【新情境·新趋势】北师大版（2024）初中数学八年级上册第二章情境模拟卷

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初二数学上册第二章模拟卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．在，，，，，，，，中，无理数的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．下列语句中：（1）16的平方根是4；（2）的平方根是；（3）；（4）；（5）125的立方根是；（6）是2的平方根，正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．估算的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
4．如图，一张三角形纸片，，，．现将纸片折叠，使点A与点B重合，那么折痕长等于（ ）
A．3cm B． C． D．5cm
5．如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．已知：中，，，的周长是（ ）
A．17 B．30 C．43 D．60
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．比较大小： ．
10．一个正数的平方根为和，则的值为 ．
11．（新情境试题·生活应用型）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形．底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和n之间，则n的值是 ．
12．若，，则的值为 ．
13．（新情境试题·规律型）观察并分析下列数据：，，，，按上述规律，第个数据是 ．
三、解答题（本题共13小题，共81分。其中：14-20每题5分，21题每题6分，22-23题每题7分，24-25题每题8分，26题10分）。
14．比较与的大小．
15．当x分别取下列值时，求二次根式的值．
(1)x＝0．
(2)x＝2．
(3)x＝﹣．
若，求的立方根．
17．计算：
(1)．
(2)．
已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根．
若，化简．
（新情境试题·生活应用型）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，求肇事汽车的车速．（结果化为最简二次根式）
21．（新情境试题·生活应用型）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）．
(1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？
(2)从高空抛出的物体，经过落地，所抛物体下落的高度是多少？
22．（1）计算：
（2）计算：
23．已知与满足，某正数的平方根分别是和，是绝对值最小的数．
(1)求、、、的值．
(2)求的值．
24．（新情境试题·新定义问题）阅读材料，完成下列问题：
材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为成对数，，例如、都是成对数
材料二：将一位四位正整数的百位和十位交换位置后得到四位数， ，
（1） ：
（2）试证明任意成对数能被整除；
（3）若t为一个成对数，另一个成对数．（）．若为一个完全平方数，请求出所有满足条件的的值．
25．（新情境试题·综合与实践）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．他们是这样解答的：
，
，
即，
，
．
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1) ．
(2)化简：．
(3)若，
①求的值，
②求的值．
26．在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号．
，①
，②
．③
以上化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．④
(1)请参照③和④分别用两种不同的方法化简．
(2)计算：．
答案解析部分
1．B
【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．根据无理数的定义求解即可．
【详解】解：，，是无理数，共个．
故选：B．
2．B
【分析】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根，掌握这三个概念及性质的应用是解题关鍵， （1）正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）先求，再求4的平方根；（3）算术平方根的结果具有唯一性；（4）负数的偶次幂为正，正数的算术平方根为正数；（5）正数的立方根是正数；（6）正确．
【详解】解：（1）16的平方根是，不符合题意；
（2）的平方根是，不符合题意；
（3），不符合题意；
（4），不符合题意；
（5）125的立方根是5，不符合题意；
（6）是2的平方根，符合题意；
正确个数为1个
故选：．
3．A
【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，先化简表达式，再利用夹逼法估算其数值范围．
【详解】解：，
，，，
，
，
即的值应在4和5之间，
故选A．
4．C
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握利用勾股定理列方程求解是关键．连结，设，先求出，在中，根据勾股定理列方程，求得，最后在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，如图，
，，，
，
设，则，
由折叠可知，，，
在中，，
，
解得，即，
在中，，
即折痕长等于．
故选：C．
5．D
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用．
先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是长方形，
，
，
∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于表示的数为，
，
，
∴点表示的数为，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查实数与数轴，绝对值，算术平方根．
先根据数轴推出，，再化简绝对值，求算术平方根，合并同类项即可．
【详解】解：由图可知，，，
∴，，
∴，
∴，
∴化简的结果为．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查数轴上的点，圆的周长，掌握相关知识是解题关键．分两种情况讨论：当圆沿着数轴往右或往左滚动一周，所经过的路径长为圆的周长，据此解答．
【详解】解：圆滚动一周所经过的路径长为：
当圆沿着数轴往右滚动一周，此时点A表示的数是：；
当圆沿着数轴往左滚动一周，此时点A表示的数是：，
综上所述，点A表示的数是或，
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用，根据题意可得，且，进而得到，再利用完全平方公式变形可得，即可求出，即可求解．
【详解】解：∵中，，，
∴，且，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴的周长是．
故选：B．
9．
【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较、二次根式的混合运算等知识点，掌握分子有理化是解题的关键．
先对和分子有理化，然后比较分母即可解答．
【详解】解：，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了平方根，根据正数有两个平方根，它们互为相反数可得，解方程即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键．
【详解】解：∵一个正数的平方根为和，
∴，
解得，
故答案为：．
11．2
【分析】本题考查无理数的估算，利用放缩法估算出的取值范围，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
n的值是2，
故答案为：2．
12．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．
先整理的结果是，将乘以可化简为关于b的式子，从而得到和的关系，继而能得出的值．
【详解】解：
，
则
，
∵，
∴，
．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查数字的变化规律，根据已知数据找准规律是解决问题的关键．
将题中数据化为统一形式，找准规律为，当时，代入求解即可得到答案．
【详解】解：将题中数据化为统一形式：，，，，
规律是，
则第个数据是，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了实数比较大小中无理数和有理数的大小比较.
解题的关键是将两数作商后比较与的大小判定.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
15．(1)；
(2)3；
(3)2；
【分析】（1）把x的值代入，计算求值即可；
（2）把x的值代入，计算求值即可；
（3）把x的值代入，计算求值即可．
【详解】（1）解：把x＝0，代入二次根式得：
＝；
（2）解：把x＝2，代入二次根式得：
＝＝＝3；
（3）解：把x＝﹣，代入二次根式得：
＝＝2；
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题关键．
16．
【分析】此题考查非负数的性质，立方根和绝对值，解题关键在于掌握非负数的性质．根据非负数的性质，求出，的值，代入即可得出结果．
【详解】解：，
，，
解得：，，
，
的立方根是，
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的化简，涉及平方根和立方根的定义等知识，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义．
（1）首先计算出被开方数，然后再开方即可；
（2）先开方，然后计算加减即可
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
18．2
【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，以及一元一次方程的解法，熟记概念并列出方程是解题的关键．根据平方根求出，由立方根求出，然后代入即可求出答案.
【详解】解：的平方根是
，；
的立方根是2
，
∴，
∴；
，
的算术平方根为．
19．
【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．利用进行化简即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
20．肇事汽车的车速是
【分析】本题主要考查了算术平方根在实际中的应用，最简二次根式，正确理解题意是解题的关键．
直接用题目中速度公式进行计算即可得答案．
【详解】解：将代入，
得，
答：肇事汽车的车速是．
21．(1)从抛出到落地所需时间是；
(2)所抛物体下落的高度是．
【分析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式是解题的关键；
（1）由题意可把代入公式进行求解即可；
（2）把代入公式进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入公式得：；
答：从抛出到落地所需时间是；
（2）解：把代入公式得：，
解得：；
答：所抛物体下落的高度是．
22．（1），（2）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，立方根，化简绝对值，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
（1）先算乘方以及化简绝对值，然后运算乘法，最后运算加减法，即可作答．
（2）先算立方根，再运算加减法，即可作答．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
23．(1)，，，
(2)
【分析】本题考查了非负数的性质、平方根的定义、绝对值的意义、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据非负数的性质即可求出，，根据平方根的定义即可求出，再根据绝对值的意义即可得出；
（2）将（1）中各个字母的值代入所求代数式计算即可得解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，，
∵正数的平方根分别是和，
∴，
解得：，
∵是绝对值最小的数，
∴；
（2）解：由（1）可得，，，，
．
24．（1） （2）见解析 （3）或
【分析】（1）按照进行求解；
（2）设成对数个位、百位数字为，十位、千位数字为，然后根据定义成对数的数值进行整理后可以得到解答；
（3）可设，则由题意可以用、表示出，再根据题意由完全平方数的意义可以得到结果．
【详解】解：（1）由题意可得：
，
，
故答案为：；
（2）设某成对数个位、百位数字为，十位、千位数字为，则其值为：
，
，
、为整数，
为整数，
任意成对数能被整除；
（3）设，则：
，
，
，
由题意可得：
，
，
，
，，
，
，
，
由题意可得：或，
即或，
，
或．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，通过阅读材料搞清新定义的概念及运算是解题关键．
25．(1)
(2)
(3)①1；②6
【分析】本题考查了二次根式的化简求值的知识，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化的知识，掌握以上知识是解答本题的关键．
（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化，然后合并二次根式即可；
（3）先分母有理化得到，移项后再平方得到，再把原式化简变形为，接着利用整体代入法计算得到原式，再应用同样方法计算即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：原式
；
（3）解：①∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴
；
26．(1)
(2)
【分析】本题考查分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．
（1）按照分母有理化和应用平方差公式分解分子两种方法，对原式进行化简即可；
（2）分母有理化，按照运算法则，进行二次根式的混合运算即可．
【详解】（1）解：
；
．
（2）解：
．