第一单元一元二次方程典例精讲与强化训练（含解析）-数学九年级上册苏科版

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第一单元一元二次方程典例精讲与强化训练-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．一元二次方程的解是（　　）
A．， B．
C． D．，
2．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
3．若关于的二次方程有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若一元二次方程的一个根为，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线在x轴上的截距为1，则实数m的值为（ ）
A．2或 B．2或 C．或 D．或
6．某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．水果店花元进了一批水果，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利元．若两次打折的折扣相同，设每次打折，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．我国的股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了前一天股价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了前一天股价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天涨停，随后两天时间又跌回到涨停前的股价，若这两天此股票的股价平均降幅为，则满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若和是一元二次方程的两个的实数根，则 ．
10．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则常数的值可能是 ．
11．2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元．设人均可支配年收入的平均增长率为x，根据题意列出方程得 ．
12．如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，根据题意可列方程 ．
13．如图，在中，，动点P从点A出发沿边以的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿边以的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点P，Q运动的时间为 秒．
14．已知是方程的两个根，则的值是 ．
15．若一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，且，则的取值范围是 ．
16．已知实数a，b，c满足，若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为 ．
三、解答题
17．按要求解下列方程
(1)用配方法解方程：；
(2)用公式法解方程：．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值．
19．阅读与思考
配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值．
我们使用的方法如下：
原式
．
，，
，
的最小值是．
根据材料方法，解答下列问题．
(1)的最大值为______；
(2)求的最小值．
20．列方程解决实际问题：
为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，101中教育集团成立了众多种类的学生社团．其中金鹏社团会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．如图①，在生态大棚中有一块矩形空地，其中边的长比边的2倍少1，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加，构成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地．
(1)直接写出正方形区域的边长是________m；
(2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为90，求小道的宽度．
21．国庆节期间，某品牌月饼经销商销售甲、乙两种不同味道的月饼，已知一个甲种月饼和一个乙种月饼的进价之和为14元，每个甲种月饼的利润是6元，每个乙种月饼的售价比其进价的2倍少1元，小王同学买4个甲种月饼和3个乙种月饼一共用了89元．
(1)甲、乙两种月饼的进价分别是多少元？
(2)在（1）的前提下，经销商统计发现：平均每天可售出甲种月饼200个和乙种月饼150个．如果将两种月饼的售价各提高1元，则每天将少售出50个甲种月饼和40个乙种月饼．为使每天获取的利润更多，经销商决定把两种月饼的价格都提高x元．在不考虑其他因素的条件下，当x为多少元时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种月饼获取的利润为2650元？
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B B A A C A
1．C
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．先根据完全平方公式将方程整理为，再解方程．
【详解】解：∵，
∴，
则，
解得：．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查解一元二次方程—配方法．根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判定式，由方程可得，再根据关于的二次方程有两个不相等的实数解可得，据此即可求解，掌握一元二次方程根的判定式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：由方程可得，
∵关于的二次方程有两个不相等的实数解，
∴，
∴，
故选：．
4．B
【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
根据一元二次方程的解的定义，将代入关于x的一元二次方程即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，
∴满足关于x的一元二次方程，
∴，即，
故选：B．
5．A
【分析】本题的考点是直线在坐标轴上的截距的定义，即求出直线与坐标轴的交点坐标，由题意，令代入直线方程求出x的值，即是在x轴上截距1再求出m．
【详解】解：由题意知，令，得在x轴上截距为，
即，
解得，或．
经检验均为方程的根，且符合题意，
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设该厂平均每月的增长率为x，根据题意列出方程即可．
【详解】设该厂平均每月的增长率为x，
根据题意得，．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用连续两次打相同的折扣，即可得出关于的一元二次方程，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：，
故选：C．
8．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可知，股票的一次涨停便涨到原来价格的，再从经过两次下跌到原来的价格，据此列出方程即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
故选：A．
9．2
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，直接代入数值，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵和是一元二次方程的两个的实数根，
∴，
故答案为：2．
10．
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，列出关于k的等式，求出k的值．
【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，且，
解得：，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元”列方程求解．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，平移的性质，由平移的性质可得，草坪面积可以看做是一个长为米，宽为米的矩形，据此根据矩形面积公式列出方程即可．
【详解】解：由平移的性质可得，草坪面积可以看做是一个长为米，宽为米的矩形，
由题意得，，
故答案为：．
13．1
【分析】根据动点P以的速度移动，动点Q以的速度移动，运动时间为 ，则，，，根据三角形面积列式解答即可．
本题考查了三角形的面积，解方程，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．
∴，，
∴，
根据题意，得，
整理，得，
解得，
当时，，比大，舍去
故
故答案为：1．
14．0
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解，根据一元二次方程根与系数的关系确定及对因式分解，整体代入求解即可．
【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系可得，
，
故答案为：0．
15．且
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，根据根与系数的关系结合已知条件可得出，即可得出，最后再根据根的判别式即可求出a的取值范围．
【详解】解：，，
∵
∴，
∴，
∴
∵一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴且，
解得：且．
故答案为：且．
16．
【分析】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数关系，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键．根据非负性求得a、b、c的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得、，代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴方程为，
∵一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴，，
∴，
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：
移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，得，
开方，得，
解得：，；
（2）解：
化成一般式，得，
∵，，，
∴，
解得：，．
18．(1)见解析
(2)15
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．
（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；
（2）利用根与系数的关系求得，，代入，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：，
不论为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：，，
，
，
．
解得．
19．(1)3
(2)的最小值为2
【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；
（2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
此题考查配方法的应用，解题关键在于理解题意掌握运算法则．
【详解】（1）
∵
∴
∴的最大值为3
∴的最大值为3；
（2）
∵，
∴
∴的最小值为2
∴的最小值为2．
20．(1)12
(2)小道的宽度为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；
（1）设正方形区域的边长为，则，，根据“边的长比边的2倍少1”，列出元方程，解之即可；
（2）设小道的宽度为，则栽种鲜花的区域可合成长，宽的矩形，
根据“栽种鲜花区域的面积为”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设正方形区域的边长为，则，，
∵边的长比边的2倍少1
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）设小道的宽度为，则栽种鲜花的区域可合成长，宽的矩形，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意舍去），
答：小道的宽度为．
21．(1)甲种月饼的进价是8元/个，乙种月饼的进价是6元/个
(2)当x为1元时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种月饼获取的利润为2650元
【分析】考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
（1）设甲种月饼的进价是元个，乙种月饼的进价是元个，根据等量关系：一个甲种月饼和一个乙种月饼子的进价之和为14元，小王同学买4个甲种月饼和3个乙种月饼一共用了89元，列出方程组即可求解；
（2）根据每天销售甲、乙两种月饼获取的利润为1190元，列出方程即可求解．
【详解】（1）设甲种月饼的进价是元个，乙种月饼的进价是元个，则
，
解得．
故甲种月饼的进价是8元个，乙种月饼的进价是6元个；
（2）依题意有，
解得，，
，
．
答：当为1元时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种月饼获取的利润为2650元．
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