第 21 章一元二次方程
提分专题 1 根的判别式或根与系数的关系的应用
类型 1 求方程中字母参数的值
1.已知关于 的一元二次方程 2 + (2 + 1) + 2 2 = 0 .
（1）若该方程有两个实数根，求 的最小整数值.
（2）若该方程的两个实数根为 1， 2，且( 1 2)
2 + 2 = 21，求 的值.
2.已知关于 的一元二次方程 2 + 3 + 2 = 0 有实数根.设方程的两个实数根分别为 1， 2，
若( 1 + 1)( 2 + 1) = 1，求 的值.
3.已知 2 21， 2是关于 的方程 + + = 0( < 0) 的两个实数根， 1， 2是关于 的方程
2 + 5 + 7 = 0的两个实数根，且 1 1 = 2 ， 2 2 = 2，求 的值.
4.已知关于 的一元二次方程 2 2 + 2 + 2 = 2(1 ) 有两个实数根 1， 2.若方程的两实
数根 1， 2满足| 1 + 2| = 1 2 22，求 的值.
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第 21 章一元二次方程
类型 2 解决存在性问题
5.已知 1， 2是关于 的一元二次方程
2 + 4 3 = 0 的两个不相等的实数根.
（1）求 的取值范围.
3
（2）是否存在这样的实数 ，使2 1 + 2 2 = 2成立？若存在，求 的值； 1 2
若不存在，请说明理由.
6.关于 的方程 2 (2 1) + 2 2 + 3 = 0 有两个不相等的实数根.设方程的两个实数
根分别为 1， 2，是否存在这样的实数 ，使得| 1| | 2| = √5？若存在，求出 的值；若不
存在，说明理由.
7.已知关于 的方程 2 + ( + 1) + = 0 有实数根.
4
（1）当 = 4 时，求解上述方程.
（2）求 的取值范围.
（3）是否存在实数 ，使方程两实数根的倒数和为 1？若存在，请求出 的值；若
不存在，请说明理由.
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第 21 章一元二次方程
类型 3 解决几何图形问题
8.已知 1， 2是关于 的一元二次方程
2 2( + 1) + 2 + 5 = 0 的两个实数根.
（1）若( 1 1)( 2 1) = 28，求 的值.
（2）已知等腰△ 的一边长为 7，若 1， 2恰好是△ 另外两边的边长，求这个三角形
的周长.
9.已知关于 的一元二次方程 2 2( + 1) + 2 = 0 有两个不相等的实数根.若该方程的
两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形的对角线长为 4，求实数 的值.
10. 已知关于 的一元二次方程 2 2( + 1) + 2 + + 3 = 0( 为常数) .
（1）若方程的两根为菱形相邻的两边长，求 的值.
（2）是否存在满足条件的常数 ，使该方程的两根等于边长为 2 的菱形的两对角线长？若存
在，求 的值；若不存在，说明理由.
8/40第 21 章一元二次方程
提分专题 1 根的判别式或根与系数的关系的应用
类型 1 求方程中字母参数的值
1.已知关于 的一元二次方程 2 + (2 + 1) + 2 2 = 0 .
（1）若该方程有两个实数根，求 的最小整数值.
9
解：根据题意得Δ = (2 + 1)2 4( 2 2) ≥ 0，解得 ≥ ，∴ 的最小整数值为 2 .
4
（2）若该方程的两个实数根为 1， 2，且( 1
2
2) +
2 = 21，求 的值.
解：根据题意得， 1 + 2 = (2 + 1) ， 1 2 =
2 2.
∵ ( 2 2 2 21 2) + = 21，∴ ( 1 + 2) 4 1 2 + = 21 ，
∴ (2 + 1)2 4( 2 2) + 2 = 21，整理得 2 + 4 12 = 0，解得 1 = 2 ， 2 = 6.
9
由（1）得，方程有两个实数根时， ≥ ，∴ 的值为 2.
4
2.已知关于 的一元二次方程 2 + 3 + 2 = 0 有实数根.设方程的两个实数根分别为 1， 2，
若( 1 + 1)( 2 + 1) = 1，求 的值.
解：∵ 方程 2 + 3 + 2 = 0的两个实数根分别为 1， 2，∴ 1 + 2 = 3 ，
17
1 2 = 2，3
2 4( 2) ≥ 0,即 ≤ .∵ ( 1 + 1)( 2 + 1) = 1 ， 4
∴ 1 2 + ( 1 + 2) + 1 = 1，∴ 2 + ( 3) + 1 = 1，解得 = 3，即 的值是 3.
3.已知 1， 2是关于 的方程
2 + 2 + = 0( < 0) 的两个实数根， 1， 2是关于 的方程
2 + 5 + 7 = 0的两个实数根，且 1 1 = 2 ， 2 2 = 2，求 的值.
解：根据题意得， 1 + 2 =
2， 1 + 2 = 5 . ∵ 1 1 = 2 ， 2 2 = 2，
∴ 1 + 2 ( 1 + 2) = 4，∴
2 + 5 = 4 ，整理得 2 5 + 4 = 0，解得 = 4或 = 1.
当 = 1时，方程 2 + 5 + 7 = 0 没有实数根，故 = 1舍去，∴ 的值为 4.
4.已知关于 的一元二次方程 2 2 + 2 + 2 = 2(1 ) 有两个实数根 1， 2.若方程的两实
数根 1， 2满足| 1 + 2| = 1 2 22，求 的值.
解： 2 2 + 2 + 2 = 2(1 )，整理得 2 (2 2) + 2 = 0 ,则
1
1 + 2 = 2 2， 1 2 =
2，(2 2)2 4 2 ≥ 0,即 ≤ .
2
1
又∵ | 1 + 2| =
2
1 2 22，∴ |2 2| = 22. ∵ ≤ ，∴ 2 2 < 0 ， 2
∴ |2 2| = 2 22可化简为 2 + 2 24 = 0，解得 = 4 （不合题意，舍去）
或 = 6，∴ 的值为 6 .
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第 21 章一元二次方程
类型 2 解决存在性问题
5.已知 1， 2是关于 的一元二次方程
2 + 4 3 = 0 的两个不相等的实数根.
（1）求 的取值范围.
2 4解：由题意知， ≠ 0且Δ = 4 4 × ( 3) > 0，∴ > 且 ≠ 0 .
3
3
（2）是否存在这样的实数 ，使2 1 + 2 2 = 2成立？若存在，求 的值； 1 2
若不存在，请说明理由.
4 3 3 8
解：存在.∵ 1 + 2 = ， 1 2 = ，2 1 + 2 2 = 2，∴ + = 2 ， 1 2
解得 1 = 4， 2 = 2（不符合题意，舍去），∴ 的值为 4.
6.关于 的方程 2 (2 1) + 2 2 + 3 = 0 有两个不相等的实数根.设方程的两个实数
根分别为 1， 2，是否存在这样的实数 ，使得| 1| | 2| = √5？若存在，求出 的值；若不
存在，说明理由.
解：存在.由题意得 1 + 2 = 2 1，
2
1 2 = 2 + 3 = ( 1)
2 + 2 > 0 ，
(2 1)2 4( 2
11
2 + 3) > 0，即 > .将| 1| | 2| = √5 两边同时平方可得 4
21 2 1
2
2 + 2 = 5，即( 1 +
2
2) 4 1 2 = 5 ，则(2 1)
2 4( 2 2 + 3) = 5，
整理得4 11 = 5，解得 = 4 .
7.已知关于 的方程 2 + ( + 1) + = 0 有实数根.
4
（1）当 = 4 时，求解上述方程.
解：当 = 4时，方程化为4 2 + 5 + 1 = 0，∴ (4 + 1)( + 1) = 0 ，
1
∴ 4 + 1 = 0或 + 1 = 0，解得 1 = ， 2 = 1 . 4
（2）求 的取值范围.
解：当 = 0时，方程化为 = 0，方程有实数根；当 ≠ 0 时，根据题意得
2 1 1Δ = ( + 1) 4 × ≥ 0，解得 ≥ 且 ≠ 0.综上所述， 的取值范围为 ≥ .
4 2 2
（3）是否存在实数 ，使方程两实数根的倒数和为 1？若存在，请求出 的值；若
不存在，请说明理由.
解：不存在.理由如下：设方程的两实数根分别为 ， .根据根与系数的关系得
+1 1 1 1 + +1 1
+ = ， = .∵ + = 1，即 = 1，∴ + = ，∴ = ，解得
4 4
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第 21 章一元二次方程
4 1
= .∵ ≥ 且 ≠ 0，∴ 不存在实数 ，使方程两实数根的倒数和为 1.
5 2
类型 3 解决几何图形问题
8.已知 1， 2是关于 的一元二次方程
2 2( + 1) + 2 + 5 = 0 的两个实数根.
（1）若( 1 1)( 2 1) = 28，求 的值.
解：根据题意得Δ = 4( + 1)2 4( 2 + 5) ≥ 0，解得 ≥ 2 .由根与系数的关
系得 1 + 2 = 2( + 1)， 1 2 =
2 + 5. ∵ ( 1 1)( 2 1) = 28 ，即
1 2 ( 1 + 2) + 1 = 28，∴
2 + 5 2( + 1) + 1 = 28 ，整理得
2 2 24 = 0，解得 1 = 6， 2 = 4. ∵ ≥ 2，∴ 的值为 6.
（2）已知等腰△ 的一边长为 7，若 1， 2恰好是△ 另外两边的边长，求这个三角形
的周长.
解：分两种情况讨论：①当腰长为 7时， = 7 是一元二次方程
2 2( + 1) + 2 + 5 = 0的一个根.令 1 = 7 ，代入方程得
49 14( + 1) + 2 + 5 = 0，整理得 2 14 + 40 = 0，解得 1 = 10 ，
2 = 4.当 = 10时， 1 + 2 = 2( + 1) = 22，解得 2 = 15，而7 + 7 < 15 ，故
舍去；当 = 4时， 1 + 2 = 2( + 1) = 10，解得 2 = 3，此时3 + 7 > 7 ，能构
成三角形，∴ 三角形周长为3 + 7 + 7 = 17.②当底边长为 7时， 1 = 2 .由（1）得
= 2，方程化为 2 6 + 9 = 0，解得 1 = 2 = 3，而3 + 3 < 7 ，故舍去.综上，
这个三角形的周长为 17.
9.已知关于 的一元二次方程 2 2( + 1) + 2 = 0 有两个不相等的实数根.若该方程的
两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形的对角线长为 4，求实数 的值.
解：设该方程的两个实数根为 1， 2，∴ 1 + 2 = 2( + 1) = 2 + 2 ， 1 2 =
2.
1
由题意得4( + 1)2 4 2 > 0,则 > .∵ 该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩
2
形的对角线长为 4，∴ 由矩形的性质和勾股定理可得 2 + 2 = 421 2 ，
∴ ( 2 2 21 + 2) 2 1 2 = 16，∴ 4 + 8 + 4 2 = 16 ，
∴ 2 + 4 6 = 0，解得 = 2 + √10或 = 2 √10（舍去），∴ 的值为 2 + √10 .
10. 已知关于 的一元二次方程 2 2( + 1) + 2 + + 3 = 0( 为常数) .
（1）若方程的两根为菱形相邻的两边长，求 的值.
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第 21 章一元二次方程
解：∵ 方程的两根为菱形相邻的两边长，∴ 此方程有两个相等的实数根，
∴ Δ = 0，即[ 2( + 1)]2 4( 2 + + 3) = 0，整理得4 8 = 0，解得 = 2 .
（2）是否存在满足条件的常数 ，使该方程的两根等于边长为 2的菱形的两对角线长？若存
在，求 的值；若不存在，说明理由.
解：不存在.理由如下：设菱形的两对角线长为 ， . ∵ 该方程的两根是菱形的
两对角线长，∴ + = 2( + 1)， = 2 + + 3. ∵ 菱形的两对角线互相垂直平
分，∴ 由勾股定理得( )2 + ( )2 = 4，整理得 2 + 2 = 16，∴ ( + )2 2 = 16 ，
2 2
3±3√5
即[2( + 1)]2 2( 2 + + 3) = 16，解得 = .∵ Δ = 4 8 ，
2
3+3√5 3 3√5
∴ 4 8 ≥ 0，∴ ≥ 2. ∵ < 2， < 2,∴ 不存在满足条件的常数 .
2 2
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