天津市实验中学滨海育华学校2025-2026学年高三上学期暑期验收（开学）考试数学试卷（图片版，含答案）

天津市实验中学滨海育华学校 2026 届高三上学期暑期验收（开学）考
试数学试卷
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
1.已知集合 = ∈ 2 < ≤ 3 ， = ∈ 2 ≤ 16 ，则 ∩ =( )
A. 1,0,1,2,3 B. 4 ≤ ≤ 4 C. 0,1,2,3 D. 2 < ≤ 4
2.设 ∈ ，则“ 2 + 2 > 0”是“| 2| < 1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知函数 = ( )的图象如下，则 ( )的解析式可能为( )
A. ( ) = 1 | | B. ( ) = | | 1 C. ( ) =
| |
1 2 D. ( ) =
| |
2 1
4.已知函数 = ( )是定义在 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A. = | | B. = 2 C. = ( ) D. = ( ) +
5.已知 = 0.60.4, = log0.60.4, = log0.64，则 , , 的大小关系是( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.下列说法中，正确的是( )
A.经验回归直线 = + 是由成对样本数据 , ( = 1,2, , )中的两点确定的
B.如果两个变量的相关程度越强，则相关系数 越接近于 1
C.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D.根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 2 ≈ 6.852，根据小概率值 = 0.005 的 2独立性检验：
0.005 = 7.879，可判断 与 有关联，此推断犯错误的概率不超过 0.5%
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7.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是( )
A. 4 < 2 < 0 < 3 < 1 B. 2 < 4 < 0 < 1 < 3
C. 4 < 2 < 0 < 1 < 3 D. 2 < 4 < 0 < 3 < 1
8.某次期末数学考试共 9 道单项选择题(每个题有 4 个选项)，某同学全都不会做，记该同学做对的题目数
1
为 ，且 服从二项分布 9, 4 ，则以下说法错误的是( )
A. ( ) = 94 B. ( ) =
27
16
7 2
C. (4 + 1) = 10 D. ( = 2) = C2 1 39 4 4
9.经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中 9 环的概率为 0.7，此运动员两次均击中 9 环的概率
为 0.56，则在第一次击中 9 环的条件下，第二次也击中 9 环的概率，( )
A. 0.392 B. 0.56 C. 0.8 D. 0.9
10 1.设 为随机变量，若 ～ (6, 2 )，当 ( < + 4) = ( > 5)时， 的值为( )
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
11 1 1.已知函数 ( ) = 3 23 3 + 8 ，若对任意 ∈ [0,4]， 3 ≥ ( )恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. [7, + ∞) B. 19 , + ∞ C. 223 3 , + ∞ D.
17
3 , + ∞
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′
12.已知函数 ( )与其导函数 ′( ) ( )+ ( ) ln 的定义域均为 ，且 1 > 0，则 (2 ) = ( )e
2 2，不等式 e2 <
(2)
的解集是( )
A. 0, e2 B. 1, e2 C. e, e2 D. e2, + ∞
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
13 1.已知命题 ： ∈ ，2 + 2 ≥ 2，则 是
2
14.函数 = ( + 4)0 1 1的定义域是 ．
4
15 3 2.在 3 的展开式中，常数项为 ．
16.哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、两个结界兽、四大龙王共 8 个人物手办，小明随机购买 3 个盲盒(3
个盲盒内人物一定不同)，求在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，四大龙王有且仅有一位的概率为 ；
记小明抽到的龙王盲盒个数为 ，则 ( ) = ．
17.小轩操场跑步，一周 2 次，一次跑 5 圈或 6 圈．第一次跑 5 圈或 6 圈的概率均为 0.5，若第一次跑 5 圈，
则第二次跑 5 圈的概率为 0.3，跑 6 圈的概率为 0.7；若第一次跑 6 圈，则第二次跑 5 圈的概率为 0.6，跑 6
圈的概率为 0.4.小轩一周跑 11 圈的概率为 ；若一周至少跑 11 圈为运动量达标，则连续跑 4 周，记合
格周数为 ，则 的期望 ( ) = ．
18.已知函数 ( ) = log1( 2 + 4 3)的单调递增区间为 ．
2
19 1 2.若随机变量 的分布列如表所示( ≠ 0)，则 + 的最小值为 ．
0 1 2 3
1 16 3
| | 2, ≤
20.函数 ( ) = 2 + + ( ), > ，若 ( )恰有三个零点，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题：本题共 4 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.2025 年蛇年春晚舞台上，由中国某科技企业制造的人形机器人 扭秧歌表演《秧 》成为一
大亮点，引发世界热议，这一节目完美的展示了中国的科技进步与文化自信，更为人形机器人的创新发展
注入新的动力，而谐波减速器作为人形机器人的核心部件，其重要性不言而喻.某企业为了测试某型号谐波
减速器运行情况必须对其中三项不同运行指标甲、乙、丙进行通过量化检测：假设该谐波减速器运行情况
2 2 1
的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为3 , 3 , 2指标甲、乙、丙检测合格分别记 4 分、2 分、4 分，
若某项指标不合格，则该项指标记 0 分，各项指标检测结果互不影响．
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(1)求该型号谐波减速器运行情况量化得分不低于 8 分的概率；
(2)记该型号谐波减速器运行情况的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 ，求 的分布列与数学期
望．
22.某社团共有 12 名成员，其中高一男生 2 人，女生 4 人，高二男生 3 人，女生 3 人．现从中随机抽选 2
人参加数学知识问答．
(1)若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率；
(2)若恰好抽选了 1 名男生与 1 名女生，求这 2 人都是高二学生的概率；
(3)若恰好抽选了 1 名高一学生与 1 名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为 ，求
的分布列与均值 ( )．
23.已知函数 ( )的导函数为 ′( )，且满足 ( ) = 2 ′(1) + ln ．
(1)求 ′(1)及 (1)的值；
(2)求 ( )在点 = 1 处的切线方程．
24.已知函数 ( ) = e 3．
(1)当 = 1 时，求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程；
(2)若 ( )有极小值，且极小值小于 0，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. ∈ ，2 + 12 < 2
14.( ∞, 4) ∪ ( 4,1) ∪ (1, + ∞)
15. 96
16. 8 315 ； 2/1.5
17.0.65/1320 ；3.4
18.[2,3)
19.6 + 4 2
20. 2,2 2 3 ∪ (2, + ∞)
21.解：(1)设甲通过量化检测为事件 ，乙通过量化检测为事件 ，
丙通过量化检测为事件 ，得分不低于 8 分为事件 ，
由已知 ( ) = 23， ( ) =
2 1
3， ( ) = 2，
由题， ( ) = ( ) + = 2 × 2 × 13 3 2 +
2 1 1 1
3 × 3 × 2 = 3；
(2)由题可得随机变量 的可能值为：0,1,2,3．
则 ( = 0) = = 1 1 1 13 × 3 × 2 = 18；
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( = 1) = + + = 23 ×
1 × 1 + 1 × 2 × 1 1 1 1 53 2 3 3 2 + 3 × 3 × 2 = 18；
( = 2) = + + = 13 ×
2 1 2 1 1 2
3 × 2 + 3 × 3 × 2 + 3 ×
2 1 4
3 × 2 = 9；
( = 3) = ( ) = 2 × 2 1 23 3 × 2 = 9．
则分布列为：

0 1 2 3
( ) 1 5 4 2
18 18 9 9
则 ( ) = 0 × 1 + 1 × 5 4 2 33 1118 18 + 2 × 9 + 3 × 9 = 18 = 6．
22. (1) 2+3 5解： 若逐个抽选，恰好第一个抽选的是男生的情况为男生所占人数总比例，即概率为 = 12 = 12．
(2)记事件 为恰好抽选了 1 名男生与 1 名女生，事件 为这 2 人都是高二学生.由题知男生总共 5 人，女生
总共 7 人.
( ) = C1C1 = 9， ( ) = C13 3 5C17 = 35，
( ) 9
由条件概率可得 ( | ) = ( ) = 35．
(3)因为恰好抽选了 1 名高一学生与 1 名高二学生，可能的情况包含“1 名高一男学生与 1 名高二男学生”、
“1 名高一男学生与 1 名高二女学生”、“1 名高一女学生与 1 名高二男学生”、“1 名高一女学生与 1
名高二女学生”．
抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为 ，则 的可能取值为 0,2．
1 1 1 1
( = 0) = C2C3+C4C3 = 18 = 1；
C1 16C6 36 2
( = 2) = C
1C12 3+C
1
4C
1
3 = 18 1
C16C
1
6 36
= 2．
则 的分布列为
0 2
1 1
2 2
则均值 ( ) = 0 × 12 + 2 ×
1
2 = 1．
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23.解：(1) 1由题设， ′( ) = 2 ′(1) + ，故
′(1) = 2 ′(1) + 1，可得 ′(1) = 1，
所以 (1) = 2 ′(1) = 2．
(2)由(1)知：切点为(1, 2)且切线斜率为 ′(1) = 1，
所以切线方程为 + 2 = ( 1)，即 + + 1 = 0．
24.解：(1)当 = 1 时，则 ( ) = e 1， ′( ) = e 1，
可得 (1) = e 2， ′(1) = e 1，
即切点坐标为 1, e 2 ，切线斜率 = e 1，
所以切线方程为 e 2 = e 1 ( 1)，即 e 1 1 = 0．
(2)解法一：因为 ( )的定义域为 ，且 ′( ) = e ，
若 ≤ 0，则 ′( ) ≥ 0 对任意 ∈ 恒成立，
可知 ( )在 上单调递增，无极值，不合题意；
若 > 0，令 ′( ) > 0，解得 > ln ；令 ′( ) < 0，解得 < ln ；
可知 ( )在 ∞, ln 内单调递减，在 ln , + ∞ 内单调递增，
则 ( )有极小值 ln = ln 3，无极大值，
由题意可得： ln = ln 3 < 0，即 2 + ln 1 > 0，
1
构建 ( ) = 2 + ln 1, > 0，则 ′( ) = 2 + > 0，
可知 ( )在(0, + ∞)内单调递增，且 (1) = 0，
不等式 2 + ln 1 > 0 等价于 ( ) > (1)，解得 > 1，
所以 的取值范围为(1, + ∞)；
解法二：因为 ( )的定义域为 ，且 ′( ) = e ，
若 ( )有极小值，则 ′( ) = e 有零点，
令 ′( ) = e = 0，可得e = ，
可知 = e 与 = 有交点，则 > 0，
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若 > 0，令 ′( ) > 0，解得 > ln ；令 ′( ) < 0，解得 < ln ；
可知 ( )在 ∞, ln 内单调递减，在 ln , + ∞ 内单调递增，
则 ( )有极小值 ln = ln 3，无极大值，符合题意，
由题意可得： ln = ln 3 < 0，即 2 + ln 1 > 0，
构建 ( ) = 2 + ln 1, > 0，
因为则 = 2, = ln 1 在(0, + ∞)内单调递增，
可知 ( )在(0, + ∞)内单调递增，且 (1) = 0，
不等式 2 + ln 1 > 0 等价于 ( ) > (1)，解得 > 1，
所以 的取值范围为(1, + ∞)．
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