数 学 试 卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填
写清楚.
2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150 分，考试用时 120 分钟.
一、单项选择题 (本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知集合 集合 , 则集合 A∩B 的元素个
数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 设 , 则 是 的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.一个数阵有 m 行 6 列，第一行的六个数互不相同，其余行都由这六个数以不同的顺序组成.
如果要使任意两行的顺序都不相同，则 m 的最大值是
A. 119 B. 120 C. 719 D. 720
4.已知圆 C: 与双曲线 的渐近线相切，则该双曲线
的离心率是
A. B. C.5 D.
5. 设 为函数 的极小值点，则
A. 3 B. 5 C. 3 或 5 D. - 2
6. 已知 为异面直线, m⊥平面α, n⊥平面β, 若直线 l 满足 , 则下列说法一定错误
的是
A.α∩β=l B.α与β相交，且交线平行于 l
C. α⊥β, 且交线平行于 l D.α∥β, l∥α
7. 设 分 别 是 函 数 和 的 零 点 ， 其 中 ， 则
的取值范围是
A. (81, +∞) B.(82, +∞) C.(83, +∞) D. (84, +∞)
8.已知函数 若方程 有且仅有 5 个不
同实数根，则实数 m 的取值范围是
二、多项选择题 (本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有
多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分)
9. 函数 在一个周期内的图象如图 1 所示, 则下
列说法正确的是
A. 函数 的值域为[-2,2]
B.该函数的解析式为
是函数 图象的一个对称中心
D.函数 )的减区间是
10. 已知奇函数 的定义域为 R, , 则下列说法正确的是
A. 的图象关于点( 对称
C. 的最小正周期为 6
D. 在[0,6]上至少有 9 个零点
11.在直角坐标系 中过抛物线 的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交
其准线 l 于点 C，则下列说法正确的是
B.若直线 AB 倾斜角为 30°，线段 AB 的中点的横坐标为 7，则
C. 若 F 是线段 AC 的中点, |AF|=4, 则线段 AB 的长为
D. 以线段 AB 为直径的圆与 l 的公共点为 M, 若∠AMF=60°, 则∠MFO=30°
三、填空题 (本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 曲线 在点 处的切线方程是 .
13. 已知正实数 满足 , 则 2m+n 的最小值为 .
14. 如图 2, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 4 的正方
形, PA=PB=4, PC=PD=2 ， 则该棱锥的体积为
四、解答题 (共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
已知数列{an}中，
(1) 证明: 数列{nan}为等差数列;
(2)给定正整数 n，设函数. 求 .
16. (本小题满分 15 分)
如图 3，在四面体；S-ABC 中， D 是 SC 的中点,E 是 AD 的中点.点 F 在线段
BS 上，且 BS=4BF.
(1) 求证:
(2) 若 ，求平面 SEF 与平面 SBC 的夹角的正弦值.
17. (本小题满分 15 分)
已知椭圆 C: 的右焦点为 F(2,0), 点 在椭圆 C 上.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2) O 为坐标原点, 设点 , 过 F 作 PF 的垂线交椭圆于 A, B 两点.求 面
积的最大值.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1) 当 a=1 时，求 的单调区间；
(2) 若 在| )上单调递增，求 a 的取值范围；
(3)若对任意 ，函数 图象恒在 图象的上方，求证： .
19. (本小题满分 17 分)
某校生物科技班开展“核酸自组装”实验，记录 200 名学生在限制性末端配对实验中的操作表
现：
操作评级
组别 合计
优 良
男生 35 100
女生 45
合计 200
(1)完成列联表，依据α=0.01 的独立性检验，能否认为学生组别与操作评级存在关联
(2)在后续的“环状核酸构建”实验中，需处理 条线性核酸片段：每条片段有两个
末端；每次随机选取 2 个未配对的末端进行连接；连接后可能形成一个或多个环状结构，所
有核酸片段末端连接完毕视为结束.
(i) 当 n=3 时，记随机变量 X 为最终形成的环状结构数，求 X 的分布列与数学期望；
()求证：所有 核 酸 片 段 连 接 成 一 个 完 整 环 状 结 构 的 概 率为
附： 其中 .
α 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828■■■■口■口口
数学评分细则
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
题号
1
2
3
6
7
8
答案
C
B
D
A
D
B
D
【解析】
1.如图1，结合图形知，集合A∩B有2个元素，故选C.
2.不等式x2-5x<0的解集A={x0
1的解集
B={x01”的必要不充
图
分条件，故选B
3.六个互不相同的数的全排列共有6！=720个，为使m行中的任意两行都不重复，则需
m≤720，m的最大值为720，故选D.
4.由双曲线方程得一条渐近线为y-bx,即x-y=0；由圆C方程得圆心为C0,5),半
径=l,则圆心到渐近线的距离d=5a-50,由50=1，得e=仁=5，故选C,
b2+a2 c
5.f"(x)=a(x-a)2+2(x-2)(x-a】=a(x-a3x-a-4),由f'(3)=0,得a(3-a)5-a)=0,
又a≠0，.a=3或5.当a=3时，f'(x)=3(x-3)3x-7),x=3为函数f(x)的极小值点；
当a=5时，f'(x)=15(x-3(x-5),x=3为函数f(x)的极大值点，故选A.
6.若x∥B,则m∥n,与m,n为异面直线矛盾，故D错误，故选D.
0,即a=,01,9
关于y对格，y的图象也关于y对称，小点(》与心
关于y=x对称，
x=1,x+815=上+81x,:1+81x,在(1，+0)上止单调递增，1+81x,的
取值范围为(82，+∞)，故选B。
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8.令f(x)=t,有3-m2+2mt=t2,即[t-(m-V3)][t-(m+√3】=0，
e2-1
解得5=m-√3或5，=m+5.作出f()的图象，如图2，方程
3-m2+2m(x)=f(x)有且仅有5个不同实数根，则由图得
0≤m+V5≤e2101-√5≤m≤e2-V5-1
图2
或
m=√5
即5-V5二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)》
题号
9
10
11
答案
AD
ABD
ACD
【解析】
9由图知A=2,值域为-2,2小故A正确：由x-子-牙，得T=3,六0号
闭=2sn居+p,代入（年2得mg+p小-1，六君+p-受+2ake.又
03
x=-π+3
e ，放C错误；由-贺+2版≤号+骨≤-子+2kate五，得
22
2
32
3淑-≤≤3a-平ke,故D正确，放选AD,
4
10.由+3)=--，得f的图象关于点[侵0小对称，放A正确：由f)-)】
得
=0,故B正确；又f(x)是奇函数，∴.f(x+3)=f(x),∴.f(x)的最小正周
期不为6，故C错误；.f(0)=f(3)=f(6)=0,f(5)=f(2)=0,f(4)=f1)=f(-2)=
-f(2)=0,
)得*
=0,f()在0,6上至少有9个零点，故D正
确，故选ABD
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