22.3实际问题与二次函数易错精讲与针对性训练（含解析）-数学九年级上册人教版

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22.3实际问题与二次函数易错精讲与针对性训练-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值y（单位：）与温度x（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度最适宜时，该种酶的活性值为（ ）
A．14 B． C．240 D．44
2．红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试，飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：s）的函数解析式是，则飞行着陆后停下来需滑行的时间是（ ）
A．40秒 B．30秒 C．20秒 D．10秒
4．如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（ ）
A． B． C． D．
5．某集成电路公司主动适应市场需求，引进新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆1.5万片，计划第三年生产晶圆万片，设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，那么与的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，等边的边长为，动点从点出发，以每秒的速度，沿的方向运动，当点回到点时运动停止．设运动时间为（秒），，则关于的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，同一坐标系中有，且抛物线与线段有两个不相同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．喜迎圣诞，某商店销售一种进价为的商品，售价为，每星期可卖出件，若每件商品的售价每上涨元，则每星期就会少卖出件．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每星期销售该商品的利润为元，则与的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长），则这个围栏的最大面积为 ．

10．由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为 ．
11．已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长为 ，宽为 时，旋转形成的圆柱的侧面积最大．
12．如图，一名男生推铅球，铅球进行高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离是 m．
13．实验中学某物理兴趣小组的同学们设计了一个饮水机模型，其电路连接示意图如图甲所示，经过对工作电路进行研究：将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，保持固定电阻不变，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象（如图乙）．该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为 W．
14．如图，在矩形中，，点是的中点，连接，以点为原点，建立平面直角坐标系，点是上一动点，取的中点为，连接，则的最小值是 ．
15．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用
16．如图所示．小林家的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图1）．当手按住顶部A下压如图2位置时，洗手液瞬间从喷口B流出路线呈抛物线经过C与E两点．瓶子上部分是由弧和弧组成，其圆心分别为D，C．下部分的是矩形的视图，，，点E到台面的距离为，点B距台面的距离为，且B，D，H三点共线．若手心距的水平距离为去接洗手液时，则手心距水平台面的高度为 cm．
三、解答题
17．某超市销售一种牛奶，进价为每箱36元，规定售价不低于进价，现在的售价为每箱60元，每月可销售100箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价元（为正整数），每月销量为箱．
(1)写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
(2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？
(3)超市如何定价，能保证每月销售利润不低于2850元？请直接写出的取值．
18．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住（如图）．若设绿化带的边长为，绿化带的面积为，
(1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大为多少？
19．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象．
发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪；
(3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
20．已知二次函数的图象顶点为，二次函数的图象顶点为．
(1)分别求出点，的坐标（用表示）；
(2)证明：函数与的图象相交于，两点；
(3)当时，点，为图象上的动点，且点在点，之间，，两点的横坐标分别为，，作轴交于点，轴交直线于点，若四边形，为平行四边形，求的值．
21．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A．
(1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；
(2)P在线段上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m，的面积为S．
求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
有人认为：当直线a与抛物线的对称轴重合时，S的值最大，你同意他的观点吗？请说明理由；
③过点P作直线轴（图2），交于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C D A D C A
1．C
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意把解析式化为顶点式求出顶点的纵坐标即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的顶点坐标为，
∵在最适宜温度时，酶的活性最强，
∴当温度最适宜时，该种酶的活性值为240，
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式即可，读懂题意是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
故选：．
3．C
【分析】本题考查二次函数的实际运用，由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当s取得最大值时，t也取得最大值，即为飞行着陆后停下来需滑行的时间．
【详解】解：，
当时，s取最大值，
即飞行着陆后停下来需滑行的时间为20秒，
故选C．
4．D
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案．
【详解】解：由题意得，点A的横坐标为，
在中，当时，，
∴，
∴点C的纵坐标为，
在中，当时，解得或，
∴，
∴，
故选：D．
5．A
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
根据增长率的问题可直接进行求解．
【详解】设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，
根据题意得，．
故选：A．
6．D
【分析】需要分类讨论：①当，即点在线段上时，过作于点，由勾股定理即可求得与的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当，，与的函数关系式是，根据该函数关系式可以确定该函数的图象；③当时，则，根据该函数关系式可以确定该函数的图象．本题考查了二次函数与动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点的位置进行分类讨论，以防错选．
【详解】解：如图，过作于点，
则，，
①当点在上时，，，，
，
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线；
由此可排除A，B，C．
②当时，即点在线段上时，；
则，
该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为；
③当时，即点在线段上，此时，，
则，
该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为直线；
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象上的点的特征等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
先利用待定系数法求出的解析式，根据二次函数的性质得出时，，且，进一步利用求解即可．
【详解】解：设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
∵是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，
∴，
∵抛物线与线段有两个不相同的交点，
∴时，，且抛物线与直线有交点，
∴，解得：；
令，整理得：，
∵，
∴，
∴．
故选C．
8．A
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可．
【详解】解：由题意，得：；
故选A．
9．
【分析】设与墙垂直的一边长为，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．
【详解】解：设与墙垂直的一边长为，围成的矩形面积为，则与墙平行的一边长为，
∴矩形围栏的面积为，
∵，
∴当时，矩形有最大面积为，
故答案为：．
10．
【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．原价为462元，第一次降价后的价格是元，第二次降价后的价格为元，则函数解析式即可求得．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得：
y与x之间的函数关系为：．
故答案为．
11． 9 9
【分析】本题考查了二次函数的应用．设矩形的长是a，宽各为b，由矩形的周长为36，得．因为旋转形成的圆柱侧面积是：，所以要求侧面积最大，即求的最大值，由此能求出结果．
【详解】解：设矩形的长为a，宽为b，
∵矩形的周长为36，
∴，
解得：，
∵旋转形成的圆柱侧面积是：，
∴要求侧面积最大，即求的最大值，
，
∴当时有最大值81，
此时．
答：矩形的长，宽都为时，旋转形成的圆柱侧面积最大．
故答案为：9；9．
12．11
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，铅球落地时，，故由题意可得关于x的方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【详解】由题意得：，即，解得：
∴他将铅球推出的距离是
故答案为：11．
13．220
【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式，进而利用二次函数的的性质求出最大值即可．
【详解】解：∵该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，过和点
∴抛物线的对称轴为，
设抛物线的解析式为，
∴
解得
∴
∵，
∴抛物线有最大值为220，
即变阻器R消耗的电功率P最大为，
故答案为：220
14．
【分析】本题考查了矩形与坐标、二次函数的性质等知识点，根据平面直角坐标系找到各点坐标是解题关键．
先根据矩形的性质可得，，，再根据一次函数的性质可设点的坐标为，从而可得，然后利用两点之间的距离公式可得，最后利用二次函数的性质即可得．
【详解】解：在矩形中，，点是的中点，
，，，
，，，
直线的函数解析式为，
设点的坐标为，
点是上一动点，
，
点是的中点，
，
由两点之间的距离公式可得：
，
由二次函数的性质得：在内，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，最小值为：，
因此，的最小值为，
故答案为：
15．
【分析】本题考查了二次函数的应用，令，求即可．
【详解】解：令，
解得（舍去），，
小球从飞出到落地要用．
故答案为：4．
16．11
【分析】本题考查二次函数的实际应用，勾股定理，求二次函数解析式，根据题意得出各个点的坐标，最后根据待定系数法求解即可．
【详解】解：如图，过作于点，
由题意得：，
，
，即为，
设抛物线的解析式为，
抛物线经过三点，
∴，解得，
抛物线的解析式为，
手心距的水平距离为去接洗手液，
点的横坐标为，
当时，，
，
手心距水平台面的高度为，
故答案为：11．
17．(1)且x为正整数；
(2)超市定价为53元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2890元
(3)每箱牛奶的定价在51元和55元之间的整数值（包括51和）
【分析】本题主要考查二次函数的应用，由利润售价成本销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键．也考查了一元二次方程的应用．
（1）根据价格每降低1元，平均每月多销售10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据此可以列出函数关系式；
（2）由利润售价成本销售量列出函数关系式，求出最大值；
（2）令，即可解得x的范围．
【详解】（1）解：根据题意，得：，
由得，
∴，且x为正整数；
∴与之间的函数关系式为且x为正整数；
（2）解：设所获利润为W，
则
，
∵，
∴函数开口向下，有最大值，
∴当时，W取得最大值，最大值为2890．
此时售价为元，
答：超市定价为53元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2890元；
（3）解：当时，则，
解得，，
根据（2）中解析式可知抛物线开口向下，
∵超市计划每月销售这种牛奶的利润不低于2850元，
∴，
∴，
∴每箱牛奶的定价在51元和55元之间的整数值（包括51和）．
18．(1)
(2)当时，满足条件的绿化带面积最大，最大值为200平方米
【分析】该题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质．
（1）由矩形的性质结合的长度可得出的长度，再根据矩形的面积公式即可找出y与x之间的函数关系式以及的取值范围．
（2）把（1）的函数关系式用配方法化简求得的最大值即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
因为墙长25米，故自变量的取值范围是；
（2）解：，
，
∴当时，有最大值200平方米，
即当时，满足条件的绿化带面积最大，最大值为200平方米．
19．(1)
(2)汽车刹车后，汽车与测速仪相距
(3)不会，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤是解题的关键．
（1）设，将，，代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式；
（2）求出当时的t的值，即可解答；
（3）将二次函数解析式化为顶点式，求出最大值，再与80进行比较即可．
【详解】（1）解：设，
将，，代入得：
，解得：，
∴y关于t的函数解析式为；
（2）解：根据题意得，
解得，
答：汽车刹车后，汽车超过测速仪；
（3）解：不会．理由如下：
∵，
∴当时，汽车停下，行驶了，
∵，
∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车．
20．(1)；
(2)详见解析
(3)
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、函数的交点等知识点．
（1）由顶点坐标公式即可求解；
（2）证明：令，得或，即可求解；
（3）由四边形为平行四边形，得到，即可求解．
【详解】（1），对称轴，
当时，，
∴，
，对称轴，
当时，，
∴；
（2）令，得：，
化简得：，即，
解得：，，
将，分别代入二次函数中，得：，，
∴交点坐标为和，
即：函数与相交于、两点．
（3）当时，，顶点；，顶点，
∴直线解析式为：，
设，则
∴，
则，则，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴．
21．(1)B、C，
(2)①
②不同意他的观点，理由见解析
③存在，，，
【分析】（1）根据直线解析式令，求得点的坐标，令求得点的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）①根据直线和抛物线解析式表示出线段的长度，再根据点在线段上确定的取值范围；
②把求得的二次函数解析式整理成顶点式，然后根据最值问题求出S的最大值，即可得出结论；
③可得出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，分三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：对于直线，令，得，令，得．
∴B、C，
设抛物线的函数关系式为．
∴，解得．
∴抛物线的函数关系式为，
即．
（2）解：①设，则
∴()
∴
②不同意他的观点
∵， ∴当时，S的值最大，而抛物线的对称轴是
此时，直线a与抛物线的对称轴不重合，
则不同意他的观点；
③存在
设直线解析式为，
∵A和C，
∴，解得，
则直线解析式∶
设， ，
∴，
当时， ∴，解得，∴
当时，， ∴，解得，∴
当时，边上的高=，∴，解得，∴
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要利用了求直线与坐标轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值问题，等腰直角三角形的性质，根据两函数图像解析式表示出，分类讨论并根据等腰直角三角形的性质求解是解题关键．
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