二次函数压轴题专项训练（含答案）-2026年中考数学

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二次函数压轴题专项训练-2026年中考数学
1．某学校计划建一个长方形种植园，如图，种植园的一边靠墙，其余边用总长为24m的篱笆围成，已知墙a长为10m，设这个种植园垂直于墙的一边长为x(m)，种植园面积为.
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）根据实际需要，要求这个种植园的面积为，求篱笆AB的长.
2．如图，抛物线 和直线 交于 A，B 两点.
（1） 求 A，B 两点的坐标；
（2） 根据图象，写出当 x 取何值时， .
3．把抛物线 先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y=
（1） 试确定a，h，k的值.
（2）指出抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标.
4．在平面直角坐标系中，已知抛物线和线段，其中点，点，点是抛物线与轴的交点，点是抛物线的顶点．
（1）求直线的解析式；
（2）点在抛物线上，且与点关于对称轴对称，连接，，，射线交轴于点，连接，，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求的值；如果不能，说明理由；
（3）若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，求的取值范围．
5．已知二次函数．
（1）求该二次函数的图象与轴交点的坐标；
（2）求该函数图象的对称轴，并写出在什么范围内，随的增大而增大．
6．抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m，连接AC，BC，DC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若，求m值．
（3）点F坐标为（0，2），连接AF，点P在直线AF上，点Q是平面上任意一点，当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形为菱形时，直接写出Q坐标．
7．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，M为BC中点，点P为抛物线上一动点，已知点A坐标，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求PM的长；
（3）当时，求点P的坐标．
8．如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；
（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
9．大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为2米，且点离地面的高度为3.75米．
请尝试数学建模解决以下问题：
（1）在图1中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式；
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，交于点．为不影响耕作，将点到地面的距离定为1.5米．求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度．
10．已知二次函数（为常数），
（1）若，求该二次函数图象的对称轴；
（2）若，该二次函数在时有最小值2，求的值；
（3）将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值．
11．如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面．
（1）请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
（2）若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？
12．某超市以每千克30元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当这种干果每千克降价多少元时，超市获利最大，最大利润是多少元？
13．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标．
14．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
（1）求此二次函数图象的对称轴；
（2）若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交点，连接．若点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接交于点，当时，求点的坐标；
（3）设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，设．
①直接写出关于的函数解析式；
②当时，直接写出的取值范围．
16．已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为．抛物线，
（1）当抛物线经过点A时，求抛物线的表达式；
（2）把线段绕点旋转得到，若点在抛物线上，求出该抛物线的顶点坐标；
（3）定义：第一象限的点的极坐标记为，其中表示的长度，表示与轴的夹角，若在抛物线上，令表示抛物线的顶点的极坐标．
①若，则的最小值是________；
②令，若要使抛物线在之间的图像上总有两个点的纵坐标相等，直接写出的取值范围__________．
17．如图1，已知，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，顶点为．
（1）填空：____，点的坐标为______；
（2）若该图象上一点不与点重合的横坐标为，满足，求的值；
（3）平移的图象，使其顶点始终在直线上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段有公共点时，求抛物线顶点的横坐标的取值范围．
18．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点，点，，与抛物线交于点．连结、．
（1）直接写出的长度为_________．
（2）求的长度．
（3）求这个二次函数的表达式．
（4）如图②，点从点出发，沿射线向点运动；同时，点从点出发，沿射线向点运动，两点运动的时间为秒，速度均为1个单位长度/秒，当点到达终点时，点也随之停止运动．作轴，交于点．当直线垂直于的一条边时，直接写出值．
19．抛物线与轴交于点， 两点，与 轴交于点，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的函数解析式和直线的解析式；
（2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值；
（3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，平面内存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标．
20．如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，．
（1）求图象对应的函数表达式；
（2）若图象过点，点P位于第一象限，且在图象上，直线l过点P且与x轴平行，与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求点P的坐标；
（3）如图②，D，E分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点A作．交图象于点F，连接EF，当时，求图象对应的函数表达式．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由题意得，，则，
∴，
由题意，，解得：，
∴；
（2）解：令，则，解得：，，
由（1）得：，
，
答：篱笆AB的长为5m.
2．【答案】（1）解：根据题意得
解得或
的坐标是(-1，-1)，点B的坐标是；
（2）解：根据图象得到二次函数的图象在一次函数图象上方是自变量的取值范围为.
∴当时， .
3．【答案】（1）解：∵把抛物线 先向左平移2 个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线
∴可以看做是将抛物线 先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到抛物线y=a(x-
∵将抛物线 先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到抛物线
（2）解：抛物线 的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，-5)
4．【答案】（1）解：设的解析式为，
把点，点代入得，，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：四边形能构成平行四边形，理由：
∵，
抛物线顶点，对称轴为直线，
当时，，
点，
、都在抛物线上，且关于对称轴对称，
，
，，，
，且，
，
，，，
向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，
当向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到时，四边形是平行四边形，
∵在轴上，
，
；
（3）解：联立，
整理得：，
，
当时，即时，直线与抛物线只有一个交点，交点在线段上，如图：
当时，即时，直线与抛物线有两个交点，
若抛物线过时，，
解得，
此时直线与抛物线有两个交点，坐标分别为，都在线段上；如图：
当抛物线过时，，
解得，
此时直线与抛物线有两个交点坐标分别为，，只有一个点在线段上；如图：
综上所述，抛物线与线段只有一个交点时，的取值范围为或．．
5．【答案】（1）解：令，
解得：，
∴二次函数的图象与轴交点的坐标为；

（2）解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大．
6．【答案】（1）；
（2）的值为或；
（3）点的坐标为，或，或或，．
7．【答案】（1）；（2）或；（3）或或
8．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）（﹣，）
（3）（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，）
9．【答案】（1）解：由题意可得，
设与之间的函数关系式，将点代入，
得，解得．
水流所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：点到地面的距离定为1.5米，
将代入得：
，
解得：，
，
，
设直线的函数关系式为，将点，代入得，
，解得：，
直线的函数关系式为，
设，
，
，
，
，
当时，有最大值，为1，
做这一个支架所需铝合金材料的最大长度为米．
10．【答案】（1）解：∵，
∴（为常数），
∴，
∴二次函数的对称轴是．

（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴是．
当时，函数有最小值．即，
解得：（舍去）或；
当时，函数有最小值．即，
解得：（舍去）或
综上，或．
（3）解：如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，．观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大，
当时，恒成立，即时，m的最大值为．
∴，得（舍去）或3．
∴，得或．
∴m的最大值为．
11．【答案】（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一），
设抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得：，
．
（2）解：能通过，理由如下：
当时，，
能通过．
12．【答案】（1）解：设y与x之间的函数解析式为．把代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数解析式为；
（2）解：由题意得：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
答∶当这种干果每千克降价10元时，超市获利最大，最大利润是4000元．
13．【答案】（1）
（2）
14．【答案】（1）此二次函数图象的对称轴是直线
（2）
15．【答案】（1）
（2）点的坐标为或
（3）①；②
16．【答案】（1）
（2）或
（3）①；②
17．【答案】（1），；
（2）或；
（3）．
18．【答案】（1）3
（2）5
（3）
（4）当或2时，直线垂直于的一条边；
19．【答案】（1）；
（2），最大值为
（3）点的坐标为或
20．【答案】（1）
（2）点P的坐标为
（3）
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