22.1二次函数的图像和性质易错精讲与针对性训练（含解析）-数学九年级上册人教版

中小学教育资源及组卷应用平台
22.1二次函数的图像和性质易错精讲与针对性训练-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．当时，y随x的增大而增大
C．有最小值4 D．顶点坐标是
5．抛物线与x轴交于点，则该抛物线与x轴另一交点的坐标是 （ ）
A． B． C． D．
6．定义：若x，y满足且，，且（t为常数），则称点为“和谐点”，若有一个函数满足，其上存在“和谐点”，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若二次函数 在时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．对称轴为直线的抛物线 （、、b、c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大． 其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
9．写出一个顶点在轴负半轴，当时 随 增大而增大的二次函数解析式 （答案不唯一）
10．抛物线的顶点是 ．
11．当 时二次函数 有最 值为
12．如图，在等腰中，，，分别为边上的动点，且满足，则的最大值为 ．
13．设、是常数，且，抛物线为图中四个图象之一，则的值为 ．
14．对于一个抛物线中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为 ．
15．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为斜边作，抛物线的顶点坐标是 ，边上的中线的最小值为 ．
三、解答题
17．已知二次函数的图象经过点和．
(1)求此函数解析式；
(2)求出该抛物线顶点C的坐标，并求出 的面积．
18．已知抛物线，为实数．
(1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标．
(2)如果当时，的最大值为4，求的值．
(3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围．
19．设二次函数（是常数，）．
(1)若，求该函数图象的顶点坐标．
(2)若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
(3)若二次函数图象经过，两点，当，时，，求的取值范围．
20．抛物线交轴于，两点，交轴子点，直线经过点和点．
(1)①求，的值；
②记抛物线的顶点为，则的面积为______；
(2)过点作垂直于轴的直线与抛物线相交于点，求线段的最大值．
21．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A B B D C A
1．A
【分析】本题考查二次函数的图象，根据函数解析式可得图象开口向上，顶点坐标为，据此即可解答．
【详解】解：∵二次函数的图象是一条抛物线，开口向上，顶点坐标为，
∴它的图象大致为
故选：A
2．C
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握当抛物线开口向下时，离对称轴越远的点的纵坐标越小是解题的关键．
由题意可知，二次函数的图象的对称轴为直线，开口方向向下，再根据离对称轴越远的点的纵坐标越小即可得出答案．
【详解】解∶由题意可知，
二次函数的图象的对称轴为直线，开口方向向下，则离对称轴越远的点的纵坐标越小，
∵点A离对称轴最远，点B离对称轴最近，
．
故选∶C．
3．A
【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题关键．直接利用二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”解题即可．
【详解】解：抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
所得的抛物线解析式为．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据函数图象与各系数之间的关系，结合二次函数图象的性质逐一判断即可．
【详解】解：在中，，
图象开口向下，故选项A错误；
二次函数的图象关于直线对称，且开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，故选项B正确；
∴当时，有最大值4，故选项C错误；
∵二次函数
∴顶点坐标是，故选项D错误；
故选：B．
5．B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性求解即可．
【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与x轴交于点，
∴该抛物线与x轴另一交点的坐标是，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了新定义，函数图象上点的坐标特征和二次函数的增减性，根据题意得出 ，①②得，由，得出，整理得，由且，得出．
【详解】解：∵双曲线存在“和谐点”，
∴，
①②得，
，
，
，
整理得，
，且，
，
故选：D．
7．C
【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，于是得到．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
当时，的值随值的增大而减小，
而时，的值随值的增大而减小，
，
故选：．
8．A
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数（、、b、c为常数，且）系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可．
【详解】解：①由图象得：，
∵对称轴为直线，
∴，即，
∴，故①错误；
∵当时，，当时，，
∴，
∴，故②正确；
∵对称轴为直线，当时，，
∴当时，，故③错误；
∵当时，，，
∴，故④正确；
⑤当时，y取到值最小，此时，
当时，，
∴，
∴，
即，故⑤正确；
观察图象得：当时，y随x的增大而减小，故⑥错误；
综上所述：正确的结论有②④⑤；共3个；
故选：A
9．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
先根据二次函数的图象和性质取对称轴，设抛物线的解析式为，由于在抛物线对称轴的右边， y 随 x 增大而增大，得出，顶点在y轴负半轴，即，据此写出函数解析式即可．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
∵在抛物线对称轴的右边， y 随 x 增大而增大，顶点在y轴负半轴，
∴，，故符合条件的二次函数均可，
可取，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式是解题关键．将二次函数解析式的一般形式转化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是．用配方法将抛物线解析式的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标．
【详解】解：∵，
∴该抛物线的顶点是．
故答案为：．
11． 大
【分析】本题考查二次函数的性质，本题的关键是要知道二次函数的性质：当a大于时，开口向上，在顶点取最小值，当a小于时，开口向下，在顶点取最大值，从而我们得到答案．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
又∵，函数图象开口向下，
故当时，函数有最大值，此最值是．
故答案为：，大，．
12．
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，不等式的性质，二次函数图象的性质，根据题意作，设，则，分别用含的式子，运用勾股定理表示出的值，再根据二次函数图象的性质即可求解．
【详解】解：根据题意，是等腰直角三角形，，
∴，，
如图所示，过点作于点，过点所于点，
∴，都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，，
∴，
∴，，
在中，，
在中，，
∴，
设，
∴，且方程有解，
∴，
∴，
令，
∴由得，又函数y的图象的开口向上，
∴当时，，
∴的最大值为，
∴的最大值为，
∴，
故答案为： ．
13．
【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，由，排除前两个图像，第三个图像，，推出，与已知矛盾排除，从而抛物线的图像是第四个图，再求的值．解题的关键：根据排除前两个图像，再结合从剩下的两个图像上把握有用的条件确定抛物线所对应的图像．
【详解】解：从左往右的图像依次为第一个图像，第二个图像，第三个图像，第四个图像，
∵第一个、第二个图像都有：当时，；当时，，
∴，
解得：，与已知矛盾，
∴排除第一个、第二个图像；
∵第三个图像：，，
∴，与已知矛盾，
∴排除第三个图像，
∴抛物线的图像是第四个图，
由图像可知，抛物线经过原点，且开口向下即，
∴，
解得：或，
∵，
∴．
故答案为：．
14．1
【分析】本题考查二次函数的性质，理解题中定义是解答的关键．先化为顶点式，求得m、k，然后根据题中定义解方程求得值，进而可求解．
【详解】解： 由得，，
设，则，
∵，
∴，即，
解得或（不合题意，舍去），
∴抛物线的“开口大小”为，
故答案为：1．
15．
【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；先求得点，令，求得的长，证明，则，即可求解．
【详解】解：对于，令，则，
故点，
令，解得或，
故点，
故；
设，
轴，，
，
，
，
故，
，
解得．
∴；
故答案为：．
16． 1
【分析】本题考查了二次函数基本性质，直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握基本性质是解题关键．
先将函数解析式化成顶点式，即可得到顶点坐标；再通过“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，，所以当最小时，即可得到的最小值．
【详解】解：，
故抛物线的顶点坐标为，
∵三角形为直角三角形，且为斜边上的中线，
∴，
当点为抛物线的顶点的时候，的长度最短为2，
∴的最小值为1．
故答案为： ，1．
17．(1)
(2)2
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键．
（1）根据待定系数法求出解析式即可；
（2）根据（1）中的解析式求出，再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）把和代入得：，
解得：，
∴函数解析式为；
（2）由（1）得：函数解析式为，
∴ ，
∴，
∴．
18．(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案；
（2）先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案；
（3）当，，当时，，当交点在线段之间时，那么且，或者当时，，从而解得答案；
【详解】（1）解：该抛物线经过点
解得
顶点坐标为
（2）解：
对称轴为，函数图象开口向上
，
当时，取最大值4
解得，
（3）解： 当，
当时，
当交点在线段之间时，当时，
解得；
当时，
解得；
综上，或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数表达式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）将二次函数化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）先判断抛物线过点，代入解析式即可求得，从而求得抛物线的解析式；
（3）根据已知条件列出的不等式即可求得结果．
【详解】（1）解：当时，二次函数
化为顶点式为：
∴该函数的顶点坐标为．
（2）解：当时，
此时
该抛物线图像不过点
当时，
此时
该抛物线图像不过点，
该抛物线过点，代入得：
解得：
将代入二次函数的表达式为：，
整理得：
故二次函数的表达式为：．
（3）解： ∵
当，时，，
即
，即
解得：．
故答案为：．
20．(1)①，；②
(2)
【分析】本题考查了待定系数法，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）①依据题意，对于分别令，可求得A、C，再代入抛物线解析式可以得解；
②依据题意，由①得抛物线为，从而得顶点D，再结合（1）中A、C坐标将转化为进行计算可以得解；
（2）由题意得，利用二次函数的性质即可求得答案．
【详解】（1）解：①由题意，对于分别令，则
∴，
令，则
∴，
再将A、C再代入得，
，
∴，；
②由①得抛物线为，
∴顶点D为，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵，轴，
∴，
∴，，
∴，
∵，且，
∴当时，取得最大值．
21．(1)
(2)存在，或
(3)，，，
【分析】（1）由题意得出，．结合轴对称的性质得出，再利用待定系数法求解即可；
（2）由勾股定理得出．设中点为，则，连接．设点，则．当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，由圆周角定理得出此时为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解；
（3）设点．则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，再分两种情况：当在抛物线上时，当在抛物线上时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，．
∵对称轴，
∴．
设抛物线解析式为
由题意得，
解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：存在，
∵，，
∴．
设中点为，则，连接．
设点，则．
当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，
此时，为直角，，则，
∴，
化简得，
解得，．
∴的坐标为或时，为直角．
（3）解：设点．
则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，
当在抛物线上时，，
化简得，
解得，．
∴时，，时，．
经检验，此时点不在抛物线上．
当在抛物线上时，，
化简得，
解得，．
∴当时，，当时，．
经检验，此时点不在抛物线上．
综上，满足题意的点的坐标为，，，．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)