2025-2026学年河南省部分学校高三（上）质检数学试卷（9月份）（PDF版，含答案）

2025-2026学年河南省部分学校高三（上）9月质检
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题 ： ∈ ， 2 ∈ ，则￢ ：( )
A. ∈ ， 2 B. ∈ ， 2 ∈
C. ， 2 D. ∈ ， 2
2.样本数据 3，6，5，11，4，8 的第 60 百分位数为( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 9
3.设复数 1 = + 2 ， 2 = 1 + 3 ，其中 ∈ ，若 1 2在复平面内对应的点位于第四象限，则 的取值
范围为( )
A. ( 2 2 33 , 1) B. ( 3 , + ∞) C. ( 2 , + ∞) D. (1, + ∞)
4
2

2
.已知双曲线 ： 2 3 = 1( > 0)的一个焦点为(2,0)，则双曲线 的渐近线方程为( )
A. =± B. =± 2 C. =± 3 D. =± 2
5 .已知第二象限角 满足 3 ( 2 ) + 1 = 0，则 2 =( )
A. 57 B.
3 2 2 4 2
3 C. 3 D. 7
6.在矩形 中，已知 = 2，点 为线段 的中点，且 ⊥ ，则 =( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
7.不透明袋子里装有大小、材质完全相同的 3 个白球、8 个黑球，现从中每次随机不放回地抽取 1 个小球，
直到选中第 1 个黑球为止，则选取次数 的数学期望 ( ) =( )
A. 25 B.
4
3 C.
1
2 D.
3
4
8.微扰级数是物理学中用于处理非线性系统的重要方法，对于小扰动参数 ( ∈ [10 17, 1))，可得系统的能
量 = =0 ，若 0 = 1 = = = 2， ∈ ， 为常数，则( )
A.当 取最小值时， +1 1 = ( + 1)
B.当 取最大值时， +1 + 1 = ( + 1)
C. 无最小值
D. 无最大值
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.若正数 ， ， ， 满足 ， ， 成等差数列， ， ， 成等比数列，则下列说法正确的是( )
A. 2 = B.若 = 2 ，则 = 4.5
C.若 ， 均为整数，则 一定为整数 D.若 ， 均为整数，则 一定为整数
10.已知函数 ( )是定义域为 的奇函数，当 > 0 时， ( ) = (2 + 1)ln2 ，则下列说法正确的是( )
A.当 < 0 时， ( ) = (2 1)ln2( )
B. (0) + (1) = 1
C.当 > 0 时， ( )单调递增
D. 轴是曲线 = ( )的一条切线
11.已知函数 ( ) = tan( + )( > 0, | | < 2 ), (0) =
3
3 ，且 ( )

在区间(0, 6 )上单调递增.记 的最大值

为 0，设 ( ) = tan( 0 + )，且在△ 中， ( 2 ) = 3, = 2，其内切圆的半径为 ，则下列说法正
确的是( )
A. ( ) = tan(2 + 6 )
B. △ 4 的外接圆的面积为 3
C. 的最大值为 3 3 2
D.若平面内一动点 满足 ⊥ ，则当 取得最大值时， 的取值范围为[1 + 3, 3 + 3]
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知某圆柱的高为 2 3，且上、下底面均在以 为球心的球面上，若该圆柱的底面半径为 1，则球 的体
积为______．
13.已知抛物线 ： 2 = 4 ，直线 = 与 分别交于 ， 不同的两点，直线 = 与 分别交于 ， 不同的

两点，且| | = 2| |， ， > 0，则 =______．
14.已知函数 ( ) = 2| 1 | + 有且仅有 2 个零点，则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知某物理实验参数误差 (单位： )服从正态分布 (2, 2)，且 (2 ≤ ≤ 6) = 0.4．
(1)求 ( > 6)的值；
(2)求 ( ≥ 2| ≤ 2)的值．
16.(本小题 15 分)
如图，在三棱锥 中， = = 2，且 ⊥ ， = = 2．
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(1)若 = 2，证明：平面 ⊥平面 ；
(2)若 与平面 所成的角为 60°，求二面角 的正弦值．
17.(本小题 15 分)
记首项为 1 的数列{ }的前 项的积为 ，且{ +1 }是以 2 为首项，2 为公差的等差数列．
(1)求{ }的通项公式；
(2)求{ }的通项公式；
(3)求{ }中的最大项．
18.(本小题 17 分)

2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的焦距为 2，短轴长为 2 3, 为 在第一象限上的一点，过点 且与
相切的直线分别交 轴、 轴于 ， 两点， 为坐标原点．
(1)求 的标准方程；
(2) 1设点 ( 4 , 0)，求| |的最小值；
(3)证明：△ 的面积不小于 2 3．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln( +1 2 ) 2 +1 ( ∈ )．
(1)证明：曲线 = ( ) 1关于点( 2 , 0)中心对称；
(2)当 > 0 时， ( ) > 0，求 的取值范围；
(3)证明：对于任意的 ∈ ，2 ( ! ) + 2 < (2 + 1)ln( + 1)．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.32 3
13.4
14.( 1,0) ∪ (0, + ∞)
15.(1)因为 服从正态分布 (2, 2)，
所以正态曲线关于 = 2 对称，
由正态分布的对称性，可得 ( 2 ≤ ≤ 2) = (2 ≤ ≤ 6) = 0.4，
1 ( 2≤ ≤6)
所以 ( > 6) = 2 = 0.1．
(2)设事件 ： ≥ 2，事件 ： ≤ 2，
由(1)得 ( ) = ( ≤ 2) = 0.5， ( ) = ( 2 ≤ ≤ 2) = 0.4，
所以 ( ≥ 2| ≤ 2) = ( | ) = ( ) 0.4 ( ) = 0.5 = 0.8．
(1)根据正态分布的对称性及概率和为 1，即可得答案．
(2)根据条件概率公式，结合(1)中结论，计算即可得答案．
本题考查了正态分布曲线的特点，重点考查了条件概率公式，属基础题．
16.(1)证明：取 的中点为 ，连接 ， ，
由于 = = 2，且 = = 2，
故 ⊥ ， ⊥ ，因此∠ 为平面 与平面 的夹角或其补角，
又 ⊥ ，故 = 2 + 2 = 2 2，则 2 + 2 = 2，
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因此 = = 12 = 2，
结合 = 2，故 2 + 2 = 2，则 ⊥ ，

因此∠ = 2，故平面 ⊥平面 ；
(2)由(1)知： ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
因此 ⊥平面 ，而 平面 ，则平面 ⊥平面 ，
于是 是 在平面 上的射影，因此∠ = 60°，
由 = = 2，得△ 是正三角形，则 = 2，
由于△ ，△ 均为等腰三角形，取 中点 ，连接 ， ，
因此 ⊥ ， ⊥ ，故∠ 为二面角 的平面角，
由于 = = 2 ( 1 )2 = 222 (
2 )2 = 14，2 2
2 14 14 + 2 2 4 + 4 8cos∠ = = = 1故 2 ，2× 14 14 74 × 4
故 sin∠ = 4 3，故二面角 的正弦值为4 3．7 7
17.(1)首项为 1 的数列{ }的前 项的积为 ，且{ +1 }是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，
∴ +1 = 2 + 2( 1) = 2 ，结合题意知 1 = 1，
∴当 ≥ 2 时， = 1 + ( 2 1) + ( 3 2) + + ( 1) = 1 + 2(1 + 2 + + 1)
= 1 + 2 × ( 1)2 =
2 + 1， 1 = 1 也适合，
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∴ = 2 + 1；
(2)由题意知 = 1 2… = 2 + 1，
2 2
≥ 2 = = +1 = +1则 时， 1 ( 1)2 ( 1)+1 2 3 +3
，
1 = 1 也适合该式，
2
∴ = +1 2 3 +3；
2
(3) +1由(2)知 = 2 3 +3，
2
令 ( ) = +1 2 3 +3 , ≥ 1，
( ) = ( 2 )( 2)则 ′ ( 2 3 +3)2，
当 1 < < 2 时， ′( ) > 0；当 > 2 时， ′( ) < 0；
故 ( )在(1,2)上单调递增，在(2, + ∞)上单调递减，
由此可得 1 < 2 > 3 > 4 > …，
2
∴ { }
2 2+1
中的最大项为 2 = 22 3×2+3 = 3．
18.(1)设椭圆 的半焦距为 ，则由题可得 2 = 2，所以 = 1，
又 2 = 2 3，所以 = 3，所以 2 = 2 + 2 = 3 + 1 = 4，
2 2
所以椭圆 的方程为：
4 +
．
3 = 1
(2) 1因为点 为椭圆 在第一象限上的点，则设 (2 , 3 )， ∈ (0, 2 )，又 ( 4 , 0)，
所以| | = (2 14 )
2 + 3 2 = cos2 + 4916 = (
1
2 )
2 + 45 ≥ 3 5，16 4
= 1 =

当且仅当 2，即 3时取等号，即| |的最小值为
3 5．
4
2 3 (3)证明：在第一象限，由椭圆方程可得 = 3 1 ， ′ = 4 4 1 2
，
4
′ = 3 0 2 2
设 ( 0, 0)，则在 处的切线斜率为： 4

2，又 0 +
0 ，
1 0 4 3
= 1
4
则
2 20 0，3 2 + 4 2 = 12，则 =
3
′ 0．
3 = 1 4 0 0 4 0
则切线方程为： =
3 04 ( 0) + 0．0
3 2 2
令 = 0 +4 ，得 = 0 0 = 3， (0,
3 )，
4 0 0 0
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= 0 = 3
2
0+4
2 4
令 ，得 0
3 =
4
， ( , 0)．0 0 0
又由(2) 2，设 (2 , 3 )， ∈ (0, 32 )，则 (0, ， ( , 0)． ) cos
1 3 2 3

则 △ = 2 | || | = ∈ (0, )| | = | 2 |，因 2 ，则 2 ∈ (0, )，
从而 0 < | 2 | ≤ 1 2 3，则 △ = | 2 | ≥ 2 3，即△ 的面积不小于 2 3．
+1
19.(1) > 0证明：由题意可得 ，解得 < 1 或 > 0，
2 + 1 ≠ 0
即 = ( )的定义域为( ∞, 1) ∪ (0, + ∞)，
+ 1 2 1+ 1 2
( ) + ( 1) = ln( ) 2 + 1 + ln( 1 ) 2( 1)+ 1
= ln( +1 ) 2 2 +1 2 +1 + ln( +1 ) + 2 +1 = ln[( ) ( +1 )] = 1 = 0，
即 ( ) + ( 1) = 0 1，故曲线 = ( )关于点( 2 , 0)中心对称；
(2)由 > 0 +1 1，因此 = 1 + > 1，令 = 1 +
1
> 1
1
，因此 = 1，
( ) = ln( +1 ) 2 = 2 = 2 ( 1)因此 2 +1 2( 1 )+1 +1
，
1
令 ( ) = 2 ( 1) +1 ， > 1，
( ) = 1 2 +1 +1
2
= +(2 4 ) +1因此 ′ ( +1)2 ( +1)2 ，
若 ≤ 1，由 > 1，因此(2 4 ) ≥ 2 ，
2 2 2
故 ′( ) = +(2 4 ) +1 2 +1 ( 1) ( +1)2 ≥ ( +1)2 = ( +1)2 > 0，
因此 ( )在(1, + ∞)上单调递增，又 (1) = 1 0 = 0，故 ( ) > 0 恒成立，符合要求；
> 1 (1) = 1+(2 4 )+1若 ，有 ′ 4 = 1 < 0，
因此存在 > 0，使得 ∈ (1, )时， ′( ) < 0，
即 ( )在(1, )上单调递减，又 (1) = 0，
因此当 ∈ (1, )时， ( ) < 0，故不符；
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综上所述， ∈ ( ∞,1]；
(3) +1 2证明：由(2)可得，ln( ) 2 +1 > 0 对任意 > 0 恒成立，
因此 ln( +1 2 ) > 2 +1对任意 > 0 恒成立，
故当 = 1 时，有 2 > 23，即 3 2 > 2，
令 ( ) = 2 ( ! ) + 2 (2 + 1)ln( + 1)， ∈ ，
因此 (1) = 2 1 + 2 (2 + 1)ln(1 + 1) = 2 3 2 < 0，
即当 = 1 时，2 ( ! ) + 2 < (2 + 1)ln( + 1)，
当 ≥ 2 时，
( ) ( 1) = 2 ( ! ) + 2 (2 + 1)ln( + 1) 2 [( 1)! ] 2( 1) + (2 1)
= 2 +1 ln( + 1) + 2 = 2 ln
+1
2
+1
= 2 (2 + 1)ln
+1
，
ln( +1 2 +1 2由 ) > 2 +1对任意 > 0 恒成立，因此 ln( ) > 2 +1，
故 ( ) ( 1) = 2 (2 + 1)ln +1 < 2 (2 + 1)
2
2 +1 = 0，
即 ( ) < ( 1)，又 (1) < 0，因此对任意 ∈ ，有 ( ) < 0，
即对于任意的 ∈ ，2 ( ! ) + 2 < (2 + 1)ln( + 1)．
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