河北省廊坊市名校2025届高三押题信息卷(三)数学试题（含解析）

河北省廊坊市名校2025届高三押题信息卷(三)数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，，若，则a的取值范围是
A. B.
C. D.
3.已知向量，满足，，且，则的值为
A. 2 B. C. 4 D.
4.已知，，，则
A. B. C. D.
5.已知点，，点P是圆上的动点，则的最小值为
A. B. C. D.
6.若，则被8整除的余数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7.已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于M，N两点，C在M，N两点处的切线相交于点则下列四个点中，可以为线段PF中点的是
A. B. C. D.
8.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，则下列说法正确的是
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象向左平移个单位长度所得到的图象所对应的函数为偶函数
D. 函数在区间上恰有4个零点
10.已知点P为双曲线右支上一点，，为C的两条渐近线，过点P分别作，，垂足依次为，且，过点P作交于点M，过点P作交于点N，O为坐标原点，则下列说法正确的是
A. C的离心率为 B.
C. 的面积为 D.
11.已知数列满足，，则下列说法正确的是
A. 为中的最小项
B. 对任意的，，都有
C. 存在，使得，，成等差数列
D. 对任意的，，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某工厂月产品的总成本单位：万元与月产量单位：万件有如下一组数据，从散点图分析可知y与x线性相关.如果经验回归方程是，那么表格中数据m的值为 .
万件 1 2 3 4
万元 m
13.已知，且满足，，则 .
14.如图，在三棱锥中，，，，，若，则三棱锥体积的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知各项均为正数的数列的前n项和为，且
求的通项公式；
若，求数列的前n项和
16.本小题15分
某公司为了庆祝公司成立二十周年，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向A，B两个目标投掷，先向目标A掷一次，套中得40元，没有套中得0元，再向目标B连续掷两次，每套中一次得80元，没套中得0元，根据累计金额发放红包.已知小胡每投掷一次，套中目标A的概率为，套中目标B的概率为，假设小胡每次投掷的结果相互独立.
求小胡至少套中1次的概率；
记小胡的累计金额为随机变量X，求X的分布列和数学期望.
17.本小题15分
如图，在四棱锥中，，，，为等边三角形，直线PA与平面ABCD所成角的大小为，点E是棱PB上的一点不包含端点
求证：平面平面PBD；
若二面角的余弦值为，求线段PE的长.
18.本小题17分
已知椭圆的右焦点为，点是E上的一点.
求E的方程；
若E与x轴的两个交点分别为和点在的左边，M，N是E上异于，的两点.
若直线MN过点F，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由；
已知直线MN不过坐标原点O，且不与坐标轴平行，点M关于原点O的对称点为，若直线与直线相交于点S，直线OS与直线MN相交于点T，求的最小值.
19.本小题17分
对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”.
判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由；
若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：；
已知函数，，，求证：函数与“具有性质”.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：，
则，在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：
2.【答案】D
【解析】解：因为，所以，解得，
即a的取值范围是
故选：
3.【答案】B
【解析】解：因为，
所以，
解得，
所以
故选：
4.【答案】D
【解析】解：由题意知，，
又函数在上单调递增，而，
即，
又在上单调递增，所以，即
故选：
5.【答案】B
【解析】解：如图，当AP与圆E相切于点P时，取得最小值，连接，
由题意得，，圆E半径为，则，
所以，故，
过点E作x轴的垂线，垂足为N，则，所以，
所以，即的最小值为
故选：
6.【答案】C
【解析】解：令得，令得，
两式相减得，
所以，
因为
，，
因为能被8整除，
所以被8整除的余数为
故选：
7.【答案】A
【解析】解：不妨设，，，
由可得，则，
于是C在点M处的切线方程为，
又，化简方程得，
同理得C在点N处的切线方程为，
又两切线交于点，故得，
即点M，N都在直线上，
也即直线MN的方程为，
因为点在直线MN上，代入得，得，故线段PF的中点为，
则选项中可以为线段PF中点是
故选：
8.【答案】C
【解析】解：因为，由正弦定理得，
所以，又因为，
所以，
所以，即，所以，
，
显然必为正，否则和都为负，就两个钝角，
所以
当且仅当，即，取等号，
所以的最小值是，
故选：
9.【答案】AC
【解析】解：，
所以函数的最小正周期，故A正确；
因为，
所以函数的图象关于点对称，故B错误；
，
故其为偶函数，故C正确；
令，即，
所以或，，，
解得或，，，
当时，；当时，；
当时，，
所以在恰有3个零点，则D错误.
故选：
10.【答案】ABD
【解析】解：设点，所以，
又C的渐近线方程为，即，
所以，解得，
所以C的离心率为，故A正确；
由题意可知，，则四点共圆，
且OP为该圆的一条直径，AB为该圆的一条弦，则，故B正确；
因为C的两条渐近线的斜率分别为、，
所以C的两条渐近线的夹角为，因为，则，
因为，则，同理，
所以，故C错误；
，且，由余弦定理可得：
，
当且仅当时，等号成立，则D正确.
故选：
11.【答案】ABD
【解析】解：令，所以，
当，；当，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，，…，，
所以是中最小的项，
且对任意的，，都有，故A，B正确；
令，，
所以，
所以在上单调递减，所以，
所以，即；
，即，…，，即，
综上所述，是中最大的项，
所以不可能使得，，成等差数列，故C错误；
因为当，，，所以，
所以，
即，
所以对任意的，，都有，故D正确.
故选：
12.【答案】
【解析】解：由题意知，
，
又经验回归方程是，
所以，解得
故答案为：
13.【答案】
【解析】解：由，
则，
又，，
所以，，
所以，
所以
故答案为：
14.【答案】
【解析】解：过点P作于F，连接BF，
由题意知，，，且，
又，PF，平面PBF，
所以平面PBF，
所以，
所以当最大时，取得最大值，
过F作于E，
因为，所以只需EF最大，也即最大，
在中，，，
所以P在以A，C为焦点的椭圆上，如图所示：
因为，要使最大，
只需P为短轴顶点，即为短轴的一半，
此时，，
所以，
所以，
所以，
所以，
即三棱锥体积的最大值为
故答案为：
15.【答案】解：当时，，
解得或舍，
当时，由，
得，
所以，
即，
整理得，
又的各项均为正数，所以，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以；
由知，
所以，
，
两式相减得：
，
所以

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：记“小胡至少套中1次”为事件A，
所以，
即小胡至少套中1次的概率为；
由题意可知X的所有可能取值为0，40，80，120，160，200，
所以，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 40 80 120 160 200
P
所以

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：证明：在四棱锥中，取BD的中点O，连接AO，PO，
由，得，
由为等边三角形，得，
又，平面POA，
则平面POA，
又平面ABCD，则平面平面ABCD，
又平面平面，
因此直线PA在平面ABCD的射影在直线AO上，直线PA与平面ABCD所成角为，
则，
由，，
得是正三角形，且，，
由为等边三角形，得，
在中，，
则，即，
又，平面ABCD，
则平面ABCD，
又平面ABCD，于是，
在中，，由知，
由余弦定理得，
因此，即，
又，平面PBD，
则平面PBD，
又平面ECD，所以平面平面PBD；
由知，直线两两垂直，
故以O为坐标原点，直线所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面PCD的法向量为，
则，
取，得，，
故平面PCD的一个法向量为，
设，
则，
设平面ECD的法向量为，
则，
取，得，
故平面ECD的一个法向量为，
又二面角的余弦值为，
因此，
整理得，则负值舍，
从而，
所以线段PE的长为

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：由题意知，
解得，，，
所以E的方程为；
显然直线MN的斜率不为0，
如图，设直线MN的方程为，，，
由，得，
所以，，
所以，
易得，，所以，，
所以
，
即为定值；
设，，直线MN的方程为，
由，得，
而，且，，
又，，设，
由S，，三点共线，得，
由S，N，三点共线，得，
所以
，
故直线OS的斜率，
则直线OS的方程为，
由，解得，
因此点T在定直线上，
点O关于直线的对称点，
所以，
当且仅当P，T，三点共线时等号成立，
所以的最小值为

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：令，，
所以，所以在上单调递增，
不妨设，所以，即，
即，
所以，
所以函数，与“具有性质”；
证明：由函数在上有两个零点，，得，
又函数与“具有性质”，
则，
即，则，
令，，即，
记，即，
又，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
要证，即证，
不妨设，
即证，
只需证，即证，
设，
即，
所以，
所以函数在上单调递减，且，
又，则，
即，则得证，
故；
证明：不妨设，所以，
所以，即，
令，，
所以，所以在上单调递减，
又，
所以，即，
所以，
当时，
，
令，，
所以，
令，所以，
令，解得，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，所以在上单调递增，
又，所以，
即，
所以，
综上，，
即，
即函数与“具有性质”.

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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