江苏省无锡市第一中学2026届高三上学期9月测试数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省无锡市第一中学 2026届高三上学期 9月测试数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 为虚数单位，若 (1 + ) = 2 + 4 ，则| | =( )
A. 2 10 B. 10 C. 4 2 D. 2 2
2.已知向量 = (0,1) 3， = (1, ).若向量 + 在向量 上的投影向量为2 ，则 =( )
A. 1 B. 1 32 C. 1 D. 2
3.设 > 0， > 0，则“lg( + ) > 0”是“lg( ) > 0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4 3π.已知 + = 4 , tan tan = 7，则 cos( ) =( )
A. 2 2 2 2 3 23 B. 3 C. 4 D. 4
5.若两个正实数 ， 满足 4 + = 2 ，且不等式 + 4 <
2 有解，则实数 的取值范围是( )
A. 1 < < 2 B. < 2，或 > 1 C. 2 < < 1 D. < 1，或 > 2
6.若 = sin1 tan1， = tan1 cos1， = cos1tan1，则 ， ， 的大小关系是( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
7.已知等差数列{ }的前 项和 ，公差 ≠ 0

， 1 ≤ 1.记 1 = 2， +1 = 2 +2 2 ， ∈
，下列
等式不可能成立的是 ( )
A. 2 = 2 24 2 + 6 B. 2 4 = 2 + 6 C. 4 = 2 8 D. 4 = 2 8
8.在 +3 中，角 , , 的对边分别是 , , ，且 2 cos = ，则 的最小值为( )
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = cos( + )( > 0, > 0,0 < < )的部分图象如图所示，令 ( ) = ( ) cos2 ，
则( )
A. ( ) 的一个对称中心是( 12 , 0)
B. ( ) 的对称轴方程为 = 6 + 2 ( ∈ )
C. ( )在[0, 2 ]
1
上的值域为[ 2 , 1]
D. ( ) 的单调递减区间为[ 6 , + 3 ]( ∈ )
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10.已知定义域为 R 的偶函数 ( )满足 ( + 2) = ( )，当 ∈ (1,2]时 ( ) = 2 2，则下列结论正确
的有( )
A. ( 1) = 0 B. ( )的图象关于点(3,0)成中心对称
C. (2024) > (2025) D. 1 2+1 ≤ 2
11.已知函数 ( ) = e2 2( 为常数)，则下列结论正确的有( )
A.当 = 1 时， ( ) ≥ 0 恒成立
B.若 ( )有 3 个零点，则 的取值范围为 e2, + ∞
C.当 = 1 12时. ( )有唯一零点 0且 1 < 0 < 2
D.当 = e2时， = 1 是 ( )的极值点
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知函数 ( ) = 12 1 ( ∈ )为奇函数，则实数 的值为 ．
13 sin 20 = sin20

.若 tan20 3，则 cos 2 + 140 = ．
14.设等差数列 的前 项和为 ， = 2， +1 = 0， +2 = 3.则正整数 的值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 2 2
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， + = 2sin sin ，已知 sin ．
(1)求 的大小；
(2)若 面积为 6 3 49，外接圆面积为 3 π，求 周长．
16.(本小题 15 分)
在平行四边形 中， = 2， = 1， ， 分别为 ， 的中点，点 在线段 上运动．
(1)当 为 中点时，设 = + ( , ∈ )，求 + 的值；
(2)若∠ = 60°，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = log ( ) + log ( 2 )( > 0 且 ≠ 1).
(1)若对于任意的 ∈ [3 , 4 ]，都有 ( ) ≤ 1，求实数 的取值范围；
(2) (1) , ∈ 5 在 的条件下，是否存在 2 , + ∞ ，使 ( )在区间[ , ]上的值域是 log , log ？若存在，求
实数 的取值范围：若不存在，说明理由．
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18.(本小题 17 分)
已知数列 , , 中， 1 = 1 = 1 = 1, =

+1 , +1 = ( ∈
)．
+2
(Ⅰ)若数列 为等比数列，且公比 > 0，且 1 + 2 = 6 3，求 与{ }的通项公式；
(Ⅱ)若数列 为等差数列，且公差 > 0，证明： 1 + 2 + +
1
< 1 + ．( ∈ )
19.(本小题 17 分)
1
已知函数 ( ) = ln , ( ) = + 2ln +
1
．
(1)当 = 1 时，求 ( )的单调区间；
(2)若 ( ) < + 1 在(1, + ∞)上恒成立，求实数 的取值范围；
(3)帕德近似( )是数学中常用的一种将三角函数 指数函数 对数函数等“超越函数”在
3 2 3
一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在 = 1 附近，可以用 2+4 +1近似表示 ln .当 > 0 且 ≠
2
1 时，试比较 ln 3 3与 2+4 +1的大小．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 12/ 0.5
13. 78
14.4
2 2 2
15. (1) ∵ + = 2sin sin 2 【详解】 sin = ，
∴ = 2 + 2 2，
2+ 2 2∴ cos = 12 = 2，
∵ ∈ 0, π ，
∴ = π3．
(2)设 外接圆的半径为 ，
49 7 3
由 2圆 = π = 3 π，得 = 3 ，

因为sin = 2 =
14 3
3 ，解得 c = 7，
∵ 1 = 2 sin = 6 3，
所以 = 24，
又 2 = 2 + 2 = ( + )2 3 ，
所以 49 = ( + )2 72，
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故 + = 11，
所以 周长 + + = 18．
16. 1 1 1解：(1)当 为 中点时， = ( + ) = ( + + 2 2 2 ) =
1 3
2 + 4 ，
= 1
∴ 2 + = 5， ．
= 3 44
(2)设 = ， ∈ [0,1]，
∴ = + (1 ) = ( + 1 ) + (1 ) 2 =
+ (1 ) 2 ，
= + 1 2
，

∴ = [ + (1 )
1
2 ]·(
+ 2
)
1
= × 4 + ( + )

2 2 4 + (1 2 ) 1
= 2 + ( 3 14 + 2 ) 2
1 + 1 = 9 3 3 152 2 4 + 2 ∈ [ 2 , 4 ].
17.【详解】(1)对于任意的 ∈ 3 , 4 ，都有 ( ) ≤ 1，等价于 ( )max ≤ 1，
∵ ( ) = log ( )( 2 ) = log 2 3 + 2 2 ( ∈ [3 , 4 ])，
3 2 2
设 = 2 3 + 2 2 = 2 4 ∈ 3 , 4 ，
则 在[3 , 4 ]上是增函数，下面按照 = log 的单调性分类讨论：
1
当 0 < < 1 时， ( )在[3 , 4 ]上递减，则 ( )max = (3 ) = log 2 2 ≤ 1，解得2 ≤ < 1，
当 > 1 时， ( )在[3 , 4 ]上递增，则 ( )max = (4 ) = log 6 2 ≤ 1，解得 0 < ≤
1
6与 > 1 矛盾，
故舍去；
1
综上，2 ≤ < 1．
(2) ∵ 12 ≤ < 1，∴ ( )
5
在 2 , + ∞ 上递减，
( ) = log
∴
( )( 2 ) =
( ) = log ，即 ( )( 2 ) =
,
即关于 方程( )( 2 ) = 5 在 2 , + ∞ 上有两个不等的实根，
设 ( ) = ( )( 2 ) = 2 (3 + 1) + 2 2，
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1 1
2 ≤ < 1 2 ≤ < 1
Δ = (3 + 1)2 8 2 > 0 2 + 6 + 1 > 0
则 3 +1 > 5
，即 < 1 ∈ ．
2 2 2
5 > 10 2 > 0 3
综上，不存在这样的 ， 满足条件．
18.【详解】( )依题意 1 = 1, 2 = , 3 = 2，而 1 + 2 = 6 3，即 1 + = 6 2，由于 > 0
1
，所以解得 = 2，
所以 =
1
2 1．
1
1
所以 +2 = 2 +1，故 =
2 1
+1 1 = 4 ，所以数列 是首项为 1，公比为 4 的等比数列，所以 = 4 1．
2 +1
所以 1 +1 = = 4 ( ≥ 2, ∈ ).
1
所以 = + 1 + 4 + + 4 2 = 4 +2 1 3 ，又 = 1， 1 = 1 符合，
4 1
故 +2 = 3 ．
( )依题意设 = 1 + ( 1) = + 1
+1 = ，由于 ， +2

所以
1
= ≥ 2, ∈ ， 1 +1
= 1 3 故 2 = 1 2 3 1
2 1 1
1 2 2 1 +1 1 4 3
= 1 2 = 1+ 1 1 = 1+ 1 1 1 ( ≥ 2)． +1 +1 +1
= 1 1 + 1 1 1 +1 +1 又 1 ，而 1
=
2
× 1
= ×
2 1×( +1)
= 1，
1 1 1
故 = 1 + ( ≥ 1) +1
所以 1 + 2 + + = 1 +
1 1

1 + 1 1 1 + +
1
1 2 2 3 +1
= 1 + 1 1 1 ． +1
> 0, = 1 1 1 1由于 1 ，所以 +1 > 0，所以 1 + 1 < 1 + ． +1
即 1 + 2 + … +
1
< 1 + ， ∈
．
【点睛】本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题．
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19.【详解】(1)当 = 1 时，函数 ( ) = 2ln + 1 的定义域为(0, + ∞)，
求导得 ′( ) = 2 1
1 1 2
2 = (1 ) ≤ 0，
所以函数 ( )的递减区间为(0, + ∞)，无递增区间．
(2) ∈ (1, + ∞) ( ) < + 1 1 ln 1任意 ，不等式 ln < + 1 < ln + + 恒成立，
令函数 ( ) = ln + ln 1 ′ + , > 1，求导得 ( ) =
1 1 ln 1 ln
+ 2 2 = 2 ，
令函数 = ln , > 1，求导得 ′ = 1 1 > 0，函数 = ln 在(1, + ∞)上单调递增，
当 > 1 时， ln > 1 ln1 = 1， ′( ) > 0，则函数 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
因此 ( ) > (1) = 1， ≤ 1，所以实数 的取值范围是 ≤ 1．
2 2 4
(3)令函数 ( ) = ln 3 3 ′ 1 12 +12 +12 ( 1) 2+4 +1，求导得 ( ) = ( 2+4 +1)2 = ( 2+4 +1)2 ≥ 0，
当且仅当 = 1 时取等号，则函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，而 (1) = 0，
则当 > 1 时， ( ) > 0；当 0 < < 1 时， ( ) < 0，
2 2
所以当 > 1 时，ln > 3 3 2+4 +1；当 0 < < 1 时，ln <
3 3
2+4 +1．
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