．64 B．25 C．13 D．12
2．（24-25高三上·浙江宁波·期末）设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．12 B．24 C． D．
3．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为 .
4．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足.
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
5．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知正数，满足.
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
题型7 基本不等式的有解问题
1．（24-25高一上·重庆渝北·阶段练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是 .
4．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知正实数x，y，满足．
(1)求xy的最小值；
(2)若关于x的方程有解，求实数m的取值范围．
5．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，.
(1)且有解，求实数的取值范围；
(2)，求的最小值.
题型8 由一元二次不等式的解确定参数
1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为
2．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
3．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 .
4．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数，关于不等式的解集为.
(1)解关于的不等式；
(2)关于的不等式有且仅有7个整数解，求的取值范围．
5．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，关于x的一元二次不等式的解集为.
(1)求b，c的值；
(2)若为非负实数，解关于的不等式.
题型9 一元二次不等式恒成立问题
1．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 .
4．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知关于的不等式.
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
(2)在（1）的条件下，解关于的不等式.
5．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）设.
(1)解关于的不等式；
(2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；
(3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.
题型10 一元二次不等式有解问题
1．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）若，使得成立，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 .
4．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数．
(1)若，解关于的不等式；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围．
5．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数，．
(1)当时，解不等式；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围．
答案解析
题型1
1．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，其中，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【解题思路】利用作差比较大小可得答案.
【解答过程】由题意知，
，
因为，，
所以，
即，
所以，
故.
故选：A.
2．（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据作商法比较大小，即可得出结果.
【解答过程】因为实数，，满足，，，
所以，
∴；
又，
∴；
∴．
故选：A．
3．（24-25高一上·四川宜宾·阶段练习）若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空）
【答案】＞
【解题思路】利用作差法求解.
【解答过程】解：因为，
所以，
所以 ，
，
则，即，
故答案为：＞.
4．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小：
①设，比较的大小；
②设，比较的大小；
③设，比较的大小.
注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.
【答案】①；
②；
③；
【解题思路】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系；
②用作差法比较即可；
③用作差法或作商法比较即可.
【解答过程】解：
①
，
因为，
所以，
即；
.
②
，
.
③
方法一（作差法）
，
因为，所以，
所以，
所以.
..
方法二（作商法）因为，所以，
所以，
所以.
.
5．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了．
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
(2)利用（1）的结论比较的大小；
(3)证明命题：设，证明：．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【解题思路】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证；
（2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解；
（3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证.
【解答过程】（1）由题意，可得不等式.
证明：由，
因为，可得，
所以，即.
（2）由，
由（1）中的结论，可得，即.
（3）证明：因为，
由（1）中的结论，可得，
所以①，
又由，同理可得，
则，
由上述结论，可得，所以②，
综合①②，得.
题型2
1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【解答过程】设，则，
所以，，解得，即，
，则，
因此，.
故选：D.
2．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】设，求出和，再根据不等式的性质求解即可.
【解答过程】设，
则，解得，所以，
因为，所以，
又，所以，即，
所以的取值范围是.
故选：A.
3．（24-25高一上·全国·周测）若，，则的取值范围为 ．
【答案】
【解题思路】由不等式式性质计算即可.
【解答过程】因为，，
所以，，
根据同向不等式可加性得．
故答案为：．
4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，．
(1)求的取值范围；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）由不等式的性质求解即可；
（2）由不等式的性质求解即可；
【解答过程】（1）因为，，
所以，所以．
（2）由，，得，，
所以．
5．（24-25高一上·重庆·期中）已知
(1)求的取值范围；
(2)若将条件变为“”，求的范围
【答案】(1)，
(2)
【解题思路】（1）利用不等式的性质和齐次化可求的取值范围；
（2）利用待定系数法结合不等式的性质可求的范围.
【解答过程】（1）因为，所以，所以；
因为，所以，则，所以
（2）令，所以，
所以，则，所以.
因为，所以，
所以.
题型3
1．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）若实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】利用不等式的性质，判断各选项是否正确.
【解答过程】由，则，A选项错误；
由，时，不满足，B选项错误；
由，则，C选项错误；
由，则，D选项正确.
故选：D.
2．（24-25高三上·吉林四平·阶段练习）已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】由不妨取特殊值将选项A,B,C排除,关于D,由,即有,取倒数即可证明选项正误.
【解答过程】解:由题知,
不妨取
则有,
,
故选项A,B错误;
关于选项C,
不妨取
,
故选项C错误;
关于选项D,
,
,
故选项D正确.
故选:D.
3．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：．
【答案】证明见解析
【解题思路】由，，和，，证明即可.
【解答过程】由题意知，，，
则有，，，①
，，，
所以．
又根据①的结论可知，，，
所以．
综上所述，.
4．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解题思路】（1）利用不等式的性质证明即可；
（2）应用作差法比较大小，即可证.
【解答过程】（1）由，则，故，
由，则，故，
所以，得证.
（2）由，而，
所以，即，得证.
5．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．
(1)证明糖水不等式；
(2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解题思路】（1）由作差法证明；
（2）由糖水不等式变形证明．
【解答过程】（1），
因为，所以，
所以，即．
（2）因为是三角形的三边，所以，
由（1）知，
同理，
所以，
又，
所以
所以原不等式成立．
题型4
1．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【解题思路】先化简已知等式，再应用基本不等式计算求解即可.
【解答过程】因为，，且，则，
，同理，
则，
当且仅当时，的最小值为.
故选：B.
2．（24-25高一上·四川德阳·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【解题思路】根据条件等式有且，再应用基本不等式求最值.
【解答过程】由题设且，则，
所以
当且仅当即时取等号.
故选：C.
3．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 .
【答案】35
【解题思路】由，得到，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解.
【解答过程】因为，且，所以，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以最小值为35.
故答案为：35.
4．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，，．
(1)求的最小值和的最小值；
(2)求的最小值．
【答案】(1)的最小值为，的最小值为
(2)
【解题思路】（1）依题意可得，利用消元法及基本不等式计算可得；
（2）结合（1）可得，再利用基本不等式计算可得.
【解答过程】（1）因为，，，
所以，所以，解得，
所以，当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为；
又，当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
（2）因为，且，所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
5．（24-25高一上·江西·期中）已知正数，满足.
(1)求的最小值；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）用表示得，再代入问题代数式化简，最后根据基本不等式即可求出最值；
（2）计算得，再令，再利用基本不等式得到关于的一元二次不等式，解出即可.
【解答过程】（1）由，得.
因为，，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
（2）由，得，即.
令，则（当且仅当，即时取等号）.
由，得，故.
整理得，解得或.
又由，得（当且仅当，时取等号），
故的最小值为.
题型5
1．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】根据基本不等式依次判断选项即可.
【解答过程】A. ∵（当且仅当时取等号），
∴，当且仅当且时取等号.
选项A正确.
B. ，当且仅当即时取等号.
选项B正确.
C. ∵（当且仅当时取等号），
∴.
选项C正确.
D. ∵（当且仅当时取等号），
∴.
选项D错误.
故选：D.
2．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知为不相等的正实数，满足．则下列不等式中不正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】由已知可得，再利用基本不等式判断各个选项.
【解答过程】由，
因为为不相等的正实数，所以，
对于A，，故A正确；
对于B，，当且仅当，即 或时等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时等号成立，故C错误；
对于D，等价于，即，当且仅当，即 时等号成立，故D正确．
故选：C．
3．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：；
（2）若，，都是正数，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解题思路】（1）对分别应用基本不等式即可证明；
（2）对分别应用基本不等式即可证明.
【解答过程】证明 （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，，
当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立.
所以，
即有，当且仅当，时，等号成立.
（2）由，，都是正数，利用基本不等式可知，
，当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立.
所以，
当且仅当时，等号成立.
4．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解题思路】（1）利用基本不等式可证不等式成立；
（2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立.
【解答过程】（1）因为，
当且仅当时等号成立，
故，当且仅当时等号成立，
故成立.
（2）,
由基本不等式有，
，
，
故，
当且仅当时等号成立.
5．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：；
（2）已知，，，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解题思路】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论；
（2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论.
【解答过程】证明：（1）∵、都是正数，
∴，，，
∴ ，
当且仅当时，等号成立．
（2）∵，，，
∴，，，
∴，
故，当且仅当，
即时等号成立．
题型6
1．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．64 B．25 C．13 D．12
【答案】B
【解题思路】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案．
【解答过程】，，则，
不等式 恒成立，即恒成立，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即实数m的最大值为.
故选：B.
2．（24-25高三上·浙江宁波·期末）设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．12 B．24 C． D．
【答案】B
【解题思路】原不等式可转化为，利用均值不等式求最小值即可.
【解答过程】由，变形可得，，
令，，
则转化为，即，
其中，
当且仅当，即，时取等号，
所以不等式恒成立，只需，
故选：B.
3．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为 .
【答案】
【解题思路】变形得，利用基本不等式求的最小值，进而解决恒成立问题.
【解答过程】因为，，所以由，得，即恒成立；
由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立；
因此的最小值为4，则，解得或；
故答案为：.
4．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足.
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值；
（2）先求出，参变分离得到，变形得到，利用基本不等式求出取得最小值，则，
【解答过程】（1）
，
当且仅当，即时取等号，
即取得最小值.
（2）由，得，即，
不等式恒成立，即恒成立，
，
当且仅当，即时取等号，
因此当时，取得最小值，则，
所以的取值范围.
5．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知正数，满足.
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)25
(2)
【解题思路】（1）由已知等量关系化简代数值并转化“1”，然后利用基本不等式解得最小值；
（2）不等式恒成立等价于求最值问题，先利用等量代换和基本不等式求出左边最小值，再解不等式即可得出范围.
【解答过程】（1）∵，
∴，，，
∴，
当且仅当，即，时取“=”，
所以的最小值为25.
（2）∵，∴，
∴，
∵且，∴，
∴，当且仅当，即时取“=”，
∴，
∴恒成立，即，解得 ，
所以实数的取值范围为.
题型7
1．（24-25高一上·重庆渝北·阶段练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据基本不等式"1"的替换进行求解即可.
【解答过程】因为正实数x，y满足，
所以，
当且仅当时取等号，即当时，取等号，
因此要想有解，
只需，
故选：B.
2．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】利用基本不等式进行代换，从而求出答案.
【解答过程】由，可得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立.
所以，解得或，
故选：C.
3．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解题思路】利用“1”的代换及基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围.
【解答过程】因为正实数，满足，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为，因为不等式有解，
所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
4．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知正实数x，y，满足．
(1)求xy的最小值；
(2)若关于x的方程有解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)8；
(2)或﹒
【解题思路】(1)利用基本不等式将x＋2y转化为xy形式，解不等式即可；(2)结合已知条件对进行变形，构造成可以使用基本不等式的形式，利用基本不等式求其值域﹒
【解答过程】（1）∵x，y为正实数，，
∴
解得：，
当且仅当，即x＝4，y＝2时，等号成立，
则xy的最小值为8．
（2）由得：，则，
∴
，
当且仅当，即，时，等号成立﹒
∴，解得：或．
5．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，.
(1)且有解，求实数的取值范围；
(2)，求的最小值.
【答案】(1)
(2)25
【解题思路】（1）利用基本不等式可求的最小值，进而得不等式，求解即可；
（2）由得，消元后利用基本不等式求最小值即可.
【解答过程】（1）因为正数，满足，所以，
所以 ，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为25，
由有解，得，
即，解得或，
所以实数的取值范围是.
（2）因为，，且满足，
所以，所以，，
则
，
当且仅当，即，时，等号成立.
所以的最小值25.
题型8
1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为
【答案】D
【解题思路】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项即可求解.
【解答过程】对于A，由已知可得开口向下，即，故A错误；
对于BCD，是方程的两个根，
所以，
所以，
，故BC错误，D正确；
故选：D.
2．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解题思路】将原不等式化为，按照与2的大小分类讨论解不等式，再结合解集中的整数个数建立不等式求解可得,
【解答过程】．
当时，不等式的解集为空集，不符合题意．
当时，不等式的解集为，
要使关于的不等式的解集中恰有3个整数，
只需满足解得．
当时，不等式的解集为，
要使关于的不等式的解集中恰有3个整数，
只需满足解得．
综上，实数的取值范围为.
故选：B.
3．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 .
【答案】或
【解题思路】应用分类讨论求一元二次不等式的解集，根据整数解个数列不等式求参数范围.
【解答过程】令，解得或.
当，即时，不等式的解集为，则，解得；
当，即时，不等式无解，所以不符合题意；
当，即时，不等式的解集为，则，解得.
综上，的取值范围是或.
故答案为：或.
4．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数，关于不等式的解集为.
(1)解关于的不等式；
(2)关于的不等式有且仅有7个整数解，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解题思路】（1）结合不等式的解集，利用三个二次关系列式求得，然后将所求不等式转化为，分类讨论求解二次不等式即可.
（2）将所求不等式化简为，结合得不等式的解集为，然后利用解集中有且仅有7个整数解列不等式求解即可.
【解答过程】（1）因为不等式的解集为，且，
所以恒成立，且的两根为1，2.
故，即.
不等式等价于，
整理得，
当时，不等式化为，无解，不等式的解集为；
当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为；
当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为.
（2）不等式等价于，
整理得，
因为，所以，所以不等式的解集为，
因为不等式有且仅有7个整数解，
所以，解得，故的取值范围为.
5．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，关于x的一元二次不等式的解集为.
(1)求b，c的值；
(2)若为非负实数，解关于的不等式.
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得.
（2）对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.
【解答过程】（1）因为不等式的解集为，
所以和是方程的两个根.
根据韦达定理，可得，.
解得，.
（2）由（1）知，，则不等式为，即.
当时，不等式化为，解得.
当时，，不等式的解为.
当时，不等式化为，即，此时不等式无解.
当时，，不等式的解为.
综上所得，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为空集；
当时，解集为.
题型9
1．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】当时符合题意，当时，根据一元二次不等式在上恒成立可得的取值范围.
【解答过程】当时，恒成立，符合题意.
当时，，解得.
综上得，的取值范围是.
故选：C.
2．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可.
【解答过程】由，得，
则问题转化为对于恒成立，
又，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即实数的取值范围为.
故选：D.
3．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 .
【答案】
【解题思路】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围.
【解答过程】由不等式在上恒成立，
得在上恒成立，
所以在上恒成立，
又，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，故的最小值为.
故答案为：.
4．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知关于的不等式.
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
(2)在（1）的条件下，解关于的不等式.
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】（1）根据给定条件，按或分类讨论，列式求出的取值范围.
（2）根据（1）中的取值范围可得到不等式对应方程的根的大小，进而求出不等式的解集.
【解答过程】（1）关于的不等式恒成立，
则当时，原不等式为恒成立；
当时，，解得，
所以的取值范围为.
（2）不等式化为，
由（1）知，，则，解得，
所以原不等式的解集为.
5．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）设.
(1)解关于的不等式；
(2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；
(3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2)；
(3).
【解题思路】（1）就的不同的取值范围分类讨论后可得不等式的解集；
（2）利用参变分离结合二次函数的性质可求参数的取值范围；
（3）构建关于的一次函数，根据其单调性可得关于的不等式，从而可求的范围.
【解答过程】（1）由，化简得，即，
当时，，解得.
当时，不等式解得，
当时，不等式解得或，
当时，不等式解得或，
当时，对于不等式，解得或，
综上所述：当时，关于的不等式解为；
当时，关于的不等式解为；
当时，关于的不等式解为；
当时，关于的不等式解为；
当时，关于的不等式解为.
（2）要使在上恒成立，
即，，
因为当时，，所以有在上恒成立，
当时，令，即，
所以在上恒成立，则，
即，故实数的取值范围为.
（3）设
则是关于的一次函数，且一次项系数为，
所以在上单调递增，
所以等价于，解得，
故实数的取值范围为.
题型10
1．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）若，使得成立，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解.
【解答过程】因为，即，
又因为，则，可得，
原题意等价于，使得成立，
令，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
可得，所以实数的范围是.
故选：B.
2．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围.
【解答过程】令，对称轴方程为，
若存在，使不等式成立，
等价于，
当时，即时，，解得，
因为，所以；
当时，即时，，解得，
因为，所以；
因为，所以.
故选:C.
3．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解题思路】只需求函数在上的最大值，即可得答案.
【解答过程】由题意，在上有解，
∴在上有解，
即，其中，
在中，，
对称轴，
∵，二次函数开口向上，
∴函数在单调递减，在上单调递增，
∴函数在上取最大值，，
∴，
故答案为：.
4．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数．
(1)若，解关于的不等式；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解题思路】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可.
（2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可.
【解答过程】（1）易得
当时，，所以解集为；
当时，，所以解集为；
当时，，所以解集为．
（2）若在上有解，
则在上有解，
故，即在上有解，
由，得，
进而知，令，则，
设，
当且仅当时取等号，所以．
5．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数，．
(1)当时，解不等式；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)或；
(2)；
(3).
【解题思路】（1）利用十字相乘的方法解二次不等式即可；
（2）利用参变分离的方法解恒成立问题，其中最值可由均值不等式求得；
（3）将问题转化为，分类讨论求出，再解范围即可.
【解答过程】（1）当时，即，
所以，所以，所以或，
所以不等式的解集为或.
（2）“对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”，
因为时，（当且仅当时等号成立），
所以即，
所以实数的取值范围是.
（3）因为对，，使得不等式成立，
所以不等式，
因为，
所以在单调递增，
所以.
因为，
所以当，即时，在单调递增，
所以，
则成立，故；
当，即时，，
由得，所以；
当，即时，，
由得，所以.
综上所述，实数的取值范围是.