河南省南阳市第一中学校2025届高三第三次模拟考试数学试题（含解析）

河南省南阳市第一中学校2025届高三第三次模拟考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.已知复数为虚数单位，则的虚部为
A. B. C. D.
3.已知，，均为单位向量．若=+，则与夹角的大小是
A. B. C. D.
4.已知且，则二项式的展开式中，常数项为
A. B. C. 1 D. 24
5.已知函数在区间内恰有一个极值点，则的取值范围是
A. B. C. D.
6.设双曲线的右顶点为A，B，C分别在两条渐近线上，且，，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数与存在公切线，则实数a的最小值为
A. B. C. D.
8.某厂家对其软件进行加密升级，现对软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第n项为若序列的所有项都是3，且，，则
A. B. C. 3 D. 9
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如图，正方体棱长为2，P是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是( )
A. BP的最小值为
B. 的最小值为
C. 三棱锥的体积不变
D. 以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为
10.已知是定义在R上的奇函数，，是奇函数，且，则下列说法中正确的有
A. 为偶函数 B.
C. D.
11.如图，曲线C是一条“双纽线”，其C上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是
A. 点在曲线C上
B. 点在C上，则
C. 点Q在椭圆上，若，则
D. 过作x轴的垂线交C于两点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，，若恒成立，则a的最小值是 .
13.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若，则c的取值范围是 .
14.设是1，2，3，4，5的一个排列，若对一切恒成立，就称该排列是“交替”的，则“交替”的排列共有 种．结果用数字表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知正项数列中，，满足
求数列的通项公式；
已知数列满足求数列的前2n项和
16.本小题15分
已知函数，其中
当时，求曲线在处的切线方程；
当时，若在区间上的最小值为，求a的值．
17.本小题15分
某学校校庆时统计连续5天进入学校参加活动的校友数单位：千人如下：
日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日
第x天 1 2 3 4 5
参观人数y
由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明保留小数点后两位；若，则认为y与x的线性相关程度很强，并求出y关于x的线性回归方程；
校庆期间学校开放1号门、2号门和3号门供校友出入，校友从1号门、2号门和3号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为假设校友从1号门、2号门、3号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名校友于10月1日回母校参加活动，设X为4人中从2号门出学校的人数，求X的分布列、期望及方差.
附：参考数据：，，，，
参考公式：回归直线方程，其中，
相关系数
18.本小题17分
如图，在四棱锥中，侧面平面ABCD，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，，M为线段PA中点，连接
证明：平面PCD；
求M到平面PCD的距离；
线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题17分
如图，双曲线的左 右焦点，分别为双曲线的左 右顶点，过点的直线分别交双曲线的左 右两支于两点，交双曲线的右支于点与点不重合，且与的周长之差为
求双曲线的方程；
若直线交双曲线的右支于两点.
①记直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，求的值；
②试探究：是否为定值？并说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：，即，
由，得，
则，即
则
故选：
2.【答案】A
【解析】解：因为，所以，
由，
，其虚部为
故选：
3.【答案】C
【解析】解：由，得，
即，
则，
则，
又，
则
故选：
4.【答案】D
【解析】解：因为，所以，
所以，
所以二项式的展开式中，常数项为：
故选：
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象和性质的应用，属于基础题.
利用三角函数的图象与性质以及整体代换的技巧进行处理.
【解答】
解：因为 ，所以当 时，有 ，
因为 在区间 内恰有一个极值点，
结合正弦函数图象，得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：
6.【答案】B
【解析】解：由题设，
由角平分线定理可得，
则，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由得，解得，
则，即，
所以双曲线E的离心率为
故选：
7.【答案】B
【解析】解：设公切线与函数及函数的切点分别为，，且，，
故两切线方程为，，
即，，
与存在公切线，所以有解，消去m后得：，
令，，
易得在上单调递增，且时，；时，，
故在区间上递减，在上递增．
所以，的最小值为，即2a的最小值为，即实数a的最小值为
故选：
8.【答案】C
【解析】解：因为，
设，则，
因为的所有项都是3，所以，设，
所以是以m为首项，3为公比的等比数列，所以
由，；
由，；
由；
由
又，所以
所以
故选：C
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查距离问题的确定，几何体体积的求解，面与面交线长的求解，对空间想象能力要求比较高，难度较大.
对A，在中边长为面对角线，BP的最小值为的高，即可判断；
对B，将与矩形翻折到一个平面内，然后可判断；
对C，因为，即可判断；
对D，以点B为球心与面的交线为圆周即可判断.
【解答】解：对A，在中边长为面对角线，BP的最小值为的高，其值为，故A对;
对B，将与矩形翻折到一个平面内如图，
在中，余弦定理可得，，
所以，故B错;
对C，因为，而A到平面的距离不变，而的面积也不变，所以三棱锥的体积不变，故C对;
对D，以点B为球心与面的交线为圆周，该圆锥的母线长为2，高为，底面半径
，所以交线长为，故D对;
综上所述，选
10.【答案】ACD
【解析】解：由于是定义在R上的奇函数，所以，
则，即，故A正确；
因为是奇函数，所以，即，
所以，则，令，所以，
所以，即的图象关于直线对称，
则，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查曲线与方程，考查椭圆的焦点、焦距，两点间的距离公式等，属于较难题.
对选项A，根据“双纽线”定义即可判断A正确，对选项B，根据“双纽线”定义得到，再计算即可判断B错误，对选项C，根据“双纽线”定义和椭圆定义即可判断C正确，对选项D，设，根据勾股定理得到，再解方程即可判断D正确.
【解答】
解：对选项A，因为，由定义知，故A正确；
对选项B，点在C上，
则，
化简得，所以，，B错误；
对选项C，椭圆上的焦点坐标恰好为与，
则，又，所以，
故，所以，C正确；
对选项D，设，则，
因为，则，又，
所以，化简得，故，
所以，故，所以，故D正确，
故选：
12.【答案】
【解析】解：恒成立，即，即，
即，
令，则恒成立，所以单调递增，
，
令，则，
令，解得，当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，故，即则a的最小值是
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查解三角形中正弦定理的应用，还运用了基本不等式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
先利用正弦定理对已知等式进行边角互化的变形，并结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式，推出，再结合基本不等式，即可得解．
【解答】
解：由正弦定理知，，
，
，
即，
，当且仅当时，等号成立，
，
又，
，
的取值范围是
故答案为：
14.【答案】32
【解析】解：解不等式对恒成立得出在与之间，
其排列方式只能为：“小大小大小”或“大小大小大”的方式，这里的“大”与“小”指相比两旁的数大或小.
当排列方式为“小大小大小”时，如：35142，13254，…，
①当1、2、3在小，4、5在大的位置时，排列方式有种；
②当1、2、4在小，3、5在大的位置时，必须4、5在一边，1、2、3在另一边，排列方式有种，合计16种；
当排列方式为“大小大小大”时，同理也有16种，合计有不同的排列方式32种.
故答案为：
15.【答案】解：由，得，
因为，所以，则，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以
方法一：
由知
方法二：
由知
设，则可得，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以的前n项和，
设
所以的前n项和
所以

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：当时，，则，，所以，
所以曲线在处的切线方程为：，即
，令，解得或，
当时，时，，则在上单调递减，
所以，考虑，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以的极大值为，所以由得；
当时，时，，则在上单调递减，
时，，则在上单调递增，
所以，则，不合题意；
当时，时，，则在上单调递减，
所以，不合题意；
综上，

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：依题意，，而，，，
则，
因为时线性相关程度高，所以y与x线性相关程度很强，可以用线性回归模型拟合，
，，
因此回归方程为；
记“甲从2号门出学校”为事件A，“甲从1号门进学校”为事件B，
“甲从2号门进学校”为事件C，“甲从3号门进学校”为事件D，
由题意可得，，，
，，
由全概率公式得：
，
同理乙、丙、丁从2号门出学校的概率也为，
X为4人中从2号门出学校的人数，由题意得X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则，
，，
，，
，
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
，

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：在四棱锥中，取PD中点N，连接MN，
由M为PA的中点，且，，得，，
则四边形BCNM为平行四边形，，而平面PCD，平面PCD，
所以平面
取AD的中点O，连接PO，OC，由为等边三角形，得，
而平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，
则平面ABCD，由，得四边形ABCO是平行四边形，
于是，而，则，直线两两垂直，
以O为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
设平面PCD的法向量为，则，
取，得，
又，所以B到平面PCD的距离，
因为平面PCD，所以M到平面PCD的距离为B到平面PCD的距离，即
令，
，，
设平面EAC的法向量为，则，
取，得，
平面DAC的法向量为，
于是，
化简得，又，解得，即，
所以线段PD上存在点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为，

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：设，因为与的周长之差为2，
所以，即，
又因为分别为双曲线的左、右顶点，所以，
联立方程组，解得，所以，
故双曲线的方程为
①由知，双曲线的方程为，
设，则，可得，
则
②为定值
理由如下：
由得直线AB的方程为，
联立方程组，整理得，
设，则，
因为点位于双曲线的左 右两支，所以，即，
可得，
又因为，所以直线DE的方程为，
根据双曲线的对称性，同理可得，
所以，故为定值

【解析】本题考查了双曲线中的定点、定值、定直线问题，直线与双曲线的位置关系及其应用，双曲线的标准方程，双曲线的定义，属于较难题.
设，根据题意，得到，且，联立方程组，求得的值，即可求解；
①设，求得，结合，即可求解；
②由得直线AB的方程为，联立方程组，得到，结合弦长公式，求得和，进而化简得到为定值.
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