陕西省延安市2025届高三下学期5月押题数学试题（含解析）

陕西省延安市2025届高三下学期5月押题数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.已知命题；命题，则
A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题
C. p和都是真命题 D. 和都是真命题
3.已知向量，，若，则
A. B. C. D.
4.在二项式的展开式中系数为有理数的项的个数是
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5.已知，，则
A. B. C. D.
6.已知点在曲线上，，其中F点的坐标为，则
A. 2 B. C. D. 3
7.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，D是AC中点，则
A. 2 B. C. D.
8.定义在R上的奇函数满足，当时，，则
A. B. C. 6 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某厂生产的零件尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与5的误差不超过即合格，若从这批产品中随机抽取3件，则
A. B.
C. 抽出的3件都合格的概率为 D. 抽出的3件中只有1件合格的概率为
10.已知函数，则
A. 的最小正周期是
B. 在上有3个零点
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上既有极大值点，也有极小值点
11.在平面直角坐标系xOy中，定义原点的“相伴点”是原点，当不是原点时，P的“相伴点”为平面曲线C上所有点的“相伴点”所构成的曲线定义为曲线C的“相伴曲线”，则下列说法正确的是
A. 若A的坐标为，则A的“相伴点”的坐标为
B. 若不在直线上的点A的“相伴点”是点，则直线与直线OA关于直线对称
C. 若曲线C是以原点为圆心的圆，则其“相伴曲线”也是圆
D. 若曲线C是一条直线，则曲线C的“相伴曲线”也是一条直线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 .
13.设双曲线的左、右焦点分别为，，点A在曲线C上，，，，则C的离心率为 .
14.已知正四棱台中，侧棱与底面所成的角为，，则该四棱台的体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查满分100分，若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表：
男教师 女教师 总计
优秀 20 15 35
非优秀 10 5 15
总计 30 20 50
根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？
从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，其中
16.本小题15分
已知的首项为整数，其奇数项依次成公差为2的等差数列，偶数项依次成公差为3的等差数列．记为数列的前n项和，是等比数列，，，是的前n项和，，
求的通项公式；
求满足的n的最小值．
17.本小题15分
如图，三棱锥中，底面ABC，E是PB的中点，F是PC的中点，
求证：平面平面PAC；
若，，且二面角的正弦值为，求三棱锥外接球的表面积．
18.本小题17分
已知函数
证明：；
证明：在其定义域内为减函数；
若在的定义域内，恒成立，求实数a的取值范围．
19.本小题17分
已知椭圆截直线所得的线段长为，且椭圆的左顶点A到直线的距离为
求椭圆的方程；
设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求面积的最大值；
过点A作两条斜率分别为，的直线交椭圆于另两点D，E，若，求证：直线DE恒过定点．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：，
所以，
故选：
2.【答案】B
【解析】解：由，所以命题为假命题，则命题为真命题；
又由当时，，所以命题为真命题，则为假命题.
故选：
3.【答案】A
【解析】解：由，可得，
因为，所以，即，解得，
则，则
故选：
4.【答案】A
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，，1，2，……7，
易知当或2或4或6时，
即或5或3或1时，可得系数为有理数项，
所以系数为有理数的项的个数是4，
故选：
5.【答案】B
【解析】解：，
，
两式相加可得：
两式相减可得：，
所以，
故选：
6.【答案】C
【解析】解：因为，所以F为抛物线的焦点，且，则，得，
则抛物线方程为
点在曲线上，所以，则
故选：
7.【答案】D
【解析】解：利用正弦定理结合条件可知：，即，
由余弦定理即，故，，
在中由余弦定理可知：，
在中由余弦定理可知：，
整理得：，即
故选：
8.【答案】B
【解析】解：因是R上的奇函数，则，
又由可得，则，
故，即4为函数的一个周期.
因当时，，则，，
又，，，
，，，
则，
，
则
故选：
9.【答案】BCD
【解析】解：由生产的零件尺寸X服从正态分布，可得对称轴为，
对于A中，因为，可得，
则，所以A错误；
对于B中，由正态分布的对称性，可得，所以B正确；
对于C中，由正态分布的对称性，可得，
所以抽出的3件都合格的概率为，所以C正确；
对于D中，抽出的3件中只有1件合格的概率为，所以D正确.
故选：
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，因为，故A错误；
对于B，因为，
令，解得或
当时，由解得；由解得或，
所以在上共有3个零点，故B正确；
对于C，，
当时，令，所以，
所以当时，函数单调递减，且，，
所以存在，使得，即在上有正有负，
所以在区间上不单调，故C错误；
对于D，因为，
当时，令，所以，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.
且，，，
所以，，
所以在上有两个变号零点，即在上有两个变号零点，
即在区间上既有极大值点，也有极小值点，故D正确.
故选：BD
11.【答案】ABC
【解析】解：若点A的坐标是，则A的“相伴点”的坐标为，即，故A正确；
B.若点A的坐标为不在直线上，那么点A的“相伴点”，
若的其中一个为0时，不妨设，则，，直线与直线OA关于直线对称；
同理可得时，直线与直线OA也关于直线对称；
当时，直线OA的斜率是，直线的斜率为，
所以点在直线上，所以直线与直线OA关于直线对称，故B正确；
C.若曲线C是以原点为圆心的圆，设为，
设点为圆上的任一点，则点A的“相伴点”，即，满足，
所以“相伴曲线”是以原点为圆心，1为半径的圆，故C正确；
D.设直线的方程为，点为直线上任一点，
当点为坐标原点时，则；
当时，，则；
当时，，则；
所以直线的“相伴曲线”由三个点组成，故D错误.
故选：
12.【答案】
【解析】解：因为，
则，所以，
则
故答案为：
13.【答案】
【解析】解：因为双曲线的左、右焦点分别为，，且，，
由双曲线的定义，可得，所以，
又因为，
由余弦定理得，
可得，所以，
所以双曲线C的离心率
故答案为：
14.【答案】
【解析】解：由条件可知，上下底面对角线长为2和4，因为侧棱与底面所成角为，
所以高为，则四棱台的体积
故答案为：
15.【答案】解：解：零假设为：这次成绩是否优秀与性别无关，
由列联表中的数据，
可得，
因为，
故依据小概率值的独立性检验，我们推断成立，
所以这次成绩是否优秀与性别无关，此推断犯错的概率不大于
解：由题意得，随机变量X的可能取值为，
则；；
所以随机变量X的分布列为：
X
0 1 2
P
所以期望为

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：因为，故，故即，
而，故，故，
而即为，故，
故或，当时，，不合题意，舍；
故，此时，故
由得，，
所以，
即，即，
当n为偶数时，，
令，
因为，；
当n为奇数时，，
令，
因为，，
又因为和均单调递增，
故n的最小值为

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：
因为底面ABC，平面ABC，故，
而，故，故，
而平面PAC，故平面PAC，
而平面AEF，故平面平面
由平面PAC，而，故平面PAC，
因为，故，故，
故可以C为原点，以所在的直线建立如图所示的空间直角坐标系，
故，设，
则，
设平面PAB的法向量为，则，
所以，取
设平面PCB的法向量为，则，
所以，取
因为二面角的正弦值为，
故 ，故，
因为平面ABC，而平面ABC，故，
同理，故PB的中点到的距离相等，
故PB的中点为三棱锥外接球的球心，而，
故三棱锥外接球的表面积为

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：令，则，
当时，，当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，故
因为，易知，则，
令，由知，
则在区间上恒成立，又，
所以恒成立，故在其定义域内为减函数.
易知，由，得到，即，
令，则，
由知，当且仅当时取等号，
所以当时，，当时，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，故，得到，
所以实数a的取值范围为

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：椭圆的左顶点到直线的距离为，所以，
设与椭圆交于，
所以，所以，
，所以，所以，
所以椭圆的方程为；
设，，则，
又，所以，
当且仅当时取等号，
从而，即面积的最大值为1；
因为，所以，，
由消去y，得，显然，解得或
点，同理，有，而，，
直线DE的方程为
即，
令，则，
所以，直线DE恒过定点

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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