2.5直线与圆的位置关系例题精讲与跟踪训练（含解析）-数学九年级上册苏科版

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2.5直线与圆的位置关系例题精讲与跟踪训练-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，为的切线，A为切点，交于点C，点B在上，连接，．若的度数为，则的度数是（ ）．

A． B． C． D．
3．如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．无法确定
4．如图，在中，，，，则的内切圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．如图，已知的直径与弦的夹角为，过C点的切线与的延长线交于点P，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．直角三角形的两直角边分别为a，b，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则a，b，R，r 四者之间的关系是 （ ）
A． B．
C． D．
7．如图，是的内切圆，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知直线交于A，B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为10，则的长等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题
9．如图，点是的内心，若，则 ．
10．如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °．
11．如图，点在上，直径，，垂足为，点是的内心，，点在其上，，则 ．
12．如图，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为3，P为x轴上一动点，切于点B， 则最小值是 ．
13．如图，、分别切于点，，点是上一点，且，则的度数为 ．
14．如图，与相切于点，与弦相交于点，，若，，则的长为 ．
15．如图，、的坐标分别为和，，为的内切圆，则的横坐标为 ．

16．如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则线段的长为 ．
三、解答题
17．如图，已知中，．
(1)作一个圆，使圆心O在边上，且与所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求（1）中所作的的半径．
18．如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长．
19．如图，是的直径，是的切线，于点E，交于点，连接．求证：是的切线．
20．如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在的延长线上，与半圆相切于点，与的延长线相交于点，与相交于点，．求证：．
21．如图，四边形为平行四边形，O为上一点，以为半径作，与，的延长线分别相切于点B，E，与相交于点
(1)求的度数；
(2)试探究，，之间的数量关系，并证明.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C A B A C C
1．A
【分析】本题考查了确定圆的性质，圆周角定理和三角形的内心和外心，熟悉相关性质是解题的关键．根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆周角定理对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据三角形内心的定义对④进行判断．
【详解】解：不共线的三点确定一个圆，所以①错误；
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以②错误；
同圆或等圆中，等弦所对的优弧或劣弧对应相等，所以③错误；
三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以④正确；
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据圆周角定理得出，根据切线的性质得出，最后求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：

∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，故C正确．
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．利用切线长定理，可以得到：，再根据的周长为16，即可求解．
【详解】解：∵是的切线，．
∴，
同理，，
三角形的周长．
，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质、三角形面积公式，由勾股定理求出，设内切圆与边的切点为，与边的切点为，与边的切点为，连接，，，，，，圆的半径为，则，，，，再由等面积法得出，即可得解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
设内切圆与边的切点为，与边的切点为，与边的切点为，连接，，，，，，圆的半径为，
，
则，，，，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了切线的性质、三角形的外角定理和等腰三角形的性质，切记切线垂直于过切点的半径，直角三角形两锐角互余，本题先求出，再利用切线的性质得到，由此可以求出．
【详解】，
，
，
是的切线，
，
，
，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．切于E，切于F，切于D，得出正方形推出，根据切线长定理结合三角形的周长求出，即可求出答案．
【详解】解：如图，切于E，切于F，切于D，连接，
则，，
∴四边形是正方形，
∴，
由切线长定理得：，
∵直角三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，
∴，
即的周长是
，
∴，
故选：A．
7．C
【分析】本题主要考查了三角形内切圆的定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的内切圆，
∴分别平分，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，连接，根据题意可证得，再根据角平分线的性质，得，过作，则，得四边形为矩形，设，在中，由勾股定理得，从而求得的值，由垂径定理得出的长．
【详解】连接，过作，垂足为，
，
，
平分，
，
，
∴，
，
，
四边形为矩形，
，．
，
设，则，
的直径为10，
，
，
在中，由勾股定理得．
即，
解得，．
大于，故舍去，
，
，，
，由垂径定理知，为的中点，
．
故选：C．
9．/125度
【分析】本题考查了三角形内心的概念，角平分线的定义，掌握三角形内心的定义是解题的关键；
先根据三角形的内心的定义得到平分，平分，根据角平线的定义得，再根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：，
，
点I是的内心，，
平分，平分，
，
，
故答案为：．
10．35
【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接，构造直角三角形，利用，从而得出的度数．
【详解】解：连接，
与相切于点，
，
，
；
，
，
故答案为：35
11．
【分析】连接、、、，作于，于，于，于，由圆周角定理得出，由勾股定理得出，由等面积法得出，由勾股定理得出，由角平分线的性质定理得出，结合，求出，由题意得出，证明四边形为矩形，得出，推出，再由得出，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：如图，连接、、、，作于，于，于，于，
，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点是的内心，
∴平分，平分，平分，
∵，，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、角平分线的性质定理、三角形内心、矩形的判定与性质、等面积法等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
12．4
【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、垂线段最短等知识点，解题的关键是将的最小值问题转化成的最小值问题是解题的关键．
如图，连接，由勾股定理可知要使最小，只需最小；当轴于P时，最短，可确定点P的坐标，进而确定，最后在中求出的值即可．
【详解】解：如图，连接，
根据切线的性质定理，得
，
∴要使最小，只需最小
当轴于P时，最短，
此时P点的坐标是，
∵A点坐标为，
∴，
在中，，，
∴，
∴最小值是4．
故答案为：4．
13．/80度
【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质和四边形内角和定理，先由圆周角定理得到，再由切线的性质得到，据此根据四边形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵、分别切于点，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．4
【分析】本题考查了切线的性质，连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，设，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可，熟知切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
【详解】解：连接，如图，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
解得，
即的长为4．
故答案为：4．
15．
【分析】本题考查圆内切三角形的性质，切线长定理，坐标与图形．设的内切圆的各切点分别为、、，连接，根据三角形内切圆的性质可得出，根据切线长定理可得出，，．结合题意可求出，，从而得出，，进而可求出，即圆心的横坐标．
【详解】解：如图，设的内切圆的各切点分别为、、，连接，

∴，，，．
∵，即，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，即，
∴，，
∴，
∴圆心的横坐标为．
故答案为：．
16．
【分析】如图，作于H，证明，，四边形为矩形，可得，证明，再进一步可得答案．
【详解】解：如图，作于H，
∵直径于H，，为的切线，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，分别切于C，B，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，关键是通过辅助线构造直角三角形，求出的长．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作的平分线，交于点O，以O为圆心，以长为半径画圆，即为所求作；
（2）过点O作于点H，根据角平分线性质得到，判定点H在上，是的切线，求出，根据，即可求得．
【详解】（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交于点D、E，
分别以点D、E为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，
作射线交于点O，
以O为半径，以长为半径画圆，
即为所求作；
（2）过点O作于点H，
∵，
∴，
∴是的切线，
∵平分，
∴，
∴点H在上，是的切线，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故的半径为．
【点睛】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握基本作图，圆的切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积法求三角形高，是解决本题的关键．
18．10
【分析】本题考查了切线长定理，关键是把的周长转化为；根据切线长定理得，由此得的周长为，从而可求得结果．
【详解】解：∵是的切线，
∴；
∵过点C的切线分别交于点D、E，
∴；
∵的周长20，
∴，
∴，
即，
∴．
19．证明见解析
【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，线段垂直平分线的性质与判定等等，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键．
先由切线的性质得到，再由垂径定理得到是的垂直平分线，则，据此证明，得到，即可证明是的切线．
【详解】证明：如图，连接，
是的切线，
，
，
是的垂直平分线，
，
又，，
，
，
是的半径，
是的切线．
20．见解析
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质等知识，要证，就是证．连接，可得，只需证，即可．
【详解】证明：如解图，连接，
与半圆相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
21．(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，切线的性质．
（1）连接，根据切线的性质结合平行四边形的性质得出，再根据三角形外角的性质得出的度数即可推出结果；
（2）连接，根据证明≌得出，，即可推出结论．
【详解】（1）解：连接，
为切线，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
在平行四边形中，，
；
（2）解：，证明如下：
连接，
由（1）可得，，，
∴，
∴，
又为切线，
，
∴，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
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