2.7弧长及扇形的面积例题精讲与跟踪训练（含解析）-数学九年级上册苏科版

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2.7弧长及扇形的面积例题精讲与跟踪训练-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．若扇形面积为，圆心角为，则它的弧长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，若的半径是，、两点在上，且，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知四边形是的内接四边形，的半径为6，，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，以点O为圆心的半圆分别与边、相切于点D、E，连接．已知，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，边长相等的正六边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是4，那么非阴影部分面积是（　　）
A．8 B． C．4 D．
7．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，的直径，D为半圆的中点，P点从D出发，沿的路径移动，移动到C点停止，Q点从B出发，沿下半圆的路径移动，移动到C点停止，Q的速度是P速度的倍，的长度变化的函数图像为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有相对滑动，则重物上升了 ．
10．半径为厘米的扇形，其弧长为厘米，这个扇形的圆心角为 ．
11．如图，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之停止运动，请求出点的运动路径长为 ．
12．如图，扇形的顶点在上，边、分别与交于点、．若的直径为2，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
13．如图，在矩形中，，以为直径的半圆与相切于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
14．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）
15．传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2，马面裙可以近似的看作扇环，其中的长为，裙长为，圆心角，则的长为 m．
16．如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为 ．
三、解答题
17．如图，在中，，过点D作半圆O的切线，交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18．如图，在中，，，将绕点O顺时针旋转后得．
(1)求点A扫过的弧的长；
(2)求线段AB扫过的面积．
19．如图，是的直径，点和点是上的两点，延长到点，连接，，，且．

(1)求证：为的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
20．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出绕坐标原点O顺时针旋转的；
(2)在旋转过程中，求点B旋转到所经过的路径长．
21．现有成 角且足够长的墙角和可建总长为 围墙的建筑用料来修建储料场．
(1)如图1，修建成一个半圆储料场，圆弧为新建围墙，求：
①储料场的半径；
②储料场的面积．
(2)小林建议：把新建围墙建成如图2所示的以 为圆心的，这样修建的储料场会更大，你认为小林的建议合理吗？请说明理由．
22．在中，，以为直径的分别与交于点D、E，过点作于点．
(1)求证：是的切线∶
(2)如图，若的半径为，求阴影部分的面积．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B D D B C A
1．C
【分析】本题考查扇形的面积公式，弧长公式等知识，利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式计算即可．解题的关键是记住扇形的面积公式以及弧长公式．
【详解】解：设扇形的半径为，
由题意：，
解得，
∴扇形的弧长，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键；
根据弧长公式计算即可；
【详解】解：；
故选：B
3．B
【分析】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式 ．
连接，然后根据圆周角定理求得的度数，最后根据弧长公式求解．
【详解】连接，
∵，
∴，
则劣弧的长为：．
故选B．
4．D
【分析】本题考查扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式：．据此计算即可．
【详解】解：由题意得：，
∴扇形的面积为．
故选：D．
5．D
【分析】连接，根据切线的性质可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，从而可得，再根据，从而可得四边形是正方形，再根据正方形的性质可得，最后证明，从而利用相似三角形的性质可求出，再根据阴影部分的面积的面积正方形的面积（扇形的面积扇形的面积）进行计算即可解答．
【详解】解：如图：连接，
以点O为圆心的半圆分别与边、相切于点D、E，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
解得：，
阴影部分的面积的面积正方形的面积（扇形的面积+扇形EOG的面积）
，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，扇形面积公式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形、正方形的性质是正确解答的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长，即正六边形的边长，由正六边形的性质以及面积的计算方法求出正六边形的面积即可．
【详解】解：∵阴影正方形面积是4，
∴正方形的边长为2，
即正六边形的边长为2，
∴正六边形的面积为，
∴非阴影部分面积是，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了勾股定理、三角形内切圆、面积法求内切圆半径、扇形面积等知识点，求出内切圆半径是解题的关键．
连结、、，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形是正方形，再根据求解即可．
【详解】解：如图：连接、、，，设半径为，
，，，
，
的内切圆与，，分别相切于点，，，
，，，且，
，
四边形是正方形，
，
，
，．
故选：C．
8．A
【分析】设点P的运动速度为1，则点Q的运动速度为，运用特殊值，几何排除法求解即可．
【详解】解：设点P的运动速度为1，则点Q的运动速度为，
如图，当时，则，的长为，
连接，作于点E，作，交的延长线于点E，则四边形是矩形，
∴．
∵，
∴，
∴， ，
∴，
∴，故C，D不符合题意；
如图，当时，则，的长为，
∴的长为，
连接，作于点E，作，交的延长线于点E，则四边形是矩形，
∴．
∵，
∴，
∴， ，
∴，
∴，故B不符合题意，A符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，弧长公式，解直角三角形，特殊值法的运用是解答本题的关键．
9．
【分析】利用弧长公式计算即可．本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
【详解】解：重物上升的高度为：，
故答案为：．
10．
【分析】此题考查了弧长公式，设这个扇形的圆心角度数为，半径为厘米的扇形，其弧长为厘米，则，解方程即可．
【详解】解：设这个扇形的圆心角度数为，则
，
解得
故答案为：
11．
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角、求弧长等知识，确定点的运动路径是解题关键．首先证明，结合全等三角形的性质可证明；连接，交于点，结合可知点的运动路径在以为直径的圆上，且为圆心角为的圆弧，然后求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，即，
连接，交于点，如下图，
∵点在运动中保持，
∴点的运动路径在以为直径的圆上，
又∵当点运动到点时，点到达点，
∴此时点与点重合，即点的运动路径为圆心角为的圆弧，
∴点的运动路径长为．
12．/
【分析】本题考查了扇形面积的计算和圆周角定理．连接，根据，可知为直径，可得，再根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，
，
为直径，
，
，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
连接，根据切线的性质得到，根据正方形的性质得到，，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：连接，
是半圆的切线，
，
，，
四边形为正方形，
，
，，
，
，
故答案为：．
14．/
【分析】本题考查了求扇形面积．利用扇形面积公式，根据即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．由弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为，即可计算．
【详解】解：圆心角，
的长，
米，
（米，
的长（米，
故答案为：
16．/
【分析】本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，勾股定理，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键．根据旋转的性质得到，，进而得到，再结合扇形面积公式和勾股定理求解，即可解题．
【详解】解：将绕点B逆时针旋转得到，
，，
，
在中，，，
，
上式．
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到，，求得，推出是等边三角形，得到，，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
为直径，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴
∵
∴，，
是等边三角形，
的长为，
18．(1)
(2)4π
【分析】本题考查扇形的面积，弧长的计算，旋转的性质，关键是掌握弧长公式，由图形得到阴影的面积．
（1）由旋转的性质得到：，，根据弧长公式即可解答；
（2）由旋转的性质得到阴影的面积，结合扇形面积公式即可解答．
【详解】（1）解：由旋转的性质得到：，，
∴，
∴点A扫过的弧长是；
（2）解：由旋转的性质得到：，，的面积的面积，
∵阴影的面积
∴阴影的面积
19．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，求不规则图形的阴影部分面积等知识；
（1）连接，由圆的基本性质得，结合等腰三角形的性质得，由直径所对的圆周角是直角得，即可求解；
（2）由勾股定理得，由即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
为的切线；
（2）解：，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）在平面直角坐标系中画出的对应点,然后顺次连接即可；
（2）求出的长，根据弧长公式进行计算即可求出点B所经过的路径长．
此题考查作图-旋转变换，解题关键在于掌握作图法则．
【详解】（1）如图，即为所求；
（2）∵，
∴的长．
21．(1)①， ②
(2)小林的建议合理，理由见解析
【分析】本题考查圆的性质，扇形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据圆的周长和面积公式求解即可；
（2）根据扇形面积求解，然后比较即可；
【详解】（1）解：① 设半圆的半径为，则 ，
解得 ，
② ；
（2）设 的半径为，则 ，
解得 ，
，
，
小林的建议合理；
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据，，得出，证明，根据平行线的性质进一步证明，根据切线的判定求出即可；
（2）连接，过O作于M，求出、的长和的度数，分别求出和扇形的面积，即可求出答案；
【详解】（1）证明：连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵过点O，
∴是的切线．
（2）连接，过O作于M，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
【点睛】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定以及性质，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，扇形的面积等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
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