第21章 一元二次方程 同步练习卷（含答案）2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第21章一元二次方程同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、选择题
1．下列数中，能使成立的的值为（　　）
A． B． C． D．
2．下表是某同学求代数式的值的情况．根据表格，可知方程的根是（　　）
x … 0 1 2 …
… 8 3 0 0 …
A． B．
C．， D．，
3．嘉嘉在解决问题“矩形的面积为6，__________，求矩形的长．”时，设长为x，可列出方程，则横向处应填入的条件为（　　）
A．宽为5 B．宽为10 C．周长为5 D．周长为10
4．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
5．某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列方程一定属于一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
7．若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（　　）
A．且 B．且
C． D．
8．已知关于x的一元二次方程．下列说法中正确的有（　　）
①若，则方程有一个根是1；
②若方程的两根为和2，则有成立；
③若c是方程的一个根，则有成立；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．如图，在长为62m、宽为42m的长方形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为，设道路的宽为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．方程的根是　 　．
11．已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是　 　．
12．若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
13．已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为　 　．
14．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是　 　．
15．将一元二次方程配方为的形式为　 　．
16．用因式分解法解方程，将左边分解因式后有一个因式是，则p的值是　 　．
三、解答题
17．解下列方程：
（1）
（2）
18．已知关于x的一元二次方程kx2-2（k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使=1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
19．如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，要使草坪面积为300平方米，道路宽应为多少米？
20．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
21．如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，．
（1）填空：______，点的坐标是______；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）动点从点出发，沿对角线以每秒个单位长度的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，沿对角线以每秒个单位长度的速度向点运动，直到点为止．设两个点的运动时间均为秒．
当时，求的面积；
当点，运动至四边形为矩形时，请求出此时的值．
22．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例：求多项式的最小值．
解：．因为所以
当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
（1）【理解探究】已知代数式，求A的最小值；
（2）【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由；
（3）【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】A
10．【答案】，
11．【答案】
12．【答案】k＜9且k≠0．
13．【答案】15
14．【答案】2025
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】（1）解：
∴或；
（2）解：
∴或
18．【答案】（1）k＞-且k≠0；（2）不存在.
19．【答案】解：将路平移后如下图：
设道路宽为x米，则根据题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵，
∴，
∴舍去，
∴．
∴道路宽应为2米．
20．【答案】（1）解：设平均增长率为，由题意得：
，
解得：或（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为；
（2）解：设降价元，由题意得：
，
整理得：，
解得：或（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
21．【答案】（1），
（2）证明：由（）得：直线解析式为，点的坐标是，∴，
∵线段平行于轴，
∴点的纵坐标相同，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
（3）解：如图，过作于点，则
∵点在直线上
∴设点坐标为
∵，
∴，
∴
∴由勾股定理得：
∴
整理得：
解得：，（舍去）
∴
∵
∴当时，
∴的面积为
如图，设与交于点
由（）得四边形是平行四边形
∴，
∵
∴
∴四边形为平行四边形
∵
∴当时，
当时，
当点，运动至四边形为矩形时，
∵点的坐标是，点
∴，
∴当时，，
解得：
当时，，
解得：
综上可知：
∴当点，运动至四边形为矩形时，的值为或．
22．【答案】（1）解：∵
∵
∴
∴当时，有最小值，最小值为，
即A的最小值为．
（2）解：，理由如下：
∵
∵
∴
∴
（3）解：由题意得：，
∴
∵
∴
∴
∴当时，有最大值，最大值为4．
答：当t的值为2时，的面积最大，最大值为．
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