第 23 章相似
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重点 1 图形的旋转
1.如图，在平面直角坐标系中，若将△ 绕点 逆时针旋转90 ，得到△ ' '，那么 (6,2) 的
对应点 ' 的坐标是( )
A.( 6, 2) B.( 2, 6) C.( 2,6) D.(2,6)
答案：C
解析：如图， 过 作 ⊥ 轴于 ，过 '作 ' ⊥ 轴于 ，
∴ ∠ = ∠ ' = 90 ，∴ ∠2 + ∠3 = 90 .由旋转的性质可知，∠ ' = 90 ， = '，
∴ ∠1 + ∠2 = 90 ，∴ ∠1 = ∠3 .
∠3 = ∠1,
在△ ' 和△ 中， ∠ ' = ∠ = 90 , ∴ △ ' ≌△ (AAS) ，
' = ,
∴ ' = ， = .又∵ (6,2)，即 = 2， = 6，∴ ' = 6， = 2 ，
∴ '( 2,6) .故选 C.
2.如图，将△ 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，若 点恰好在 的延长线上，则∠ 的
度数为_________.（用含 的式子表示）
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第 23 章相似
答案：180
解析：∵ 将△ 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，
∴ ∠ = ∠ ， = ，∠ = ，∴ ∠ = ∠ = ∠ = 180 ，
2
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 180 ，故答案为180 .
3.如图，在△ 中， = ，∠ = 40 ，将△ 绕点 按逆时针方向旋转100 得到
△ ，连接 ， 交于点 .
（1）求证：△ ≌△ .
证明：∵ △ 绕点 按逆时针方向旋转100 得到△ ，
∴ ∠ = ∠ = 40 ，∠ = ∠ = 100 ， = ， = .又
= ,
∵ = ，∴ = = = .在△ 与△ 中， ∠ = ∠ , ∴
= ,
△ ≌△ (SAS) .
（2）求∠ 的度数.
解：∵ ∠ = ∠ = 100 ， = = = ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 40 . ∵ ∠ = ∠ + ∠ = 140 ，
∴ ∠ = 360 ∠ ∠ ∠ = 140 ，
∴ ∠ = 180 ∠ = 40 .
4.如图，Rt△ 中，∠ = 90 ，将△ 绕点 逆时针旋转 (0 < < 180 )得到△ ，
点 的对应点为 ，射线 与射线 交于点 ，连接 .
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（1）求证： = ；
证明：∵ Rt△ 中，∠ = 90 ,将△ 绕点 逆时针旋转
(0 < < 180 )得到△ ，∴ = ，∠ = ∠ = ∠ = 90 .在
Rt△ 与 Rt = ,△ 中， = , ∴ Rt△ ≌Rt△ (HL)，∴ = .
（2）若 = 2 = 4， // ，求线段 的长.
解：∵ = 2 = 4,将 Rt△ 绕点 逆时针旋转 (0 < < 180 ) 得到
△ ，∴ = = 4， = = 2， = ，
∠ = ∠ = ∠ = 90 ， = = 2 + 2 = 2 5 .由（1）可得
∠ = ∠ .又∵ // ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ = = 2 5，∴ = + = 2 5 + 2，∴ = 2 5 + 2 .
重点 2 中心对称图形
5.如图， 是等腰三角形 的底边上的中线， = 2， = 4，△ 与△ 关于点
中心对称，连接 ，则 的长是( )
A.4 B.4 2 C.2 5 D.2 6
答案：D
解析：∵ 是等腰三角形 的底边上的中线，∴ ⊥ ，即∠ = 90 ，
= = 1 = 1，∴ = 2 2 = 42 12 = 15.∵ △ 与△
2
关于点 中心对称，∴ = = 1，∠ = ∠ = 90 ， = = 15 ，
∴ = + + = 3，∴ = 2 + 2 = 32 + ( 15)2 = 2 6 .故选 D.
6.如图，线段 与线段 关于点 中心对称，若点 (3,3)， (5,1)， ( 3, 1)，则点 的
坐标为( )
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A.( 3, 3) B.( 1, 3) C.( 4, 2) D.( 2, 4)
答案：B
解析：∵ (5,1)， ( 3, 1)关于点 5 3中心对称， = 1 1 1， = 0，
2 2
∴ 点 的坐标为(1,0).设点 ( , ) ，
∵ (3,3)与点 关于点 3+ +3中心对称，∴ = 1， = 0，∴ = 1， = 3 ，
2 2
∴ ( 1, 3) .故选 B.
7.如图，平面直角坐标系中， 的顶点 的坐标为(6,0)，点 坐标为(2,2) ，若直线
= + 2平分 的面积，则 的值为____.
1
答案：
4
解析：如图，连接 ， 交于点 ，则点 的坐标为(4,1). ∵ 直线 = + 2平分
的面积，∴ 直线 = + 2经过点 ，则 1 = 4 + 2，解得 = 1 . 1故答案为 .
4 4
8.如图，△ 与△ 成中心对称.
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（1）找出它们的对称中心 .
解：如图，点 即为所求.
（2）若 = 6， = 5， = 4，求△ 的周长.
解：由题意得△ ≌△ ，则△ 的周长与△ 的周长相等，则△ 的周长为 6 +
5 + 4 = 15 .
（3）连接 ， ，试判断四边形 的形状，并说明理由.
解：四边形 是平行四边形.理由：如图，由题意得 = ， = ，
∴ 四边形 是平行四边形.
重点 3 关于原点对称的点的坐标特点
9.点 ( 3, )与点 ( , 5)关于原点对称，则 + 的值为____.
答案： 2
解析：∵ 点 ( 3, )与点 ( , 5)关于原点对称，∴ = 5， = 3 ，
∴ + = 5 + 3 = 2，故答案为 2 .
10. ( + 1, 已知点 + 1) 关于原点对称的点在第四象限，则 的取值范围是________.
2
答案： < 1
∵ ( + 1, 解析： 点 + 1)关于原点对称的点在第四象限，
2
+ 1 < 0,①∴ 点 ( + 1, + 1)在第二象限， ∴
2 + 1 > 0, 解不等式①，得 < 1 ，②
2
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解不等式②，得 < 2，∴ 不等式组的解集为 < 1，∴ 的取值范围是 < 1 .故答案
为 < 1 .
重点 4 轴对称、平移和旋转作图
11.如图，在 8 × 8 的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点称为格点，
△ 的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，
保留作图痕迹.
（1）画出将△ 向上平移 4格后得到的△ 1 1 1 .
解：如图，△ 1 1 1 即为所作.
（2）画出将△ 绕点 旋转180 后得到的△ 2 2 .
解：如图，△ 2 2 即为所作.
（3）若点 3在格点上，将△ 沿直线 翻折，点 恰好与点 3 重合，先画出直线 ，再画出
翻折后的△ 3 3 3 .
解：如图，直线 和△ 3 3 3 即为所作.
34/64第 23 章相似
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重点 1 图形的旋转
1.如图，在平面直角坐标系中，若将△ 绕点 逆时针旋转90 ，得到△ ′ ′，那么 (6,2)
的对应点 ′ 的坐标是( )
A.( 6, 2) B.( 2, 6) C.( 2,6) D.(2,6)
2.如图，将△ 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，若 点恰好在 的延长线上，则∠ 的
度数为_________.（用含 的式子表示）
3.如图，在△ 中， = ，∠ = 40 ，将△ 绕点 按逆时针方向旋转100 得到
△ ，连接 ， 交于点 .
（1）求证：△ ≌△ .
（2）求∠ 的度数.
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4.如图，Rt△ 中，∠ = 90 ，将△ 绕点 逆时针旋转 (0 < < 180 )得到△ ，
点 的对应点为 ，射线 与射线 交于点 ，连接 .
（1）求证： = ；
（2）若 = 2 = 4， // ，求线段 的长.
重点 2 中心对称图形
5.如图， 是等腰三角形 的底边上的中线， = 2， = 4，△ 与△ 关于点
中心对称，连接 ，则 的长是( )
A.4 B.4√2 C.2√5 D.2√6
6.如图，线段 与线段 关于点 中心对称，若点 (3,3)， (5,1)， ( 3, 1)，则点 的坐
标为( )
A.( 3, 3) B.( 1, 3) C.( 4, 2) D.( 2, 4)
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7.如图，平面直角坐标系中， 的顶点 的坐标为(6,0)，点 坐标为(2,2) ，若直线
= + 2平分 的面积，则 的值为____.
8.如图，△ 与△ 成中心对称.
（1）找出它们的对称中心 .
（2）若 = 6， = 5， = 4，求△ 的周长.
（3）连接 ， ，试判断四边形 的形状，并说明理由.
重点 3 关于原点对称的点的坐标特点
9.点 ( 3, )与点 ( , 5)关于原点对称，则 + 的值为____.
10.已知点 ( + 1, + 1) 关于原点对称的点在第四象限，则 的取值范围是________.
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重点 4 轴对称、平移和旋转作图
11.如图，在8 × 8 的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点称为格点，
△ 的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，
保留作图痕迹.
（1）画出将△ 向上平移 4格后得到的△ 1 1 1 .
（2）画出将△ 绕点 旋转180 后得到的△ 2 2 .
（3）若点 3在格点上，将△ 沿直线 翻折，点 恰好与点 3 重合，
先画出直线 ，再画出翻折后的△ 3 3 3 .
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