江苏省扬州市部分校2025届高三考前保温练习数学试题（含解析）

江苏省扬州市部分校2025届高三考前保温练习数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.已知复数z满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.某校学生会有男生8人，女生12人，现从男生中选出7人，从女生中选出11人参加志愿活动，则不同的选法种数为( )
A. 48 B. 96 C. 144 D. 192
4.若，则
A. B. C. D.
5.若函数为R上的奇函数，且当时，，则
A. B. C. D. 2
6.在平面四边形ABCD中，，将沿AC折起，使点D到达点P的位置，且三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为
A. B. C. D.
7.函数在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是图象的最高点和最低点，其中M点横坐标为，O为坐标原点，且，则，的值分别是
A. ， B. ， C. 2， D. 1，
8.第14届国际数学教育大会在我国上海华东师范大学举行.如图是本次大会的会标，会标中“”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.为加强青少年科学健身普及和健康干预，让年轻一代在运动中强意志、健身心，某校举办一场篮球赛，其中每队上场5人，每人得分情况如下表单位：分，则下列结论正确的是( )
甲队 乙队
5 10 23 12 8 8 8 15 7 6
A. 运动员得分极差甲队大于乙队 B. 运动员得分均值甲队大于乙队
C. 甲队运动员得分的分位数为8 D. 相较于甲队，乙队运动员实力更均衡
10.数列满足，记数列的前n项和为，则
A. B.
C. 数列的前n项和为 D. 的最小值为
11.已知曲线，则下列结论正确的是
A. 曲线不经过第三象限
B. 曲线的渐近线方程为和
C. 曲线在第二象限内的点的纵坐标的最小值为
D. 若圆与曲线交于A，B两点，则直线AB的斜率小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，常数项为60，则项的系数为 .
13.降水量是指水平地面上单位面积的降水深度．用上口直径为20cm、底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶来测量降水量，如果一次降水过程中用此桶接得的雨水的深度是桶深的，则本次降雨的降水量是
14.有15张扑克牌，牌面分别为1，2，…，10，J，Q，K，小王，大王.魔术师先按照牌面依次为1，2，…，10，J，Q的顺序将这12张牌背面朝上摆成一叠牌面为1的牌在最上面，然后魔术师请一名观众将牌面为的牌背面朝上随机插入已摆好的这叠牌共12张中的某个位置不能把这张牌放在这叠牌的最上面或最下面，再把牌面为小王和大王的两张牌中的一张背面朝上放在这叠牌共13张的最上面，另一张背面朝上放在这叠牌共13张的最下面，之后继续由这名观众把这叠牌共15张按如下方式发牌：把最上面那张牌发到桌上，然后把下一张牌放到这叠牌共14张的最下面，之后再把最上面那张牌发到桌上，再把下一张牌放到这叠牌共13张的最下面，依此类推，直到这叠牌只剩下一张牌.这时，魔术师可以准确说出最后剩下的这张牌的牌面是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知等差数列和等比数列满足，，，
Ⅰ求和的通项公式；
Ⅱ数列和中的所有项分别构成集合A，B，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和
16.本小题15分
某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球1个，白球2个，黑球3个，小球除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记1分，摸到白球记0分，摸到黑球记分.抽奖人摸3个球为一次抽奖，总分记为X，若，则获奖.
方案一：从中一次摸1个球，记录分数后不放回.
方案二：从中一次摸1个球，记录分数后放回.
若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率；
若丙顾客按照方案二摸球记分，求X的分布列和数学期望.
17.本小题15分
如图，在圆锥PO中，AC为底面圆O的一条直径，为底面圆周上不同于的两点，圆锥母线长为
若，平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：；
若AD与平面PCD所成角的正切值为，求AD的长.
18.本小题17分
已知双曲线的左顶点A在直线上，C的左焦点为F，点为C的右支上一动点.
求双曲线C的渐近线方程；
过点F且斜率为的直线与C的左支交于D，E两点，求的面积的最小值；
设N为C的左支上与A不重合的一动点，若直线l平分，证明：直线MN恒过定点.
19.本小题17分
已知函数和各有两个零点.
求k的取值范围；
若一个函数有且仅有两个零点，则称这两个零点的算术平均数为该函数的“完美点”.设和分别为和的“完美点”.
比较与的大小；
证明：
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为，所以，则
故选：
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则，共轭复数，复数的概念，属于基础题．
由题意可得，再利用两个复数代数形式的乘除法法则，计算求得结果．
【解答】
解：，
，
，
的虚部为
故选
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，从男生中选7人的选法种数为：
从女生中选11人的选法种数为：
所以总的选法种数为：
故选：
4.【答案】A
【解析】解：，
故选：
5.【答案】A
【解析】解：因为为R上的奇函数，
所以，解得，
则当时，，
所以
故选：
6.【答案】B
【解析】解：因为三棱锥的体积为，
则，且，
可得：，解得，
如图，取AC的中点Q，连接PQ，则，
在中，因为，则，
又，则，
即，所以平面ABC，
设三棱锥的外接球的球心为O，的外接圆的圆心为，
则平面ABC，即，
因为是等边三角形，所以为等边的中心，
因为，则，，
设的外接圆的圆心为，则在PQ上，连接，
则平面APC，
因为平面ABC，平面APC，
所以平面平面APC，
又平面平面，，平面ABC，
所以平面APC，
则，又，，
所以四边形为矩形，
设，在和中，
根据勾股定理有，
整理可得，解得，
设三棱锥的外接球的半径为R，
在中，，
即，
根据球的表面积公式，可得所求外接球的表面积
故选
7.【答案】A
【解析】解：根据题意知，，
设，且，
得，解得，
即，
所以函数的周期，
则，
由，得，
即，又
得
故选：
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查与二项式定理有关的问题，属于中档题.
换算后由等比数列求和得，改写成，利用二项式定理展开即可求解.
【解答】
解：由进位制的换算方法可知，八进制换算成十进制得：
，
因为是10的倍数，
所以，换算后这个数的末位数字即为的末尾数字，
由可得，末尾数字为
故选：
9.【答案】ABD
【解析】解：对A，甲队运动员得分的极差为，乙队运动员得分的极差为，，
故A正确；
对B，甲队得分平均数，
乙队得分平均数，，故B正确；
对C，将甲队的数据由小到大排列：，
因为，所以甲队运动员得分的分位数为12，故C错误；
对D，由题可知，乙队的得分更加集中，
即相较于甲队，乙队运动员实力更均衡，故D正确.
故选
10.【答案】AD
【解析】解：对于A，由，得①，
当时，，
当时，②，
由①-②，得，解得，
当时也成立，所以，故A正确；
对于B，
，故B错误；
对于C，数列的前n项和为，故C错误；
对于D，因为，
当时，，当时，，且，
故当或9时，的前n项和取最小值，
最小值为，故D正确.
故选：
11.【答案】ACD
【解析】解：对于选项A，当时，，，，
而曲线方程为，所以曲线不经过第三象限，A选项正确；
对于选项B，由，当时，，所以是曲线的渐近线，
由变形为，当时，，，
所以是曲线的渐近线，如图所示，B选项错误；
对于选项C：由可得，设，
对求导得，
令，即，则，解得，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
则在处取得最小值，
又，C选项正确；
对于选项D：由C项可知两点均在y轴右侧，
设，，且，，
两式相加得
根据基本不等式可得，所以，
，
因为，，
所以，D选项正确.
故选：
12.【答案】
【解析】解：因为，，所以，
则项为，
故项的系数为
故答案为：
13.【答案】
【解析】解：圆台型水桶的轴截面如图所示.设水面的半径为，水深为h，
因为上口半径为，底面半径，
则，故，
雨水的体积为，
又，故
故答案为：
14.【答案】Q
【解析】解：把大王、小王摆放完后，将15张牌按照从上到下的顺序依次编号为1，2，…，15，
此时2号牌面为1，且14号牌面为Q，这时按题中发牌的规则开始发牌，
记每一次把最上面的牌发到桌上且下一张放到最下面为一次操作，
每完成一次操作后这叠牌的编号顺序分别为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故最后剩下的是编号为14的纸牌，根据之前的操作可知该牌的牌面为
故答案为：
15.【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由题可得，
，，
，
Ⅱ当的前60项中含有的前6项时，
令，可得，
此时至多有项，不符；
当的前60项中含有的前7项时，
令，可得，
且，，是和的公共项，
则的前60项中含有的前7项且含有的前56项，再减去公共的三项．

【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力、推理能力，属于较难题．
Ⅰ设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，再求出的通项公式；
Ⅱ分的前60项中含有的前6项，的前60项中含有的前7项两种情况，求得n的范围，结合等差数列和等比数列的求和公式，再求出
16.【答案】解：若，则甲顾客摸到1个红球2个白球、或者是1个红球1个白球1个黑球，
所以；
从袋中每次随机摸出1个球，摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，摸到黑球的概率为，
则X的可能取值有、、、0、1、2、3，
，
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量X的分布列如下表所示：
X
0
1
2
3
P
故

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：证明：因为AC为直径，
所以，且，
则且，
又因为，则，即，且，
又平面ABCD，可知，
又平面平面PBC，
所以平面PBC，
又因为平面PAD，平面平面，
所以；
方法一：由题意知，，
如图，以D点为坐标原点，所在直线为轴，过D与OP平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
可知，设，
则，
可得，
设平面PCD的法向量为，
则，
令，则，
所以平面PCD的一个法向量为，
设AD与平面PCD所成角为，
则，可得，
，解得，
即 ，
整理得，解得，即；
方法二：以O点为坐标原点，所在直线分别为y和z轴，在平面ABCD内过O垂直于AC的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则，，
设，
可得，，
设平面PCD的法向量为，
则，
令，则，
所以平面PCD的一个法向量为，
设AD与平面PCD所成角为，
则，可得，
，解得，
即 ，
整理得，解得，
所以，即

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：因为左顶点A在直线上，则点，即，
设，由，得，
解得，因此，
故双曲线C的方程为，
所以双曲线C的渐近线方程为；
由知，，则直线DE的方程为，
由，消去y得，解得，
则，
若的面积最小，当且仅当点M到直线DE的距离最小，
平移直线DE与双曲线C的右支相切的切点到直线DE的距离最小，
设切线方程为，
由，消去y得，
因为，解得，
当时，直线DE与双曲线C的左支相切，不符合题意，
因此，
则点到直线DE的距离，
故的面积的最小值为；
依题意，直线MN斜率存在，
设其方程为，，
由N为双曲线C的左支上与A不重合的点，得，
设点M关于直线对称点为，
则，
解得，
由直线l平分，得在直线AN上，
而，则，
即，
整理得，
由，消去y得，
，
，
因此，
整理得，而，解得，
直线MN：过定点，
即直线MN恒过定点

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：由，，得，，
则，的零点等价于，的零点，
，，
当时，易知，均在区间上单调递增，且在上单调递减，
故当时，，
当时，，
若有两个零点，则，即，
当时，，当时，，且，
故当时在区间和各恰有一个零点，
综上，若，各有两个零点，则k的取值范围是；
不妨设和的两个零点分别为，和，，
则，，且，，
设，则，
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，，单调递增，
故当时，，
即，当时，，即，
故，，同理有，
故，即；
证明：因为，故，
又，
设，则，
当时，，单调递增，
故，即，
故；
设，
则，且，，且当时，
，单调递增，
故当时，至多只有一个极值点，且为极小值点，
因为，且，
当，且时，，
单调递增，故，，
所以当时，，即，
又因为，故

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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