湖北省荆州市2026届高三九月起点考试数学试题（含答案）

湖北省荆州市2026届高三九月起点考试
数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4.考试结束后，请将答题卡上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知正方形的边长为1，是的中点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知等比数列中，，，则（ ）
A. 16 B. 16或 C. 32 D. 32或
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 一个锐角三角形的三边长成等差数列，则该三角形的最小内角余弦值的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某班10名同学的某次测验成绩为：55，62，65，68，69，70，70，75，80，100．则下列说法正确的有（ ）
A. 这组数据的众数是70 B. 这组数据的中位数是70
C. 这组数据的平均数小于70 D. 这组数据的平均数大于70
10. 已知连续型随机变量，设函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 是在定义域上的增函数 B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称 D. 的图象位于两条直线，之间
11. 圆柱的底面在水平面上，底面半径为1，高为4．与圆柱底面成45°角的平面截圆柱所得的截面为椭圆，截面上的最低点到下底面的距离为1，则下列说法正确的有（ ）
A. 圆柱体的表面积为
B. 圆柱体夹在截面与下底面之间部分的体积为
C. 圆柱侧面夹在截面与下底面之间部分的面积为
D. 截面椭圆的离心率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数，则______．
13. 双曲线的两条渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为______．
14. 在正方体的8个顶点和6个面的中心（共14个点）中任取4个点，以这4个点为顶点可构成四面体的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列满足，且．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．
16. 在长方体中，已知，，，点，分别在棱，上，且．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 已知函数，．
（1）若，讨论函数在上的单调性；
（2）若，当时，恒成立，求的最大值．
18. 在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织，，，共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下：
第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者（记为）进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者（记为）进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：决赛，若获胜则比赛结束，获得冠军，获得第2名；若获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名．已知队战胜其他3支队伍的概率均为．且各场比赛互不影响．
（1）求队全胜夺冠的概率；
（2）设队在整个赛事中参赛场次为随机变量，求的分布列及数学期望．
19. 已知焦点在轴上的椭圆，点，是椭圆上的两点，且位于轴上方，为轴上一点，为坐标原点．
（1）当点在轴上，，且的面积为时，求椭圆的离心率；
（2）若点在第一象限，，分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线，分别与轴和轴交于点，．记，的面积分别为、，若为定值2，求椭圆的标准方程；
（3）对于（2）所求的椭圆，是否存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
湖北省荆州市2026届高三九月起点考试
数学参考答案
1. D
2. C
3.A.
4. B.
5. A
6. A.
7. D
8. B.
9. AD．
10. ACD.
11. BCD.
12. .
13. 2
14. .
15. （1）由，
得.
又，故数列是以1为首项，以1为公差的等差数列.
（2）
由（1）可知：，，故；
，
，
两式相减，得
，
，
，
；
故.
16.
（1）连接，
因为且，
所以四边形为平行四边形，
所以且，
又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，
则有，
令，则，所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17. （1）单调递增；
当时，，求导得，
令函数，求导得，
则函数在上单调递增，，即，当且仅当时取等号，
当时，，所以函数在上单调递增.
（2）3
当时，不等式恒成立，
令函数，求导得，
令函数，求导得，
而，则，函数在上单调递增，
则，，
函数在上单调递增，，则，
而，即，因此，又，
所以的最大值为3.
18. （1）
由队全胜夺冠，即队在所有参加的比赛中均获胜，
所以队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜，
所以队全胜夺冠的概率为．
（2）分布列见详解；
依题意可得随机变量的可能取值为2，3，4，5，
若，即队在第一轮，第二轮均失败，
所以，
若，队在整个赛事中参赛场次有三种情况：
①队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜，其概率为；
②队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮失败，其概率为；
③队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮失败，其概率为，
所以，
若，队在整个赛事中参赛场次有三种情况：
①队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为；
②队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮失败，加赛一场，其概率为；
③队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为，
所以，
若，队在整个赛事中参赛场次有两种情况：
①队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为；
②队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为，
所以，
所以的分布列为：
2 3 4 5
故的数学期望为．
19. （1）
由题意知，
由的面积为，得，则，
而，故，
所以椭圆的离心率为；
（2）
设，由题意知，
则直线的方程为：，令，则，
即得，
直线的方程为：，令，则，
即得，
故，
即，即得，
则，
又，故，
即，
故椭圆的标准方程为；
（3）存在，
假设存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，
由题意知，直线的斜率存在，设其方程为，设，
联立，得，
由，得，
则，
，
故且，故，
当时，且，则，
此时，满足题意；
当时，的中点为，又，
故，则，
则，
则，
即，
结合，则，
则，故，
故;
综合上述可知存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，.
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