海南省海南中学2025届高三高考模拟信息卷(二)数学试题（含解析）

海南省海南中学2025届高三高考模拟信息卷(二)数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则
A. B.
C. D.
2.已知正四面体棱长为4，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得的截面之和为( )
A. 4 B. C. D.
3.若，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若，且为锐角，为钝角，则
A. B. C. D.
5.已知数列满足，且，则
A. B. C. D.
6.小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，，若他恰好射中两个靶子的概率是，那么他三个靶子都没射中的概率是
A. B. C. D.
7.已知O为坐标原点，抛物线上一点到其焦点和准线的距离之和为4，过C的焦点F的直线交C于P，Q两点．当时，的值为
A. B. C. D.
8.已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列有关复数的说法中其中i为虚数单位，正确的是( )
A.
B. 复数的共轭复数的虚部为4
C. 若复数z满足，则的最大值为2
D. 若是关于x的方程的一个根，则
10.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一个平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则
A. 该八面体的表面积是
B. 该八面体的体积是
C. 直线AE与平面ABCD所成角为
D. 动点P在该八面体的外接球面上，且，则点P的轨迹的周长为
11.已知函数及其导函数的定义域均为R，且，当时，，且，则下列说法正确的是
A. 为奇函数 B.
C. 在R上单调递减 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x的一次项的系数为 .
13.已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的数量的最小值为 .
14.已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，其渐近线的方程为，过F的直线l交E于C，D两点在x轴上方，直线AC，BD分别交y轴于点P，Q，则的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
求A；
若，且，求的面积．
16.本小题15分
某地区为发展新型农业，使用最新型的科技设备改良土壤，经过检测合格后，在2018年开始在实验田种植，并记录了7年的小麦的产量，得到数据如下表
年份代码x 1 2 3 4 5 6 7
产量吨
从该实验田的小麦产量数据中任取3年的数据，若在至少有2年的产量不低于1吨的条件下，求3年的产量都高于1吨的概率；
已知这7年间有一年由于干旱，导致小麦损失很大．若剔除干旱因素导致的异常，经计算，y与x有线性关系，求该经验回归方程，并预测在排除干旱因素影响的情况下，第8年该试验田小麦的产量．
附：
17.本小题15分
在三棱柱中，与都是棱长为1的正方形，，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且
求证：；
若平面与平面的夹角的余弦值为，求
18.本小题17分
已知函数
当时，求的单调区间与极值点；
已知有两个极值点，证明：
19.本小题17分
已知抛物线的焦点F关于直线的对称点为，在抛物线E上有三点A，B，C，点A在y轴左侧，点B，C在y轴右侧且点B在曲线段AC上，过三点A，B，C作E的切线，与分别交于点P和Q，直线与交于点
求E的方程；
若直线AC过点F，证明：点Q在定直线上；
若是以MQ为底的等腰三角形，证明：直线PC过定点.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：，所以
故选：
2.【答案】C
【解析】解：如图1，E，F，G分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面EFG的距离相等，
是边长为2的等边三角形，这样的截面有4个；
如图2，E，F，M，N分别为正四面体棱的中点，
此时它的四个顶点到截面EFMN的距离相等，
四边形EFMN是边长为2的正方形，，这样的截面有3个，
所以满足条件的截面的面积之和为：
故选：

3.【答案】A
【解析】解：设命题，命题，
对于命题p，因为，所以，，
构造函数，易知在R上为增函数，所以；
对于命题q，因为，所以；
所以为真命题，为假命题；
所以p是q的充分不必要条件．
故选：
4.【答案】B
【解析】解：由题意可知，，
所以，，得，
又，且，所以，
故选：
5.【答案】D
【解析】解：因为，
所以，
即数列为等差数列，又，
所以数列首项为1，公差为3，
，
则，
故选：
6.【答案】C
【解析】解：记小明射中三个靶子分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，且，，
恰好能射中两个靶子为事件，且两两互斥，
所以
，
整理得，三个靶子都没射中为事件，
故，
故选：
7.【答案】A
【解析】解：因为抛物线一点到其焦点和准线的距离之和为4，
所以，解得，
所以抛物线C的标准方程为
由抛物线C的方程可知，焦点，根据题意可知直线PQ的斜率存在且不为0，
设直线
由，消去x整理得，
所以，又，
所以，
解得，则，，
则
故选：
8.【答案】B
【解析】解：当时，，所以不符合题意；
当由，即，
令，，
所以在上单调递增，
，即，
在上恒成立，
，
令，
，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
即，
，
故选：
9.【答案】BC
【解析】解：A选项，，故A错误；
B选项，复数的共轭复数为，故虚部为4，故B正确；
C选项，若复数z满足，则z的轨迹为复平面内，以为圆心，1为半径的圆，
此圆上的点到原点的距离，最大值为2，即到原点距离，则的最大值为2，故C正确；
D选项，是关于x的方程的一个根，为方程另一个根，
则，D不正确.
故选：
10.【答案】ACD
【解析】解：A选项，棱长为2的等边三角形面积为，
故该八面体的表面积，A正确；
B选项，连接，相交于点O，连接EO，则EO为正四棱锥的高，
则，
由勾股定理得，
故，
该八面体的体积是，B错误；

C选项，由B选项可知，即为直线AE与平面ABCD所成角，
其中，
故，C正确；
D选项，由于，
故该八面体的外接球的球心为O，半径为，
取AE的中点W，CF的中点T，连接，WT，
由对称性可知，相交于点O，即正方形ABCD的中心O，
故四点共面，
由于均为等边三角形，
故，，
又，平面BDW，
所以平面BDW，
故四边形BTDW截外接球O的最大圆即为点P的轨迹，
其长度为，D正确.

故选：
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由已知函数定义域为R，关于原点对称，
令，由得，
令，由，可得，
所以为奇函数，故A正确；
对于B，，
令，则，
令，则，
所以，解得，可得，
故B正确；
对于C，对两边同时对y求导，把x看作常数，
得，因为，令，
所以，即，得，
则，
当时，单调递增，
当时，单调递增，
当时，
单调递减，故C错误；
对于D，因为，是以4 为周期循环的，
，，
，，
所以
，
，故D正确.
故选：
12.【答案】
【解析】解：令，则，
所以，
又的展开式的通项，
所以当时，，
当时，，
展开式中含x的一次项的系数为
故答案为：
13.【答案】
【解析】解：因为，所以，所以，
又，所以，
因为向量在向量方向上的投影的数量为
，
当且仅当时等号成立，
故向量在向量方向上的投影的数量的最小值为
故答案为：
14.【答案】
【解析】解：由题意可得，，，解得，
则，
设，与联立得，
设，则，
则，
直线，，
则，，
则
故答案为：
15.【答案】解：由及正弦定理得：
，
因为，
所以，又，
，又，故
由可得，
因为，所以，
由可得，
故，
又，可得，
所以

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：由表知，这7年的小麦产量数据中，有5年的产量不低于1吨，2年的产量低于1吨，
记“这7年中任取3年，至少有2年的产量不低于1吨”，“这7年中任取3年，3年的产量都高于1吨”，
则，
所以
由表可知，第七年的数据异常，剔除第七年的数据，
则剩余6年的数据中，
，，
，
，
所以，
所以，
所以y与x的经验回归方程为，
当时，吨，
所以在排除干旱因素影响的情况下，预测第八年该试验田产量为吨．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：证明：因为与都是棱长为1的正方形，所以，
又，故，AB，BC两两垂直，
以B为坐标原点，BA，，BC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
因为，，设，，
所以，，，，
则，，
则，
故；
，则，
则，则，
又，平面，所以平面，
故为平面的一个法向量，
又平面的一个法向量为，
则平面与平面的夹角的余弦值为
，
又平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，解得，故

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：当时，，则，
令，则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，故的单调递增区间为，无减区间，无极值点.
证明：因有两个极值点，则为的两根，
即，即，
即，
令，则，，
则，
欲证，只需证，
令，则，
故在上单调递增，则，则成立，
故得证.

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：设抛物线的焦点，
则F与的中点位于直线上，
所以解得，所以抛物线E的方程为；
因为直线AC过点，显然直线斜率存在，设直线，
联立，解得，
由，可得，
通过对求导可得，
所以在点A处的切线方程为，又，
整理可得，
所以在点C处的切线方程为，
相减可得，
所以，代入或的直线方程，
，
所以点Q在定直线上；
根据题意，设切点，
此时，即斜率为，
同理可得，即斜率为，
，即斜率为，
由题意知等于的倾斜角减去的倾斜角，等于倾斜角减去的倾斜角，
且是以MQ为底的等腰三角形，即，
根据正切的差角公式有，，
整理得①，
再联立与的方程，得，
设PC方程为，其中，
所以，对化简代入①式，
其中
，
所以，则直线PC过定点

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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