2026届高考数学复习专题 ★★——高考中的距离问题复习课 讲义

2026届高考数学复习专题 ★★
——高考中的距离问题复习课
1.教学内容解析
1.1新旧教材距离相关内容对比
1.在高中数学中，距离是学生学习许多数学概念、研究问题的基础和关键，同时，也是实际问题求解中的重要工具。距离用于计算线段、直线、平面、空间图形之间的距离、角度等量，空间几何体中的面积、体积的高。多边形的边长、周长等问题的实质也是距离问题。在解析几何中距离不仅是圆锥曲线定义的关键信息，还是判断一些图形位置关系的关键量。
2.在新版教材的选择性必修一的第一章空间向量与立体几何中，增加了空间向
量基本定理及表示，另外设计了用空间向量来研究距离问题。
3.教材通过类比的方法设计了用向量探究点到直线、点到平面和两个平行平面的距离的一系列探究活动。
4.相比老教材，新教材的编写提高了学生对距离的理解要求，增加了大量的习题，距离问题难度明显增加，在高考中的地位也有所提高。特别是人教版新教材（A版）中提出了与异面直线都垂直且相交的直线问题，为学有余力的学生预留了探究异面直线之间距离的空间，让这一部分学生能自己发现问题、提出问题并解决问题．距离问题的解法也十分灵活，根据具体问题可以选择几何法、代数法、向量法等，这既是新高考重点考查的内容，也是高中数学学习的难点。
1.2教学内容
距离是一种重要的几何度量，具有重要地位和广泛应用。在几何、拓扑和代数等多个数学领域中，距离作为度量对象之一被广泛研究和应用。高中阶段距离是教学的重点内容之一，距离的相关知识是 培养学生逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养的载体。
本节课的定位是距离的专题复习课，对象是高三A班学生，课程内容设置如下：
1.2.1 探寻距离概念的内涵，梳理从初中到大学的距离的定义。在探寻定义后让学生认识到:两点之间的距离其实就是两点之间所有连线中最短的连线；点到直线的距离其实就是点与直线上各点连接的所有线段中最短的线段;两条平行线之间的距离其实就是一条直线上的任意一点到另一条直线的最短距离;点到平面的距离其实就是点与平面上各点连接的所有线段中最短的线段长度。这样,这些距离才是唯一确定的,才可以从定性走向定量。
1.2.2 点到直线的距离公式是广泛联系各种知识的一个纽带，通过探究不同的推导方法，促使学生用联系的观点看待问题，培养学生的多元联系表示的观念。同时突出几何直观与代数运算的融合，即通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强学生对数学整体性的理解。
1.2.3求异面直线的距离一直是距离问题的一个难点。通过归纳异面直线间的距离的计算方法，感悟类比、化归的数学思想，促进学生掌握基础知识、基本技能和基本思想方法，培养学生分析和解决问题的能力。通过编题活动，还让学生积累了基本数学活动经验，培养了学生发现和提出问题的能力。
1.2.4 组织学生回归教材进行距离问题的复习，引导学生对与历年典型高考题有关的教材上的例题、习题进行探源、比较和归纳。从几何方法（如体积法，定义法）、代数方法（如向量法、公式法）及常用数学思维方法（如转化法、最值法）等角度对求解点到平面距离一问题进行了较为全面深入的探讨，加强对“距离”的再认识，培养学生的直观想象和逻辑推理能力。
1.2.5 距离概念的拓展和应用——通过对曼哈顿距离的认识和研究，帮助学生掌握数学基本概念体系的建构过程、本质特征和应用价值，实现对概念的深刻理解、融会贯通和灵活运用，有效提高核心概念及其思想方法的复习效率。
1.3教学重点
1.梳理空间中关于“点、线、面”的位置关系中涉及距离的概念和主要方法。
2.探究课本中和高考试卷中体现"距离"概念内涵的试题，进行改编和探究，挖掘这类问题的解题思想和方法策略。
2.教学目标设置
1.通过对空间距离问题的系统梳理，既知其然，又知其所以然，使所学知识系统化、条理化，从而夯实根基；通过典型案例回归原点，学会分析、学会思考，达到归纳方法、领悟思想、提升关键能力与素养的目的。
2.经历知识再建构的过程，体会数形结合、化归等数学思想，形成专题复习观，积累专题复习经验。
3.教学中，将点面距离、线面距离、面面距离和异面直线距离等教学内容重组，从“问题”入手，引导学生真正探究、解答问题，再自己提出问题、解决问题。在此过程中，学生通过立足教材、回归课本、融通高考、推广探究，对教材内的距离概念深度覆盖和理解,领会知识本质和研究方法及时反思，形成自己的方法，提升数学素养。
3.学生学情分析
1.本节课的授课对象为湖北省襄阳四中高三(2)班学生，学生具有一定的自主探究与合作学习能力。
2.在新教材人教A版《普通高中教科书·数学必修第二册》第八章“立体几何初步”以及《普通高中教科书·数学选择性必修第一册》（以下统称“教材”）第一章“空间向量与立体几何”单元的新授课学习中，学生已经初步掌握求空间中点面距离、线面距离、面面距离和异面直线距离的基本方法，积累了研究空间距离的基本活动经验。
3.教材没有配备相应的例题和习题来巩固其他距离问题，这势必造成学生知识建构不完整，对于距离间的互相转化找不到确切的主线，不能形成方法链。
4.通过平时教学观察以及调查分析，发现学生关于“距离”内容的学习仍存在很多问题，比如：学生只是会解一些比较简单的“距离”题目，没有真正理解“距离”的概念，导致在学习较有难度的内容时困难重重，比如，异面直线的距离、与距离有关的最值问题。
5.通过分析近几年的全国卷可知，与“距离”有关的几何问题是高考的重要考点之一。然而在实际教学中发现，有些学生对知识只是简单的机械记忆，缺乏对知识的理解和分析能力。
3.1学情调研
1.设计距离问题的测试卷（附录1），从距离的概念和距离的计算两个方面进行调查，分别考查学生对概念的理解和距离的求解。
2.针对距离内容学习中的困惑和问题进行问卷调查。
3.2 教学难点
1.如何在距离问题中利用几何图形优化运算。
2.求解曼哈顿距离的最值问题。
4.教学策略分析
课程的立足主题教学设计，包含空间距离的定义性质、习题改编、常用方法、概念推广等全部复习课内容，课程容量和课程难度都很大。基于学生学情、研究方式的调研，课程采用项目式研究学习方案，推动学生学研一体、师生共研共学。
4.1课前充分开展学生活动，自主探究
此前学生已经进行小组合作形式的其他专题探究活动，每天在课前会有学生5分钟讲题活动，具备基本的GGB作图和PPT制作能力，这为学生独立探究、小组合作提供了基础知识、基本方法上的支持。
4.2利用多种信息技术手段辅助教学
合理运用多种信息技术手段可以提高教学效率，几何画板可以帮助学生直观感受动态变化过程中的不变量和不变关系，互联网可以查阅数学史料、生活情境、物理情境等，思维导图软件可以帮助学生建立知识框架，办公软件可以制作PPT、作业练习单等，手持音像设备可以录制音频、视频资料等。
4.3教师及时跟进指导
此前的学习中也曾多次进行过项目式研究学习的模式进行教学活动，学生对教师跟进指导的学习过程积累了一定的活动经验，学生对研究教材、研究高考真题进行归类复习比较熟悉，教师对关键节点、关键问题进行指导，使得学生的项目式研究学习可以协调有序的开展。
5.教学过程设计
师生活动1：对学情进行调查分析，形成专题研究学习小组
教师：距离产生美，距离也给我们的解题带来了困难。为了了解同学们关于距离内容的学习情况以及解题中存在的问题，我们从距离的概念和距离的计算两个方面设计了测试卷，考查大家对概念的理解和距离的求解。
通过测试结果的反馈和进一步对同学们的询问，我们发现大家的问题主要集中在求异面直线的距离、点到平面的距离转化，与距离有关的最值问题，距离的新定义题目等等。
设计意图：充分调研学情，选择合适的内容和分组进行教学活动，凸显学生的主体地位和教师的主导地位。
教师：考虑课前调研的结果，为了进一步探寻距离的本质，对教材内的距离概念深度覆盖和理解,领会距离问题的本质和研究方法，我们把教材中的距离复习问题划分为探寻距离内涵—推导距离公式—改编课后习题—梳理常用方法—距离的拓展和应用五个模块进行探究，来完成本次高考中距离问题的复习。
课前准备：
1.学生分组，选出各组的组长，确定各组研究内容。
2.教师对各个小组的项目式研究学习过程进行指导和要求。
3.小组确定PPT、几何画板文件、现场讲解等多种可以进行汇报的成果。
师生活动2：探寻距离内涵
教师：下面有请第一小组的同学分享他们的研究成果。
学生：大家好，我是第一小组的组长，我们课前对距离的内涵做了专题探究。我们对比了学过的初中教材和高中教材中有关距离的所有概念，我们发现这些距离的本质都是特殊情况下点与点的距离。
小组活动1：学生展示初高中教材中涉及距离的重要概念。
学生：我们还在周老师的指导下，查阅了阅读材料和大学的教材文献等，发现距离不局限于欧氏距离，距离可以被抽象为一个度量，只要满足正定性、对称性、三角不等式这三个条件，都可以成为距离。
小组活动2：学生展示大学教材中对距离的定义。
学生：由此，我们发现距离内容的联系如下图：
设计意图：提供探究学习的素材和机会，让学生对比教材内的距离与最短的联系，从而认识到:两点之间的距离其实就是两点之间所有连线中最短的连线 —— 线段的长度。再通过对大学教材里距离问题的拓展阅读和探究，统一距离概念的一致性，这些距离才是唯一确定的，从定性走向定量。培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象、数学建模等学科核心素养。
教师：感谢第一小组的分享！他们为了探究距离概念的内涵做了很多努力，收集了很多资料，得到了距离的内涵就是两点间距离的最小值。请大家观察一下，这个“距离”知识的内在联系图是不是可以更完善一点？
学生：还可以增加两条曲线上点的距离最小值，本质上也是两点间距离的最小值。
师生活动3：公式的推导——以点到直线的距离为例
教师：下面有请第二组的同学带我们一起学习点到直线的距离公式的推导方法。
学生：我们大多数同学对点到直线的距离公式的理解，基本停留在公式的记忆上，在和周老师讨论后我们组决定把点到直线的距离公式探究作为我们研究的一个小课题，下面给大家展示一下我们的探究成果。
小组活动1：梳理两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行线之间的距离公式，突出它们之间的转化关系。
学生：PPT展示定义法、等面积法、向量法的等推导点到直线的距离公式的过程，对比归纳各种方法的差异。定义法：思路自然，但运算复杂，运算量很大。等面积法：观察图形的几何元素，分析他们之间的关系，并构造直角三角形。用图形求解运算简洁，因为既不需要写出垂线的方程，也不必求出垂足的坐标，减少了部分计算量。向量法：求空间距离的通法，构造性强，需要整体观和较高的思维水平，对向量的深入认识，运算简便。
设计意图：在教学中发现很多学生记不住公式，根本原因是学生不知道公式的推导过程，只会死记硬背，所以在复习中要求学生结合图形尝试推导公式，能加深学生对公式的理解和记忆，同时引导学生用几何眼光探寻运算路径，培养学生发现问题、解决问题的能力。点到直线的距离公式是广泛联系各种知识的一个纽带，通过探究不同的推导方法，促使学生用联系的观点看待问题，适度挖掘隐藏于公式背后的数学思想方法，有利于发展和提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象等素养。
教师：第二小组的同学遵循“通过几何图形建立直观，通过代数公式表达规律”的思维路径，建立了点到直线的距离与向量、直角三角形等知识之间的意义联结，实现了对公式意义的深刻理解。让我们再次给他们掌声鼓励！
经过刚刚的探究过程，我们已经知道利用几何图形的特征可以简化运算。
请大家观察教材上的这道课后习题，思考能不能对方法一的计算路径做一些优化？
学生活动：小组合作探究，尝试通过寻找条件与所求之间的联系，利用配凑、整体代换、设而不求等方法简化运算。
设计意图：新教材的编写注重数学知识的发生和发展过程，遵循学生的认知心理，“繁”和“简”是相辅相成的，数学学习的过程，需要不断地质疑和优化。在学生完成多种方式推导公式后，引导学生反思引起复杂运算的原因，培养他们反思习惯，提高反思能力，善于发现问题并研究缘由，对推导过程的优化和改进。体现了数学运算核心素养的达成过程，包括理解运算对象，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果。
教师总结：虽然这也是在解含字母的方程组，但是由于方程的几何意义沟通了运算条件和结论之间的联系，从而使得运算方向清晰明确，更容易求解。突出几何直观与代数运算的融合，设而不求，降低了运算的难度。
师生活动4：课本习题的改编——以异面直线为例
教师：求异面直线的距离一直是距离问题中的一个难点。一般地，我们很难直接根据题意在图形中作出两条异面直线的公垂线，下面有请第三组的同学展示他们如何另辟蹊径，来解决异面直线的距离问题。
学生：展示公垂线法、转化法、向量法等多种方式求解异面直线距离的过程。
师生活动：两位学生分别展示他们对课本习题的改编、求解过程。
学生A改题：“点是线段上的动点”，与“”分别改成
“”与“”用表示线段的长度，并求的最小值，
问：这个最小值是异面直线之间的距离吗？
学生B改题：把“”改成“”
用表示线段的长度，并求的最小值，这个最小值是异面直线之间的距离吗？
设计意图：综合法通过构造平行面，把所研究的问题转化为直线到平面的距离，然后再转化为点到平面距离，让学生体会转化与化归的数学思想。用向量方法可以最大限度地避开思维的高度转化，避开添加各种辅助线的难处，有利于我们更快地解决问题。
通过学生对异面直线距离问题的探究，引导学生发现求解异面直线之间的距离问题，关键在于将问题转化为易于求解的向量问题、平面几何问题。
学生归纳一类题，往往会造成一定的思维定式，为了及时消除这种影响，引导学生对课后习题进行改编和探究，进一步体会“距离”概念的内涵和本质，彰显学生的个人魅力。
引导学生充分运用所学知识，从不同角度思考问题，采用多种方法解决问题，促使学生认真观察、多方联想、恰当转化，可以提高学生数学思维的变通性。
教师：两位同学改题都很成功，解答也十分完整。两种不同改法，得到两个不同的结论，帮助大家再次看清了两条异面直线距离的“真面目”，同时也再次感受到了代数知识与几何知识“相辅相成”的魅力，请大家为这两位同学的精彩发言鼓掌。
师生活动5：常用方法的梳理——以点到平面的距离为例
教师：前面我们学习过综合法和向量法，这两种方法是我们解决空间距离问题的常用方法，我们该如何去合理选择运用这两种方法呢？下面我们有请第四小组的同学带我们一起来共研共学。掌声有请。
学生：梳理点、线、面距离的核心体系。
师生活动：学生以课后习题和高考题为蓝本，对点到平面的常用方法进行梳理，
比较综合法和向量法的区别。
教师：补充一点，向量法除了坐标法外，还有基底法，刚刚这个题目除了向量坐标法外，还可以采用向量基底法，无需建立空间直角坐标系，省去了坐标计算，只需要找到一组基底，将相关的向量都用这组基底来表示。因为向量的“自由性”，在处理一些空间几何体本身不具备垂直关系的题目时，更能凸显向量基底法的优越性。
设计意图：点到平面距离是重要的考点，线面距离、面面距离和异面直线距离都可以转化为点到平面距离。而计算“点到平面的距离”是历年高考的热点和重点，引导学生结合高考题梳理求解“点到平面的距离”的几种基本方法——定义法、转化法、等体积法、空间向量法等，重新构建知识体系，从多角度、多视点、多层次地挖掘知识内涵，揭示学科本质，提升数学思维，取得更好的复习效果。
教材是数学知识和数学思想方法的载体，是教学的依据，理所当然地成为高考试题的源头，高考题或多或少都能在教材上找到影子或模型，此所谓“源于教材，高于教材”，这也是在复习中要注重回归教材的原因。
师生活动6：距离的拓展和应用——以曼哈顿距离为例
教师：虽然我们都知道两点之间线段最短,不过在生活中却不一定能直接来按照最短的那一条直线来走,因为我们只能走有路的地方,而不能“穿墙而过”。曼哈顿距离与我们高中数学中的哪些问题相关呢？有请第五小组的同学带领我们一起研究学习。
学生：在现实生活中，许多城市的街道相互垂直或平行，人们往往要通过直角拐弯行走才能到达目的地。若按照街道的垂直和平行方向建立直角坐标系后，则从处走到的距离为从走到处的距离加上从走到处的距离，即，我们称该距离为“曼哈顿距离”。
师生活动1：学生总结归纳曼哈顿距离的性质，并利用绝对值三角不等式进行证明。
设计意图：曼哈顿距离实质源于课本，又高于课本，将距离问题与绝对值性质等知识结合起来。在日常学习中，我们经常遇到这一类绝对值和的最值问题，通过探究曼哈顿距离的定义与性质可帮助我们快速解决这类问题。
师生活动2：学生通过研究高考真题进行建模，解决曼哈顿距离的实际问题。
（1）模型建立
如右图所示，某地三个新建居民区的位置分别位于三点，，处。现计划在轴上方区域（包含轴）内的某一点处修建一个文化中心，试确定点的位置，使其到三个居民区的曼哈顿距离最小。
根据定义得到：
（2）模型求解
问题1：当，分别为多少时，取得最小值？此时的值为多少？
问题2：文化中心应该建在哪里？
问题3：对于模型求解这一步，上面我们是通过解不等式的方法得到的，你还有其他方法求出代数式的最小值吗？能否借助与的函数图像来判断最值？
设计意图: 将实际问题转化为数学问题，体会建模的过程。
师生活动3：教师：第五小组展示的原题是湖南省的高考真题，请同学们再思考，加了条件后，还能用同样的方法吗？
设计意图: 通过及时追问，引导学生经历提出问题、建立模型、求解模型的数学建模过程，更加熟练掌握求解最小曼哈顿距离的方法。
师生活动7：反思升华 彰显素养
教师：下面我们来进行一下本节课的总结，同学们有什么收获呢？来聊一聊吧。
学生1回顾“探寻距离的内涵，距离公式的推导，课本习题的改编，常用方法的梳理，距离的拓展和应用”的知识收获。
学生2总结本节课体会到的思想方法。
教师：对距离专题的复习课我们所采用的过立足教材、回归课本、融通高考、推广探究的方式，能否应用在其他内容和板块呢，我们是否可以将它迁移到其他学科里面呢？希望同学们可以领悟其中的精髓，在以后的复习当中合理应用。
本节课告一段落，同学们下课。
设计意图：从知识、方法、思想等多维度进行反思提炼，既总结收获、积累经验，鼓励学生自主探究、提升素养同时又为后续专题复习指明新方向。
6.课后练习巩固
需要夯实基础的同学可以选做作业单1；
需要拓展提升的同学可以选做作业单2.
7.课后教学反思
通过本次高考题中的距离问题复习课展示，希望为老师们提供一个交流的契机，共同探讨高三专题复习课的整体教学设计方案和实施策略。
本节课很好的落实了“数学育人”的根本目标，充分体现了学生为主体，教师为主导的教学模式。采用项目式分组学习的方式，促使老师在课前做足引导工作，和学生一起调查、计划、共研；在课堂上，教师和学生适度换位，学生走上讲台，进行自我展示，充分地进行展示、交流、质疑、纠正，教师及时恰当地反馈、提炼、点评、总结。有效地促进了学生独立思考、深入探究、合作交流、提炼总结，激发了学生的求知欲，提升了学生学习数学的成就感。同时针对学生距离专题复习中存在的主要问题，以高考题为根基，回归教材，对距离问题的内涵和方法以及拓展应用进行整理、归纳、变式、总结，形成知识和方法的体系结构，促进思维和数学核心素养的提升。