2.4圆周角例题精讲与跟踪训练（含解析）-数学九年级上册苏科版

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2.4圆周角例题精讲与跟踪训练-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
2．如图， ，，，是上的四个点，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．连接，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，点A，B，C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈，和，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且为的中点，连接．若，对于结论I，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论I：连接必得到等腰梯形；
结论Ⅱ：连接的最大值为8．
A．I，Ⅱ都对 B．I，Ⅱ都不对 C．I对Ⅱ不对 D．I不对Ⅱ对
6．如图，在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，是直径，是弦，于点E，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，四边形是圆的内接四边形，，则 ．
10．如图，为的直径，C为上一点，，交于点D，连接，那么 ．
11．如图，点A、、在上，，，则的半径为 ．
12．如图，为上的点，于点．若，，则的长为 ．

13．如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则的半径长为 ．
14．如图，点D为边上一点，点O为边上一点，．以O为圆心，长为半径作半圆，交于另一点E，交于点F、G，连接．若，则 °．
15．如图，点，均在半径为2的上，以，为邻边作平行四边形，作点关于的对称点，连接，则的最大值为 ．
16．如图，在中，，，，点是边上一动点不与、重合，以为直径的交于点，连接交于点，连接，当点在边上移动时，则的最小值为 ．
三、解答题
17．如图，点A、B、C、D在上，与分别相交于点E、F，如果，那么与相等吗？请说明理由．
18．如图，是的直径，，，是的弦，且，求证：．
19．如图，，分别是的直径和弦，于点，连接、，，，求的长．
20．如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接，分别交于于．
(1)求证：；
(2)连接，若的半径为2，求的长．
21．如图所示，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
如图，圆内接四边形ABCDABCD的对角线ACAC，BDBD交于点EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD
(1)求证：平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点，若，，试求四边形的面积和此圆半径的长．
22．如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，延长，交于点F，与交于点G．
（Ⅰ）如图①，若点C为的中点，求的度数；
（Ⅱ）如图②，若，求的半径．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B C A C D C
1．C
【分析】根据圆的内接四边形对角互补，计算解答即可．
本题考查了圆的内接四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形．
∴．
∵，
∴．
故选：C．
2．D
【分析】此题考查了圆内接四边形的性质.先求出，再根据圆内接四边形对角互补即可得到答案.
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故选：D
3．B
【分析】本题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出及的度数，进而可得出结论，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
4．C
【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理．根据题意补全图形，可得，，由圆周角定理可知，，，再利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，点为外圈所对的圆心，连接、、，

由题意得，，
由圆周角定理可知，，，
∴，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，根据，为对角线或为边长两种情况去证明结论I，根据可得当在上时取得最大值判断结论Ⅱ．
【详解】连接，
当，为对角线时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴根据对角线相等的梯形是等腰梯形，四边形为等腰梯形；
当，为边长时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴根据不相邻的两条边相等的梯形是等腰梯形，可得四边形为等腰梯形；
综上所述，结论I：连接必得到等腰梯形，正确；
连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，，
∴，，
∴，，
∴，
∴当在上时取得最大值，最大值为8．故结论Ⅱ正确；
综上所述，两个结论都正确；
故选：A．
6．C
【分析】此题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可.
【详解】解：∵，
∴
故选：C
7．D
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出的度数，再根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是直径，是弦，于点E，
∴，
∴；
故选D．
8．C
【分析】本题考查圆周角定理等，连接，根据圆周角定理求出，根据可求得的度数．掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：如图，连接．
，
，
，
．
故选：．
9．
【分析】本题考查了圆内接四边形性质，补角性质，由圆内接四边形性质可得，进而由补角性质可得，掌握圆内接四边形性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
10．/40度
【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识点，掌握圆周角定理成为解题的关键．
先求出，再结合等腰三角形的性质可得，最后根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：如图：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为．
11．6
【分析】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、运用圆周角定理成为解题的关键．
如图：连接，由圆周角定理可得，再证明是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可解答．
【详解】解：如图：连接，
∵，
，
又∵，
是等边三角形，
．
故答案为6．
12．
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，连接，则，，进而由等腰三角形的性质可得，，，即得，得到，再由勾股定理得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，则，，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

13．
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理．根据垂径定理得出，根据圆周角定理得出，中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，弦，，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
14．33
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，根据等边对等角得出，然后根据圆周角定理得出的度数，最后根据三角形外角的性质，进而得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：33．
15．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，圆周角定理．连接，如图，利用对称的性质得，再根据平行四边形的性质得，，所以，利用勾股定理得到，所以当的值最大值，的值最大，然后利用的最大值为6得到的最大值．
【详解】解：连接，如图，
点关于的对称点，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
在中，，
当的值最大值，的值最大，而的最大值为4，
的最大值为．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了圆周角定理、含角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
连，，，得为定角，由此可得在以为弦所对圆心角为的圆弧上运动，设该圆圆心为，连，，，，由两点之间线段最短知：，进而可求的最小值．
【详解】解：在中，，，
，，，
连，，，
为的直径，
，
，
为定角，
在以为弦所对圆心角为的圆弧上运动，
设该圆圆心为，连，，，，则，，
为等边三角形，
，，
，
，
又，
由两点之间线段最短知：，
，
当、、在一直线时．有最小值为：．
故答案为：．
17．，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，圆周角定理，“圆周角，弧，弦”之间的关系，先根据圆的基础定义和“等边对等角”得，再根据“边角边”证明，可得，最后根据“圆周角，弧，弦”之间的关系和圆周角定理得出答案．
【详解】解：点A，B，C，D在⊙上
，
，
在和中，
，
，
，
．
18．见解析
【分析】本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，连接，根据，得出，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据平行线的判定得出答案即可．
【详解】证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．
【分析】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，勾股定理，能根据垂径定理求出的长是解答此题的关键．先根据圆周角定理得到，由勾股定理即可求出的长，再根据于点D可得出，再由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
又∵，，
，
于点D，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识，作出合理的辅助线并熟练运用圆周角定理、三角形中位线定理是解题的关键．
（1）根据圆周角定理求出，结合对顶角相等及三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据“等角对等边”即可得证；
（2）连接，，，，结合圆周角定理、三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出为的中点，为的中点，根据三角形中位线的判定与性质求．根据圆周角定理求出，进而推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
平分，
，
又，
，
又，
，
，
，
∵，
∴，
，
；
（2）解：如图，连接，，，，
，，
，
，
又，
为的中点．
由（1）知，，
为的中点，
是的中位线，
．
，
，
是等腰直角三角形，
．
，
，
．
21．(1)见解析
(2)；
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到，由垂径定理推出是等边三角形．
（1）由圆周角定理得到，而，因此，得到平分，由圆内接四边形的性质得到，即可求出；
（2）由垂径定理推出是等边三角形，得到由，得到，由平行线的性质求出，由圆内接四边形的性质求出，得到，由直角三角形的性质得到，因为是圆的直径，即可得到圆半径的长是4．
【详解】（1）证明：，，
，
平分，
平分，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
是圆的直径，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，，
，
是圆的直径，
圆的半径长是4，
．
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题关键．
（Ⅰ）先求出弧的度数，再根据圆周角定理可得，由此即可得；
（Ⅱ）连接，先求出，从而可得，再根据垂径定理可得，然后设的半径为，则，在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（Ⅰ）∵为的直径，点为的中点，点为的中点，
∴，
∴弧的度数为，
∴，
∵，
∴，
∴；
（Ⅱ）如图，连接，
∵为的直径，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，即，
解得，
所以的半径为．
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