第 22 章二次函数
提分专题 2 实际应用问题
类型 1 利润问题
1.某超市购进一批单价为 7 元/件的生活用品，如果按每件 10 元出售，那么每天可销售 20 件.
经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高 1 元，其销售量相应减少 4 件，那么将销售单价
定为____元/件时，才能使每天所获销售利润最大.
答案：11
解析：设销售单价定为 元/件( ≥ 10)，每天所获利润为 元，则 = [20 4( 10)] (
7) = 4 2 + 88 420 = 4( 11)2 + 64 ，所以将销售单价定为 11 元/件时，才能使每天
所获销售利润最大.故答案为 11.
2.端午节吃粽子是中国传统习俗，在端午节来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是 40
元，并规定每盒售价不得少于 50 元，日销售量不低于 350 盒.根据以往销售经验发现，当每盒
售价定为 50 元时，日销售量为 500 盒，若每盒售价每提高 1 元，则日销售量减少 10 盒.设每
盒售价为 元，日销售量为 盒.
（1）当 = 60时， = _______________________________________.
解：由题意可得， = 500 10( 50) = 10 + 1 000，即每天的销售量 （盒）与每盒售
价 （元）之间的函数关系式是 = 10 + 1 000( ≥ 50)，当 = 60 时， = 10 × 60 +
1 000 = 400 .故答案为 400.
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润 （元）最大？最大是多少？
解： = ( 40)( 10 + 1 000) = 10 2 + 1 400 40 000 = 10( 70)2 + 9 000 .由
≥ 50,
题可知，每盒售价不得少于 50 元，日销售量不低于 350 盒，∴ { 即
≥ 350,
≥ 50,
{ 解得50 ≤ ≤ 65. ∵ 10 < 0,65 < 70,∴ 当 = 65时， 取得最大值，
10 + 1 000 ≥ 350,
此时 = 8 750 .故当每盒售价定为 65 元时，日销售利润最大，为 8 750 元.
（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大.”你认为小强的说法正确吗？若正确，
请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论.
解：正确.理由：设日销售额为 元，则 = [500 10( 50)] = 10 2 + 1 000 = 10(
50)2 + 25 000. ∵ 10 < 0，50 ≤ ≤ 65,∴ 当 = 50时，日销售额最大.∵ 当 = 65时，日销售
利润最大，∴ 小强的说法正确.
类型 2 抛物线形问题
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第 22 章二次函数
3.如图，隧道的纵截面由抛物线和长方形构成，其中长方形的长 = 12 m，宽 = 4 m .按
1
照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 = 2 + + 表示，且抛物线上的点 到
6
17
墙面 的水平距离为3 m ，到地面 的距离为 m.为安全起见，隧道正中间有宽为0.4 m 的
2
隔离带.
（1）求 ， 的值，并计算出拱顶 到地面 的距离.
17 17 1
解：根据题意得 (0,4)， (3， ).把 (0,4)， (3， )代入 = 2 + +
2 2 6
= 4, = 2, 1
得{ 1 2 17 解得{ 所以抛物线解析式为 =
2 + 2 + 4 ，
× 3 + 3 + = , = 4, 6
6 2
1
即 = ( 6)2 + 10，所以 (6,10)，所以拱顶 到地面 的距离为10 m .
6
（2）一辆货车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m ，那么这辆货车能否安全通过隧道？
解：由题意得货车最外侧与地面 的交点为(1.8,0)或(10.2,0)，当 = 1.8 或
= 10.2时， = 7.06 > 6 ，所以这辆货车能安全通过隧道.
（3）［中］在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的
高度不超过8 m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
1
解：令 = 8，则 ( 6)2 + 10 = 8，解得 1 = 6 + 2√3， 2 = 6 2√3 ， 6
1 2 = 4√3，所以两排灯的水平距离最小是4√3 m .
4.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题.如图，在平面
直角坐标系中，一个单位长度代表1 m 长. 嘉嘉在点 (6,1) 处将沙包（看成点）抛出，其运
动路线为抛物线 ： = ( 3)21 + 2 的一部分，淇淇恰在点 (0, ) 处接住，然后跳起将沙
1
包回传，其运动路线为抛物线 ： = 2
2 + + + 1 的一部分. 8 8
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第 22 章二次函数
（1）写出 1的最高点坐标，并求 ， 的值.
解：∵ 抛物线 1: = ( 3)
2 + 2，∴ 1的最高点坐标为(3,2). ∵ 点 (6,1) 在抛物线 1: =
1 1
( 3)2 + 2上，∴ 1 = (6 3)2 + 2，解得 = ，∴ 抛物线 1 的解析式为 = ( 9 9
1
3)2 + 2.令 = 0，则 = (0 3)2 + 2 = 1 .
9
（2）若嘉嘉在 轴上方1 m的高度上，且到点 水平距离不超过1 m 的范围内可以接到沙包，
求符合条件的 的整数值.
解：∵ 嘉嘉在 轴上方1 m的高度上，且到点 水平距离不超过1 m 的范围内可以接到沙包，∴
可以接到沙包的位置的纵坐标为 1，横坐标的取值范围为5 ≤ ≤ 7 . 当抛物线 2经过(5,1)时，
1 2 17 1 1 = × 5 + × 5 + 1 + 1，解得 = ；当抛物线 2 经过(7,1)时，1 = × 7
2 + × 7 + 1 +
8 8 5 8 8
41 17 41
1，解得 = ，∴ ≤ ≤ ，∴ 符合条件的 的整数值为 4 和 5.
7 5 7
类型 3 几何图形问题
5.为进一步激发学生的劳动热情和创新创造能力，盐城市某初级中学的李老师带领学生在某劳
动实践基地开展劳动节田间管理专题实践活动.如图，正方形菜圃 的边长为 8 米，现将
其中 4 个全等的直角三角形（阴影部分）种植青菜，剩余的四边形 种植南瓜.设 的长
为 米，四边形 的面积为 平方米.
（1）求 关于 的函数解析式；
解：由题意得 = = = = 8米， = = 米， = = (8 )米，∠ =
∠ = 90 ， = = = ，∠ = ∠ . ∵ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ +
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第 22 章二次函数
∠ = 90 ，∴ ∠ = 90 ，∴ 四边形 是正方形，∴ = 2 + (8 )2 = 2 2
16 + 64 .
（2）当四边形 的面积为 40 平方米时，求 的长；
解：当 = 40时，2 2 16 + 64 = 40，解得 = 2或 = 6，∴ 的长为 2 米或 6 米.
（3）四边形 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小面积；若不存在，请说明理
由.
解：存在.∵ = 2 2 16 + 64 = 2( 4)2 + 32，∴ 当 = 4时， 有最小值，
最小值为 32，即四边形 的面积最小为 32 平方米.
6.如图，在一面靠墙的空地上用长24 m 的篱笆围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃
的宽 为 m，面积为 m2 .
（1）求 与 之间的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围.
解：∵ 花圃的宽 为 m，∴ = (24 4 )m ，
∴ = (24 4 ) = 4 2 + 24 (0 < < 6) .
（2）若墙的最大可用长度为8 m ，求围成花圃的最大面积.
解： = 4 2 + 24 = 4( 3)2 + 36. ∵ 24 4 ≤ 8，∴ ≥ 4 .又∵ 0 < < 6，∴ 4 ≤ < 6.
当4 ≤ < 6时， 随 的增大而减小，∴ 当 = 4 时，围成的花圃有最大面积， 最大 = 32.答：
围成花圃的最大面积是32 m2 .
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提分专题 2 实际应用问题
类型 1 利润问题
1.某超市购进一批单价为 7 元/件的生活用品，如果按每件 10 元出售，那么每天可销售 20 件.
经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高 1 元，其销售量相应减少 4 件，那么将销售单价
定为____元/件时，才能使每天所获销售利润最大.
2.端午节吃粽子是中国传统习俗，在端午节来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是 40
元，并规定每盒售价不得少于 50 元，日销售量不低于 350 盒.根据以往销售经验发现，当每盒
售价定为 50 元时，日销售量为 500 盒，若每盒售价每提高 1 元，则日销售量减少 10 盒.设每
盒售价为 元，日销售量为 盒.
（1）当 = 60时， = _______________________________________.
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润 （元）最大？最大是多少？
（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大.”你认为小强的说法正确吗？若正确，
请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论.
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第 22 章二次函数
类型 2 抛物线形问题
3.如图，隧道的纵截面由抛物线和长方形构成，其中长方形的长 = 12 m，宽 = 4 m .按
1
照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 = 2 + + 表示，且抛物线上的点 到
6
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墙面 的水平距离为3 m ，到地面 的距离为 m.为安全起见，隧道正中间有宽为0.4 m 的
2
隔离带.
（1）求 ， 的值，并计算出拱顶 到地面 的距离.
（2）一辆货车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m ，那么这辆货车能否安全通过隧道？
（3）［中］在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的
高度不超过8 m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
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第 22 章二次函数
4.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题.如图，在平面
直角坐标系中，一个单位长度代表1 m 长. 嘉嘉在点 (6,1) 处将沙包（看成点）抛出，其运
动路线为抛物线 ： = ( 3)21 + 2 的一部分，淇淇恰在点 (0, ) 处接住，然后跳起将沙
1
包回传，其运动路线为抛物线 22： = + + + 1 的一部分. 8 8
（1）写出 1的最高点坐标，并求 ， 的值.
（2）若嘉嘉在 轴上方1 m的高度上，且到点 水平距离不超过1 m 的范围内可以接到沙包，
求符合条件的 的整数值.
类型 3 几何图形问题
5.为进一步激发学生的劳动热情和创新创造能力，盐城市某初级中学的李老师带领学生在某劳
动实践基地开展劳动节田间管理专题实践活动.如图，正方形菜圃 的边长为 8 米，现将
其中 4 个全等的直角三角形（阴影部分）种植青菜，剩余的四边形 种植南瓜.设 的长
为 米，四边形 的面积为 平方米.
（1）求 关于 的函数解析式；
（2）当四边形 的面积为 40 平方米时，求 的长；
（3）四边形 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小面积；若不存在，请说明理
由.
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第 22 章二次函数
6.如图，在一面靠墙的空地上用长24 m 的篱笆围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃
的宽 为 m，面积为 m2 .
（1）求 与 之间的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围.
（2）若墙的最大可用长度为8 m ，求围成花圃的最大面积.
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