2.2圆的对称性例题精讲与跟踪训练（含解析）-数学九年级上册苏科版

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2.2圆的对称性例题精讲与跟踪训练-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．如图，是的弦，是的中点，交于点．若，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．下列语句中正确的有（ ）
相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； 半圆是弧．
A．个 B．个 C．个 D．个
3．如图，是的直径，将劣弧沿弦折叠，折叠后的弧恰好与相切于的中点，若，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
5．如图，在中，是直径，是弦，，垂足为．若，，则的长度为（ ）
A．2 B． C． D．3
6．如图，在半径为5的圆O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
7．如图，在中，①分别以弦的端点A，为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点；②作直线交于点，交于点C．若，，则（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点是运行轨道的最低点，则点到弦的距离为（ ）
A．5米 B．4米 C．3米 D．2米
二、填空题
9．如图，在中，弦，，，则的半径长为 ．
10．在半径为的圆中，弦，，，则弦与之间的距离为 ．
11．一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ．
12．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为 （结果保留整数）
13．如图，在扇形中，，，C为的中点，D 为 上一点，且，连接，在绕点O旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ．
14．如图， 的直径为10，的直径为13，的圆心恰好在的圆周上，连接两圆交点所得弦的长为 ．
15．如图，水暖管横截面是圆，当半径的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度为，则积水的最大深度是 ．
16．图1是圆形置物架，示意图如图2所示，已知置物板，且点E是的中点，测得，，，，则该圆形置物架的半径为 cm．
三、解答题
17．如图，为的直径，弦于点E，若，求弦的长．
18．如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
19．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.7m，地面入口宽为1.8m，求该门洞的半径．
20．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．

(1)求的半径长；
(2)连接，作于点F，求的长．
21．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何 ”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），求该圆材的直径为多少寸
22．如图，内接于，，，垂足为D．
(1)请用无刻度的直尺在上找一点P，使得平分，保留作图痕迹，并说明理由；
(2)若，，求的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B B A D A D
1．B
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出是的垂直平分线是解答此题的关键．
连接，由垂径定理得，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵C是的中点，
∴，
在中，，， ，
由勾股定理可得，，则，
即的半径为
故选：B
2．A
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理推论，圆的对称性，弧的定义，根据圆心角、弧、弦的关系即可判断；根据垂径定理推论，即可判断；根据对称轴是直线，即可判断；根据弧的定义，即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故不正确；
平分不是直径的弦的直径垂直于弦；故不正确；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；故不正确；
半圆是弧，故正确；
综上可知正确的有，共个，
故选：．
3．B
【分析】本题考查了对称的性质，圆的相关性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．设实线劣弧所在圆的圆心为，连接，，，，根据题意可得和互相垂直平分，设圆的半径为，即，得到，由勾股定理可得，则，由切线定理和是的中点，可得，，在中，由勾股定理可得，进而得到，求出，即可求解．
【详解】解：如图，设实线劣弧所在圆的圆心为，连接，，，，
、关于对称，垂直平分，
，的半径相等，两圆为等圆，
设圆的半径为，即，
为和的公共弦，
也垂直平分，
，
在中，，
，
为切点，是的中点，
，，
在中，，
，
，
解得：，
，
的半径为，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间等分关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线．如图，取弧的中点，连接，．证明，再利用三角形的三边关系解决问题．
【详解】解：如图，取弧的中点，连接，．
，，
，
，
，
．
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，由题意得，由垂径定理得出，由勾股定理得出，再由计算即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
由题意得：，
∵在中，是直径，是弦，，垂足为．
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6．D
【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，作出辅助线是解题的关键．作于M，于N，连接，，首先利用勾股定理求出的长，然后判定四边形是正方形即可得到答案．
【详解】解：作于M，于N，连接，，
由垂径定理得
勾股定理得：，
弦互相垂直，
，
于M，于N，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了作图-基本作图，垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是根据作图过程可得．
根据作图过程和圆的性质可得是的垂直平分线，先根据勾股定理可得的长，进而可得的值．
【详解】解：如图，连接，
，
根据作图过程可知：是的垂直平分线，
，
在中，，
根据勾股定理，得，
，
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可．
【详解】解：如图，连接、，交于点，
由题意得：米，，
（米，，
（米，
米，
故选：D
9．10
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解本题的关键．根据垂径定理求出，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：连接，
，，
，
，
，
的半径长为：10．
故答案为：10．
10．或
【分析】此题主要考查的是垂径定理以及勾股定理，根据垂径定理及勾股定理，可求出弦的弦心距；由于两弦的位置不确定，因此需要分类讨论．
【详解】解：如图①，连接，过点O作交于点F，交于点E，
，所以，
∴中，，，
同理可得：；
故；
如图②，
同（1）可得：，；
故；
所以与的距离是或
故答案为：或
11．
【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．如图，记圆心为，连接，作于，作于，则，，由矩形的性质可知，，则三点共线，设，则，由勾股定理得，，即；，即；由，可得，可求，则，进而可求纸杯的直径．
【详解】解：如图，记圆心为，连接，作于，作于，
∴，，
由矩形的性质可知，，
∴三点共线，
设，则，
由勾股定理得，，即；
，即；
∵，
∴，
解得，，
∴或（舍去），
∴纸杯的直径是，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查线段最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题
【详解】解：∵，
∴
∵C为的中点，
∴，
在绕点O旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图，
∵，
∴，
∴
又
∴是等边三角形，
∵C为的中点，
由勾股定理得，，
∴的周长，
故答案为：
14．/
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是利用两个直角三角形表达出同一条边列出方程解答即可．连接相交于点，在和中，表示出的长度，列方程求解即可．
【详解】解：连接相交于点，
，，
为，的共同弦，
，
设，则，
在中，
，
，
在中，
，
，
解得：，
，
或（舍去）
．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是求出的长，由垂径定理得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
故答案为：．
16．14
【分析】本题考查三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，垂径定理的推论，勾股定理，含30度的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线找出圆心所在的直线是解题的关键．
【详解】过点B作于点M，取的中点Q，连接并延长交AC于点P，
∵Q是BM的中点，点E是的中点，
∴，，
∴点P、Q、E、F共线，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形，，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，，，
又∵，
∴，，
∴四边形，也是矩形，
∴，，，
∴，
∴是的垂直平分线，即直线是直径所在的直线，
在上取圆心为O，连接，
设，则，
在Rt△APO中，
∴，
解得：，
故答案为：14．
17．24
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，连接，根据垂径定理得到，根据求出的长，根据求出的长，利用勾股定理求出，即可得到的长．
【详解】解：连接，如图所示：
∵为的直径，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
18．(1)的度数为；
(2)
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．
（1）求出的度数，求出所对的弧的度数，即可得出答案；
（2）作，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
【详解】（1）解：连接，
，，
，
，
，
，
，
的度数为；
（2）解：作，如图，则，
在中，，
∴，
，
，
在中，，
．
19．该门洞的半径为．
【分析】本题主要考查垂径定理的应用．设半径为，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设圆的半径为，
由题意可知，，，，
中，，即，
解得．
答：该门洞的半径为．
20．(1)5
(2)
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理求线段是解题的关键．
（1）连接，如图，设的半径长为r，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可；
（2）先利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长．
【详解】（1）解：连接，如图，设的半径长为r，
∵，
∴，，
在中，
∵，，，
∴，
解得，
即的半径长为5；
（2）解：在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
即的长为．

21．该圆材的直径为20寸
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，过点作 于点，交于点，连接，设半径为，则，由勾股定理建立方程即可求得，从而求得圆的直径．
【详解】解：设该圆材的半径为寸．
如图所示，过点作 于点，交于点，连接，
则寸，
设寸，尺寸，
所以 寸．
在中，
即
解得，
则，即该圆材的直径为寸．
22．(1)图见解析，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理：
（1）连接并延长交于点P，则点P即为所求作的点．
（2）过点O作，垂足为H，求出由勾股定理求出,从而得,在中由勾股定理求出
【详解】（1）解：连接并延长交于点P，则点P即为所求作的点．
理由：连接，
∵，
∴
又，
∴
∴
又∵，
∴垂直平分，
由垂径定理：点P是的中点，
∴平分．
（2）解：过点O作，垂足为H，
∵是等腰直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∵
∴，
∴
又
∴
∴．
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