第21章一元二次方程 强化训练（含答案）2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第21章一元二次方程强化训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、选择题
1． 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．将一元二次方程3x2＝5x-1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．3，5 B．3，1 C．3x2，-5x D．3，-5
3．已知是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（　　）
A． B． C． D．或
4．年年无锡居民人均可支配收入由万元增长至万元，设人均可支配收入的平均增长率为，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．一元二次方程的根是（　　）
A． B．
C．， D．，
6．若、是方程的根，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．关于的方程有实数根，则满足（　　）
A． B．，且
C．且 D．
8．已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．若关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值为　 　．
11．已知关于x的方程有两个实数根，则实数a的取值范围是　 　．
12．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，则该小组共有　 　人．
13．已知方程有一个根是，则代数式的值为　 　．
14．在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为，根据这个规则，方程的解为　 　．
15．已知三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形第三边的取值范围是　 　．
16．对于一元二次方程：，下列是小聪求解的推理过程：
解：两边都减，得①
两边分别分解因式，得②
两边都除以，得③
两边都减，得④
推理过程，开始出现错误的那一步对应的序号是　 　．
三、解答题
17． 解方程
（1）；
（2）．
18．解方程：嘉嘉与淇淇两位同学解方程的过程如下：
嘉嘉： 两边同除以，得 ， 则． 淇淇： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，．
（1）嘉嘉的解法 ___________；淇淇的解法 ___________；（填“正确”或“不正确”）
（2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程．
19．已知关于x的一元二次方程．
（1）已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值；
（2）若此方程有两个相等的实数根，求实数k的值
20．如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长．
（1）要围成生态园的面积为，请求出的长．
（2）围成生态园的面积能否达到？请说明理由．
21．已知m，n分别是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a与ax2+bx+c＝b的一个根，且m＝n+1．
(1)当m＝2，a＝﹣1时，求b与c的值；
(2)用只含字母a，n的代数式表示b；
(3)当a＜0时，函数y＝ax2+bx+c满足b2﹣4ac＝a，b+c≥2a，n≤﹣，求a的取值范围．
22．某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求第二、三这两个月的销售量月平均增长率；
（2）从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加10件．为尽可能让利顾客，赢得市场，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】C
10．【答案】2
11．【答案】a≤1．
12．【答案】9
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】③
17．【答案】（1）解：，
，
或
故 ，.
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
所以 ，
18．【答案】（1）不正确，不正确
（2）（2）解：方法1：当即，方程成立；
当即时，
两边同除以，得，则，
∴，．
方法2：移项，得，
提取公因式，得，
则或，
解得，．
19．【答案】（1）解：∵是此方程的一个根，∴代入方程得：，
解得：，
∴原方程为：，
解得：，
∴方程的另一个根是．
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
20．【答案】（1）解：设米，则米，根据题意得，
，
解得：，
当时，不符合题意，舍去，
答：的长为米．
（2）解：由（1）得：，
整理得：，
∴，
∴方程无解，
∴围成生态园的面积不能达到．
21．【答案】解：(1)∵m，n分别是关于x的一元二次方程与的一个根，∴
由m=n+1，m=2得n = 1
∴ ，
解之：；
(2)∵
由①-②得
，
，由m=n+1，得m-n=1，
故a，
所以，
从而；
(3)∵an2+bn+c=b，b=-na，
∴，
由≥2a得
≥2a，
当a＜0时，n≥-1，
由n≤-得，-1≤n≤-，
由，且，得
，
整理得，，因为a＜0
所以，，
即，
由于在-1≤n≤-时随n的增大而增大，
所以当n= -1时，a= -，当n= -时，a= -
即-≤a≤-
22．【答案】（1）解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为，
依题意得，
，
，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为；
（2）解：设该商品售价定为元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽可能让利顾客，赢得市场，
，
即该商品售价定为72元时，商场当月获利2160元．
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