第 21 章一元二次方程
全章提分重点
重点 1 一元二次方程的定义及解
1.将方程2 2 + 7 = 9 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为( )
A.2， 9 B.2，7 C.2，9 D.2 2， 9
2.已知关于 的方程( 3) | | 1 + (2 3) + 4 = 0 是一元二次方程，则 的值为( )
A.±3 B.3 C. 3 D.不能确定
3.关于 的方程 2 + + = 0的两根分别为 3 ，7，则关于 的方程 ( + 1)2 + ( + 1) +
= 0 的两根为( )
A. 4，6 B. 2，8 C.3， 7 D. 3 ，7
4.若关于 的一元二次方程( 2) 2 + 3 + 2 4 = 0 的常数项为 0，则 的值为____.
5.若 是方程 2 + 3 1 = 0 的解，则式子2 2 + 6 + 2 024 的值为_______.
重点 2 解一元二次方程
6.用适当的方法解下列方程：
（1）2 2 5 1 = 0 . （2） 2 + 15 = 8 .
（3） 2 + 4 9 = 2 11 . （4）3( 1)2 12 = 0 .
（5）2 ( 3) 5(3 ) = 0 . （6）(4 1)2 10(4 1) 24 = 0 .
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第 21 章一元二次方程
7.已知关于 的一元二次方程 2 ( + 4) + 4 = 0 .
（1）求证：该方程总有两个实数根.
（2）若该方程有一个根小于 1，求 的取值范围.
8.对任意实数 ， ( ≠ 0) 规定一种新运算： = + 3，例如：3 2 = 32 + 3
× 2 3 = 12 .
（1）计算：( 2) 3 ；
（2）若( ) 2的值为 4，求 的值.
重点 3 一元二次方程的应用
9.在△ 中，∠ = 90 ， = 6 cm， = 8 cm ，动点 从点 沿线段 向点 移动，
一动点 从点 沿线段 向点 移动，两点同时开始移动，点 的速度为1 cm/s，点 的速度
为2 cm/s，当点 到达点 时两点同时停止运动.若使△ 的面积为5 cm2，则点 运动的时
间是( )
A.1 s B.4 s C.5 s或1 s D.4 s或1 s
10.定义运算： & = 2 + 2 .例如1&2 = 12 1 × 2 + 2 = 1，则方程 &3 = 0 的根的
情况为______________________.
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第 21 章一元二次方程
11.已知 = 2 2 + 7 1， = 4 + 1，若2 的值比3 的值大 1，求满足条件的 的值.
重点 4 实际问题与一元二次方程
12.在一幅长80 cm、宽50 cm 的刺绣风景画的四周镶上金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所
示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2 ，设金色纸边的宽度为 cm （风景画四周的金色
纸边宽度相同），则列出的方程为( )
A.(50 + )(80 + ) = 5 400 B.(50 )(80 ) = 5 400
C.(50 + 2 )(80 + 2 ) = 5 400 D.(50 2 )(80 2 ) = 5 400
13.运城市位于山西省西南部，生产水果的自然条件得天独厚.某农村合作社 2022 年苹果储存量
为 350 吨，2024 年苹果储存量达到 423.5 吨，则这两年苹果储存量的年平均增长率为( )
A.10% B.10.5% C.11% D.21%
14.小赵根据市场需求，从某批发市场购进了进价为每个 15 元的纪念品，第一天以每个 25 元
的价格售出了 30 个.为了让更多的消费者拥有该种纪念品，从第二天起降价销售，根据市场调
查，每个纪念品的售价每降低 1 元，可多售出 3 个.如果前两天共获利 525 元，则第二天每个
纪念品的售价为多少元？
5/40第 21 章一元二次方程
全章提分重点
重点 1 一元二次方程的定义及解
1.将方程2 2 + 7 = 9 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为( )
A.2， 9 B.2，7 C.2，9 D.2 2， 9
答案：A
解析：将方程2 2 + 7 = 9 化成一般形式为2 2 9 + 7 = 0 ，所以二次项系数为 2，一次项
系数为 9 ，故选 A.
2.已知关于 的方程( 3) | | 1 + (2 3) + 4 = 0 是一元二次方程，则 的值为( )
A.±3 B.3 C. 3 D.不能确定
答案：C
解析：∵ 关于 的方程( 3) | | 1 + (2 3) + 4 = 0 是一元二次方程，
∴ | | 1 = 2且 3 ≠ 0，解得 = 3 .故选 C.
3.关于 的方程 2 + + = 0的两根分别为 3 ，7，则关于 的方程 ( + 1)2 + ( + 1) +
= 0 的两根为( )
A. 4，6 B. 2，8 C.3， 7 D. 3 ，7
答案：A
解析：∵ 关于 的方程 2 + + = 0的两根分别为 3，7，∴ 关于 的方程
( + 1)2 + ( + 1) + = 0的两根满足 + 1 = 3或 + 1 = 7，解得 1 = 4 ，
2 = 6 ，故选 A.
4.若关于 的一元二次方程( 2) 2 + 3 + 2 4 = 0 的常数项为 0，则 的值为____.
答案： 2
解析：∵ 关于 的一元二次方程( 2) 2 + 3 + 2 4 = 0 的常数项为 0，
∴ 2 4 = 0且 2 ≠ 0，解得 = 2.故答案为 2 .
5.若 是方程 2 + 3 1 = 0 的解，则式子2 2 + 6 + 2 024 的值为_______.
答案：2026
解析：∵ 是方程 2 + 3 1 = 0的解，∴ 2 + 3 1 = 0，∴ 2 + 3 = 1 ，
∴ 2 2 + 6 + 2 024 = 2( 2 + 3 ) + 2 024 = 2 026 ，故答案为 2 026.
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第 21 章一元二次方程
重点 2 解一元二次方程
6.用适当的方法解下列方程：
（1）2 2 5 1 = 0 .
解：2 2 5 1 = 0，∵ = 2， = 5， = 1 ，
5±√33 5+√33 5 √33
∴ Δ = ( 5)2 4 × 2 × ( 1) = 25 + 8 = 33 > 0，∴ = ，∴
4 1
= ，
4 2
= .
4
（2） 2 + 15 = 8 .
解： 2 + 15 = 8 ， 2 8 = 15， 2 8 + 16 = 15 + 16 ，即
( 4)2 = 1，∴ 4 = ±1，∴ 1 = 3， 2 = 5 .
（3） 2 + 4 9 = 2 11 .
解：原方程化为 2 + 2 + 2 = 0. ∵ = 1， = 2， = 2 ，
∴ Δ = 22 4 × 1 × 2 = 4 < 0，∴ 此方程无实数根.
（4）3( 1)2 12 = 0 .
解：∵ 3( 1)2 12 = 0，∴ 3( 1)2 = 12，则( 1)2 = 4，∴ 1 = ±2 ，
解得 1 = 3， 2 = 1 .
（5）2 ( 3) 5(3 ) = 0 .
解：原方程化为2 ( 3) + 5( 3) = 0，∴ ( 3)(2 + 5) = 0，∴ 3 = 0
5
或2 + 5 = 0，解得 = 3或 = .
2
（6）(4 1)2 10(4 1) 24 = 0 .
解：令4 1 = ，得 2 10 24 = 0，∴ ( 12)( + 2) = 0 ，
∴ 12 = 0或 + 2 = 0，∴ 1 = 12， 2 = 2.当 = 12时，4 1 = 12 ，
13 1 13 1
= ；当 = 2时，4 1 = 2， = .综上，原方程的解为 1 = ， 2 = . 4 4 4 4
7.已知关于 的一元二次方程 2 ( + 4) + 4 = 0 .
（1）求证：该方程总有两个实数根.
证明：
∵ Δ = 2 4 = [ ( + 4)]2 4 × 4 = 2 8 + 16 = ( 4)2 ≥ 0，∴ 该
方程总有两个实数根.
（2）若该方程有一个根小于 1，求 的取值范围.
解：用因式分解法解方程 2 ( + 4) + 4 = 0，可得( 4)( ) = 0 ，
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第 21 章一元二次方程
解得 1 = 4， 2 = ，若该方程有一个根小于 1，则 < 1 .
8.对任意实数 ， ( ≠ 0) 规定一种新运算： = + 3，例如：3 2 = 32 + 3
× 2 3 = 12 .
（1）计算：( 2) 3 ；
解：( 2) 3 = ( 2)3 + ( 2) × 3 3 = 8 + ( 6) 3 = 14 3 = 17 .
（2）若( ) 2的值为 4，求 的值.
解：由题意得( ) 2 = 4，∴ ( )2 + 2( ) 3 = 4 ，整理得
2 2 7 = 0，解得 1 = 1 + 2√2， 2 = 1 2√2 .
重点 3 一元二次方程的应用
9.在△ 中，∠ = 90 ， = 6 cm， = 8 cm ，动点 从点 沿线段 向点 移动，
一动点 从点 沿线段 向点 移动，两点同时开始移动，点 的速度为1 cm/s，点 的速度
为2 cm/s，当点 到达点 时两点同时停止运动.若使△ 的面积为5 cm2，则点 运动的时
间是( )
A.1 s B.4 s C.5 s或1 s D.4 s或1 s
答案：A
解析：设点 运动的时间为 s，则 = (6 ) cm， = 2 cm .依题意得
1
(6 ) × 2 = 5，整理得 2 6 + 5 = 0，解得 1 = 1， 2 = 5. ∵ 当点 到达点 2
时两点同时停止运动，∴ 2 ≤ 8，∴ ≤ 4，∴ = 1 .故选 A.
10.定义运算： & = 2 + 2 .例如1&2 = 12 1 × 2 + 2 = 1，则方程 &3 = 0 的根的
情况为______________________.
答案：有两个不相等的实数根
解析：∵ & = 2 + 2， &3 = 0，∴ 2 3 + 2 = 0. ∵ = 1, = 3 ,
= 2,∴ Δ = ( 3)2 4 × 1 × 2 = 1 > 0，∴ 方程 &3 = 0 有两个不相等的实数根，
故答案为有两个不相等的实数根.
11.已知 = 2 2 + 7 1， = 4 + 1，若2 的值比3 的值大 1，求满足条件的 的值.
解：根据题意得2(2 2 + 7 1) = 3(4 + 1) + 1 ，整理得
2 2 + 3 = 0. ∵ = 2， = 1， = 3，∴ Δ = 12 4 × 2 × ( 3) = 25 > 0 ，
1±5 3 3
∴ = ，∴ 1 = 1， 2 = ，即满足条件的 的值为 1或 . 2×2 2 2
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第 21 章一元二次方程
重点 4 实际问题与一元二次方程
12.在一幅长80 cm、宽50 cm 的刺绣风景画的四周镶上金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所
示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2 ，设金色纸边的宽度为 cm （风景画四周的金色
纸边宽度相同），则列出的方程为( )
A.(50 + )(80 + ) = 5 400 B.(50 )(80 ) = 5 400
C.(50 + 2 )(80 + 2 ) = 5 400 D.(50 2 )(80 2 ) = 5 400
答案：C
解析：根据题意得(50 + 2 )(80 + 2 ) = 5 400 .故选 C.
13.运城市位于山西省西南部，生产水果的自然条件得天独厚.某农村合作社 2022年苹果储存量
为 350吨，2024年苹果储存量达到 423.5吨，则这两年苹果储存量的年平均增长率为( )
A.10% B.10.5% C.11% D.21%
答案：A
解析：设这两年苹果储存量的年平均增长率为 .根据题意得350(1 + )2 = 423.5，
解得 1 = 0.1 = 10%， 2 = 2.1（舍），即这两年苹果储存量的年平均增长率为10%.故选 A.
14.小赵根据市场需求，从某批发市场购进了进价为每个 15元的纪念品，第一天以每个 25元
的价格售出了 30个.为了让更多的消费者拥有该种纪念品，从第二天起降价销售，根据市场调
查，每个纪念品的售价每降低 1元，可多售出 3个.如果前两天共获利 525 元，则第二天每个
纪念品的售价为多少元？
解：设第二天每个纪念品的售价为 元.根据题意得
(25 15) × 30 + ( 15)[30 + (25 ) × 3] = 525，整理得 2 50 + 600 = 0 ，
解得 1 = 20， 2 = 30 （不合题意，舍去）.
答：第二天每个纪念品的售价为 20元.
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