第 23 章相似
提分专题 4 旋转中的常见模型
类型 1 特殊旋转角构造特殊三角形
1.如图，点 是等边△ 内一点，∠ = .将△ 绕点 按顺时针方向旋转60
得△ ，连接 .
（1）求证：△ 是等边三角形.
证明：∵ 将△ 绕点 顺时针旋转60 得到△ ，∴ = ，∠ = 60 ，∴ △ 是
等边三角形.
（2）当 = 150 时， = 4， = 3，求 的长.
解：∵ 将△ 绕点 顺时针旋转60 得到△ ，∴ △ ≌△ ，
∴ ∠ = ∠ = 150 ， = = 4.又∵ △ 是等边三角形，
∴ ∠ = 60 ， = = 3，∴ ∠ = ∠ ∠ = 90 ，
∴ = 2 + 2 = 5 .
2.如图，在△ 中，∠ = 90 ， = ， 是 边上一点，将线段 绕点 逆时针旋
转90 得到 ，连接 ， .
（1）求证： = .
证明：∵ 将线段 绕点 逆时针旋转90 得到 ，∴ = ，∠ = 90 . ∵ ∠ = 90 ，
∴ ∠ ∠ = ∠ ∠ ，∴ ∠ = ∠ .在△ 和△ 中，∵ = ，
∠ = ∠ ， = ，∴ △ ≌△ (SAS)，∴ = .
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第 23 章相似
（2）若 = 3， = 2，求 的长.
解：由（1）得△ ≌△ ，∴ ∠ = ∠ ， = = 2 . ∵ ∠ = 90 ， = = 3，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 45 ， = 2 + 2 = 3 2，∴ ∠ = ∠ + ∠ = 90 ，
= = 2 2，∴ 在 Rt△ 中， = 2 + 2 = 10 .
类型 2 旋转 将线段或角集中在一起
3.如图，△ 中， = 2 ， ， 分别是边 ， 的中点.将△ 绕点 旋转180 ，得
△ .
（1）判断四边形 的形状，并证明.
解：四边形 是菱形，证明如下：∵ , 分别是边 , 的中点，∴ // ,即 // .
又∵ △ 绕点 旋转180 后得△ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ // ，∴ 四边形 是平行
四边形.又∵ = 2 ， 是 的中点，∴ = ，∴ 四边形 是菱形.
（2）连接 ， ，已知 = 3， + = 8，求四边形 的面积.
解：如图，设 与 交于 . ∵ 四边形 为菱形，∴ ⊥ ， = ， = .设 = ，
= ，则 2 + 2 = 8， 2 + 2 = 32，∴ + = 4 ，∴ 2 + 2 + 2 = 16，∴ 2 = 7，∴
1
四边形 的面积为 × = 2 = 7 .
2
4. （1）阅读理解：如图（1），在△ 中，若 = 8， = 12 ，求 边上的中线 的取
值范围.解决此问题可以用如下方法：将△ 绕点 旋转180 得到△ ，把 ， ，2
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第 23 章相似
集中在△ 中，体现了转化与化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可解决问题.
请根据上述方法解决问题.
解：将△ 绕点 旋转180 得到△ ，则 = ， = = 12 .在△ 中，由三角
形的三边关系得 < < + ，∴ 12 8 < < 12 + 8，即 4 < 2 < 20，
∴ 2 < < 10 .
（2）问题解决：如图（2），在△ 中， 是 边上的中点， ⊥ ， 交 于点 ，
交 于点 ，连接 ，求证： + > .
证明：∵ 点 是 边上的中点,∴ 将△ 绕点 旋转180 得到△ ,点 的对应点为点 ,
点 的对应点为点 ,如图，则△ ≌△ ，∴ = ， = .连接 .又∵ ⊥ ，
∴ = .在△ 中，由三角形的三边关系得 + > ，∴ + > .
类型 3 半角模型
母题学方法
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第 23 章相似
半角模型特征：①共端点的等线段；②共顶点的倍（半）角.
通过旋转或作辅助线可以构造全等三角形.
常见的半角模型有90 角含45 角和120 角含60 角.
5. 如图，点 ， 分别在正方形 的边 ， 上，∠ = 45 ，连接 ，
求证： = + .
证明：∵ 四边形 为 正方形，∴ ∠ = 90 ， = ，
∴ 如图，把△ 绕点 逆时针旋转90 至△ ，可使 与 重合，
∴ = ，∠ = ∠ . ∵ ∠ = 90 ，∠ = 45 ，
∴ ∠ + ∠ = 45 ，∴ ∠ = ∠ + ∠ = 45 ，
∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ = ∠ = 90 ，∴ ∠ = 180 ，即点 ， ， 共线.
= ,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS) ，
= ,
∴ = . ∵ = + = + ，∴ = + .
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6.旋转变换是解决数学问题的一种重要思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，
从而便于解决问题.已知△ 中， = ，∠ = ，点 ， 在边 上（不与 ， 重
合），且∠ = 1 .如图，当 = 60 时，将△ 绕点 顺时针旋转60 到△ 的位置，
2
连接 .
（1）∠ =_____
解：由旋转知∠ = 60 . ∵ ∠ = 1 ，∠ = = 60 ， ∴ ∠ = 1 × 60 = 30 ，
2 2
∴ ∠ = ∠ ∠ = 30 ，故答案为30 .
（2）求证： = .
证明：由旋转知 = ，由（1）知∠ = ∠ = 30 .又∵ = ，
∴ △ ≌△ (SAS)，∴ = .
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提分专题 4 旋转中的常见模型
类型 1 特殊旋转角构造特殊三角形
1.如图，点 是等边△ 内一点，∠ = .将△ 绕点 按顺时针方向旋转60 得
△ ，连接 .
（1）求证：△ 是等边三角形.
（2）当 = 150 时， = 4， = 3，求 的长.
2.如图，在△ 中，∠ = 90 ， = ， 是 边上一点，将线段 绕点 逆时针旋
转90 得到 ，连接 ， .
（1）求证： = .
（2）若 = 3， = √2，求 的长.
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类型 2 旋转 将线段或角集中在一起
3.如图，△ 中， = 2 ， ， 分别是边 ， 的中点.将△ 绕点 旋转180 ，得
△ .
（1）判断四边形 的形状，并证明.
（2）连接 ， ，已知 = 3， + = 8，求四边形 的面积.
4. （1）阅读理解：如图（1），在△ 中，若 = 8， = 12 ，求 边上的中线 的
取值范围.解决此问题可以用如下方法：将△ 绕点 旋转180 得到△ ，把 ， ，
2 集中在△ 中，体现了转化与化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可解决问题.
请根据上述方法解决问题.
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（2）问题解决：如图（2），在△ 中， 是 边上的中点， ⊥ ， 交 于点 ，
交 于点 ，连接 ，求证： + > .
类型 3 半角模型
母题学方法——半角模型特征：①共端点的等线段；②共顶点的倍（半）角.通过旋转或作辅
助线可以构造全等三角形.常见的半角模型有90 角含45 角和120 角含60 角.
5. 如图，点 ， 分别在正方形 的边 ， 上，∠ = 45 ，连接 ，
求证： = + .
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6.旋转变换是解决数学问题的一种重要思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，
从而便于解决问题.已知△ 中， = ，∠ = ，点 ， 在边 上（不与 ， 重
1
合），且∠ = .如图，当 = 60 时，将△ 绕点 顺时针旋转60 到△ 的位置，
2
连接 .
（1）∠ =_____
（2）求证： = .
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