(共26张PPT)
4.3.2 第二课时 数列求和
[方法技巧]
分组转化法求和的常见类型
[提醒] 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
题型二 裂项相消法求和
【学透用活】
几种常见的裂项方式
题型三 错位相减法求和
【学透用活】
一般地，若数列{cn}的通项公式为cn＝an·bn，其中{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，我们可以用错位相减法求{cn}的前n项和．具体方法如下：
先写出前n项和Sn，
Sn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn， ①
①式两边同乘等比数列的公比q，得
qSn＝a1b2＋a2b3＋a3b4＋…＋an－1bn＋anbn＋1. ②
[方法技巧]
用错位相减法求和时的注意点
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
(3)应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
【对点练清】
已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋1(n≥2，n∈N*)．
(1)求证：数列{an}为等差数列，并求{an}的通项公式；
(2)设bn＝3n·an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)证明：由已知，得(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝1(n≥2，n∈N*)，
即an＋1－an＝1(n≥2，n∈N*)，且a2－a1＝1，
∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴an＝n＋1.(共40张PPT)
4.3.2 等比数列的前n项和公式
明确目标 发展素养
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 2.掌握等比数列前n项和的性质． 3.掌握分组转化法、裂项相消法、错位相减法等求和. 1.通过等比数列前n项和的应用，培养数学运算素养．
2.通过求和方法的掌握，培养逻辑推理的素养.
第一课时 等比数列的前n项和
知识点一 等比数列的前n项和公式
(一)教材梳理填空
2．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为 ( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
知识点二 等比数列前n项和的性质
(一)教材梳理填空
(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn， ，…仍构成等比数列．
(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋ (n，m∈N*)．
S3n－S2n
qnSm
2．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于 ( )
A．31 B．33
C．35 D．37
3．若等比数列{an}的前n项和Sn＝2·3n＋r，则r＝________.
解析：Sn＝2·3n＋r，由等比数列前n项和的性质得r＝－2.
答案：－2
[方法技巧]
在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
【对点练清】
1．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则前n项和Sn＝ ( )
A．2n＋1－2 B．2n－2
C．2n＋1－1 D．2n＋1＋2
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
题型二 等比数列前n项和的性质
【学透用活】
[典例2] (1)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝ ( )
A．7 B．8
C．9 D．10
(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝________.
【对点练清】
1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于( )
A．8 B．6
C．4 D．2
解析：S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列，
∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.
答案：C
2．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝________.
题型三 等比数列前n项和的实际应用
【学透用活】
[典例3] 一个热气球在第1 min上升了25 m的高度，在以后的每1 min里，它上升的高度都是它在前1 min上升高度的80%.这个热气球上升的高度能达到125 m吗？
[方法技巧]
解数列应用题的思路和方法
【对点练清】
如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接
正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，前n个内切
圆的面积和为________．
【对点练清】
1．设数列{an}的前n项和为Sn，若2，Sn,3an成等差数列，则S5的值是 ( )
A．－243 B．－242 C．－162 D．243
2．设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*.
(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．下面是“在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，数列{an·an＋1}是公比为q(q>0)的等比数列．
(1)求使anan＋1＋an＋1an＋2>an＋2an＋3成立的q的取值范围；
(2)求数列{an}的前2n项的和S2n”的解题过程．
试分析以上解题过程是否正确，若不正确，错在何处．并给出正确的解题过程．
二、应用性——强调学以致用
2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个，现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，则细菌将病毒全部杀死，至少需要 ( )
A．4秒 B．5秒
C．6秒 D．7秒
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．将数列{an}中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一行多一项”的规则排成如下数表．
a1 a2 a3
a4 a5 a6 a7
a8 a9 a10 a11 a12
…
记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知：
请解答以下问题：
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求上表中第k(k∈N*)行所有项的和S(k)．
