第 22 章二次函数
提分专题 3 二次函数与几何图形的综合
类型 1 二次函数与特殊三角形的综合
1.如图，已知抛物线 = 2 + + ( ≠ 0) 经过 (1,6)， (4,0)， ( 1,0)三点，与 轴交于
点 .
（1）求这个抛物线的解析式.
（2）在抛物线对称轴上是否存在点 ，使得△ 的周长最小？若存在，请求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由.
（3）设点 在抛物线的对称轴上，当△ 是直角三角形时，请直接写出点 的坐标.
1
2.如图，抛物线 = ( + 2)( )( > 0) 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴
2
正半轴交于点 ，已知抛物线的对称轴为直线 = 1 .
（1）求抛物线的解析式.
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得△ 为等腰三角形？若存在，求出点 的坐
标；若不存在，请说明理由.
18/40
第 22 章二次函数
类型 2 二次函数与特殊四边形的综合
3.如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 = 2 + 6 + 的对称轴与 轴交于点 ，在直线
： = + 3上取一点 ，使点 在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为 7，设 是抛物
线的对称轴上的一点，点 在抛物线上，若以点 ， ， ， 为顶点的四边形为正方形，求 的
值.
4.如图，抛物线 = 2 + + 经过坐标轴上 ， ， 三点，直线 = + 4过点 和点 .
（1）求抛物线的解析式.
（2） 是直线 上方抛物线上一动点，连接 ， ，求△ 面积的最大值及此时点 的
坐标.
（3）［难］ 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶
点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点 坐标；若不存在，请说明理
由.
19/40
第 22 章二次函数
5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = 2 + + 2与 轴交于 ( 4,0)和 (1,0)，与 轴交
于点 .
（1）求该抛物线的解析式.
（2）在 轴上有一动点 ，平面内是否存在一点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱
形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
20/40第 22 章二次函数
提分专题 3 二次函数与几何图形的综合
类型 1 二次函数与特殊三角形的综合
1.如图，已知抛物线 = 2 + + ( ≠ 0) 经过 (1,6)， (4,0)， ( 1,0)三点，与 轴交于
点 .
（1）求这个抛物线的解析式.
解：将 (1,6)， (4,0)， ( 1,0)代入 = 2 + + ( ≠ 0) ，
+ + = 6, = 1,
得{16 + 4 + = 0, 解得{ = 3, ∴ = 2 + 3 + 4 .
+ = 0, = 4,
（2）在抛物线对称轴上是否存在点 ，使得△ 的周长最小？若存在，请求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由.
解：在抛物线对称轴上存在点 ，使得△ 的周长最小.如图，连接 交对称轴于 ，此时
3 25
△ 的周长最小.令 = 0，则 = 4 ，∴ (0,4). ∵ = 2 + 3 + 4 = ( )2 + ，∴ 抛
2 4
3
物线的对称轴为直线 = .设直线 的解析式为 = + ( ≠ 0)，将 ， 的坐标代入得
2
= 4, = 1, 3 5 3 5
{ 解得{ ∴ = + 4，当 = 时， = ，∴ ( , ) .
4 + = 0, = 4, 2 2 2 2
（3）设点 在抛物线的对称轴上，当△ 是直角三角形时，请直接写出点 的坐标.
3 5 3 29 3 5 3 3 3
解：点 坐标为( , )或( , )或( , )或( , ) .设 ( ， ).∵ (0,4)， ( 1,0)，∴ 2 = 12 + 42 =
2 8 2 8 2 2 2 2 2
24/64
第 22 章二次函数
2 2 3 9 3 2517 ， = (4 ) + (0 )2 = (4 )2 + ， 2 = ( + 1)2 + 2 = + 2 .当 2 =
2 4 2 4
2 2 2 9 25 2 5 3 3 5 3 3 + 时，17 = (4 ) + + + ，解得 1 = ， 2 = ， ∴ ( ，)或 ( ，)；当
2 =
4 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2 9 25 5 3 5 + 时，(4 ) + = 17 + + 2 ，解得 = ，∴ ( ， )；当 2 = 2 + 2
4 4 8 2 8
25
时， + 2 = 17 + (4 )2
9 29 3 29 3 5 3
+ ，解得 = ，∴ ( ， ).综上所述,点 坐标为( ， )或( ，
4 4 8 2 8 2 8 2
29 3 5 3 3
)或( ， )或( ， ) .
8 2 2 2 2
1
2.如图，抛物线 = ( + 2)( )( > 0) 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴
2
正半轴交于点 ，已知抛物线的对称轴为直线 = 1 .
（1）求抛物线的解析式.
1
解：在 = ( + 2)( )中，令 = 0得 = 2或 = ，∴ ( 2,0) ， ( , 0). ∵ 抛物线的
2
2+ 1 1
对称轴为直线 = 1，∴ = 1，解得 = 4 ，∴ = ( + 2)( 4) = 2 + + 4，∴ 抛
2 2 2
1
物线的解析式为 = 2 + + 4 .
2
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得△ 为等腰三角形？若存在，求出点 的坐
标；若不存在，请说明理由.
1
解：在抛物线的对称轴上存在点 ，使得△ 为等腰三角形.设 (1, ) .在 = 2 + + 4
2
中，令 = 0,得 = 4，∴ (0,4).由（1）知 (4,0) ，∴ 2 = 1 + ( 4)2， 2 = 9 + 2，
2 = 32.①当 = 时，1 + ( 4)2 = 9 + 2，解得 = 1，∴ (1,1);②当 = 时，
1 + ( 4)2 = 32，解得 = 4 + √31或 = 4 √31，∴ (1,4 + √31) 或(1,4 √31)；③当
= 时，9 + 2 = 32，解得 = √23或 = √23 ，∴ (1, √23)或(1, √23).综上所述，
点 的坐标为(1,1)或(1,4 + √31)或(1,4 √31) 或(1, √23)或(1, √23) .
25/64
第 22 章二次函数
类型 2 二次函数与特殊四边形的综合
3.如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 = 2 + 6 + 的对称轴与 轴交于点 ，在直线
： = + 3上取一点 ，使点 在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为 7，设 是抛物
线的对称轴上的一点，点 在抛物线上，若以点 ， ， ， 为顶点的四边形为正方形，求 的
值.
解：∵ 抛物线 = 2 + 6 + 的对称轴与 轴交于点 ，∴ (3,0). ∵ 点 在直线 ： = +
3上，∴ 0 = 3 + 3，解得 = 1，∴ 直线 的解析式为 = + 3，∴ 设点 ( , + 3).
又∵ 点 在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为 7，∴ 3 + = 7，解得 = 5， 5 + 3 =
2,∴ (5, 2)，∴ 到抛物线对称轴的距离为5 3 = 2， 到 轴的距离为 2.当 是正方形对
角线时，易知 (3, 2) ，则 (5,0). ∵ 点 在抛物线上，∴ 把 (5,0)代入 = 2 + 6 + ，
得0 = 25 + 30 + ，解得 = 5.当 是正方形的边时，易知 (3, 4) ，则 (1, 2). ∵ 点 在
抛物线上，∴ 把 (1, 2)代入 = 2 + 6 + ，得 2 = 1 + 6 + ，解得 = 7. ∴ 的值
为 5或 7 .
4.如图，抛物线 = 2 + + 经过坐标轴上 ， ， 三点，直线 = + 4过点 和点 .
（1）求抛物线的解析式.
解：∵ = + 4,∴ 当 = 0时， = 4，∴ (0,4);当 = 0 时， = 4，∴ (4,0).将点 ， 的
1
2 16 + 4 + = 0, = ,坐标代入 = + + ，得{ 解得{ 2 ∴ 抛物线的解析式为 =
= 4, = 4,
26/64
第 22 章二次函数
1
2 + + 4 .
2
（2） 是直线 上方抛物线上一动点，连接 ， ，求△ 面积的最大值及此时点 的
坐标.
1
解：过 点作 // 轴交 于点 .设 ( , 2 + + 4)，则 ( , + 4) ，
2
1 1 1
∴ = 2 + 2 ，∴ 2△ = × ( + 2 ) × 4 =
2 + 4 = ( 2)2 + 4,
2 2 2
∴ 当 = 2时，△ 的面积有最大值 4，此时 (2,4) .
（3）［难］ 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶
点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点 坐标；若不存在，请说明理
由.
1 1
解：存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形. ∵ = 2 + + 4 = (
2 2
9 1
1)2 + ，∴ 抛物线的对称轴为直线 = 1 .设 (1, )， ( , 2 + + 4).①当 为平行四边
2 2
5
形的对角线时，1 + = 4 ，解得 = 3，∴ (3, )；②当 为平行四边形的对角线时， = 4 +
2
7 7
1 = 5，∴ (5, ) ；③当 为平行四边形的对角线时，4 + = 1，解得 = 3，∴ ( 3, ) .
2 2
5 7 7
综上所述， 点坐标为(3, )或(5, )或( 3, ) .
2 2 2
5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = 2 + + 2与 轴交于 ( 4,0)和 (1,0)，与 轴交
于点 .
（1）求该抛物线的解析式.
解：∵ 抛物线 = 2 + + 2与 轴交于 ( 4,0)和 (1,0) ，
1
16 4 + 2 = 0, = , 1 3
∴ { 解得{ 23 ∴ 该抛物线的解析式为 =
2 + 2 .
+ + 2 = 0, = , 2 2
2
（2）在 轴上有一动点 ，平面内是否存在一点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱
形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
27/64
第 22 章二次函数
解：存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形.∵ 以点 ， ， ， 为顶点的四边
形是菱形，
∴ ①如图（1），当 1为对角线时，点 1和点 关于原点对称.由（1）易得点 (0,2)，∴ 点
1(0, 2) .
②如图（2），当 2 = ，点 2在点 右侧时，∵ 点 (0,2) ，
2 = = √ 2 + 2 = 2√5，∴ 点 2(2√5，2) .
③如图（3），当 3 = ，点 3在点 左侧时，∵ 点 (0,2) ，
3 = = √ 2 + 2 = 2√5，∴ 点 3( 2√5，2) .
④当 为对角线时，如图（4）所示设 4 = 4 = 4 = ，
5 5
则 4 = 4 = 4 . ∵
2
4 =
2
4 +
2，∴ 2 = (4 )2 + 22 ，解得 = ,∴ = ，
2 4 2
5 5
∴ 点 4( , 2) .综上，点 的坐标为 1(0, 2)， 2(2√5，2)， 2 3( 2√5, 2)， 4( , 2) . 2
28/64
