第 24 章圆
提分专题 5 圆与辅助线
类型 1 添半径，得等腰
1.如图， 是⊙ 的直径， 是 延长线上一点，点 在⊙ 上，且 = ， 的延长线
交⊙ 于点 ，连接 .若∠ = 20 ，则∠ 的度数是____.
答案：60
解析：连接 ，如图.∵ = = ，∠ = 20 ，
∴ ∠ = 2∠ = 40 . ∵ = ，∴ ∠ = ∠ = 40 ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 20 + 40 = 60 ，故答案为60 .
2.如图， ， 是⊙ 的直径，弦 // ，弧 的度数为40 ，则∠ 的度数为____.
答案：70
解析：连接 ，如图.∵ 弧 的度数为40 ，∴ ∠ = 40 . ∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = (180 40 ) ÷ 2 = 70 . ∵ // ，∴ ∠ = ∠ = 70 .
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第 24 章圆
类型 2 构造直径所对的圆周角
3.如图， 是⊙ 的直径，点 ， ， 在⊙ 上，若∠ = 20 ，则∠ 的度数是( )
A.110 B.115 C.120 D.125
答案：A
解析：连接 ，如图.∵ 是⊙ 的直径，
∴ ∠ = 90 . ∵ ∠ = ∠ = 20 ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 90 + 20 = 110 .故选 A.
4.如图， 是半圆 的直径，∠ = 25 ，点 在 上，则∠ 的度数是( )
A.65 B.115 C.130 D.135
答案：B
解析：连接 ，如图.∵ 是半圆 的直径，∴ ∠ = 90 . ∵ ∠ = 25 ，
∴ ∠ = 65 . ∵ 四边形 是圆内接四边形，∴ ∠ + ∠ = 180 ，
∴ ∠ = 180 65 = 115 .故选 B.
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第 24 章圆
5.如图，已知⊙ 的直径为 8， ， ， 三点在⊙ 上，且∠ = 60 ，则 长为_____.
答案：4√3
解析：如图，作直径 ，连接 ，∴ ∠ = 90 .由圆周角定理的推论得，∠ = ∠ = 60 ，
1
∴ ∠ = 30 ，∴ = = 4，∴ = √82 42 = 4√3，故答案为4√3 .
2
类型 3 遇 圆周角，构造直径
6.如图，⊙ 经过原点和点 (4,0)， 是⊙ 的一条弦，∠ = 30 ，则点 的坐标为( )
A.(2,0) B. 3 4(0, √3) C.(0, √3) D.(3,0)
4 3
答案：C
解析：连接 ，如图所示 .由∠ = 90 可得 为⊙ 的直径.
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第 24 章圆
∵ ∠ = 30 ,∴ ∠ = 30 ，∴ = 2 . ∵ (4,0) ，∴ = 4，∴ 2 + 42 = (2 )2，∴
4 4
= √3 （负值已舍去），∴ (0, √3) .故选 C.
3 3
7.如图，有位同学把直角三角板的直角顶点 放在破损的圆形玻璃的圆弧上，两直角边与圆弧
分别交于点 ， ，量得 = 8 cm， = 6 cm ，他就知道圆形玻璃的半径是___cm .
答案：5
解析：如图，连接 . ∵ ∠ = 90 ，∴ 是圆的直径.
∵ = 8 cm， = 6 cm，∴ = √ 2 + 2 = 10 cm，
∴ 圆形玻璃的半径为5 cm ，故答案为 5.
类型 4 圆上多点，构造圆内接四边形
8.如图，点 ， ， ， ， 都在⊙ 上， 是直径， // ，∠ = 28 ，则∠ 的度数为
( )
A.28 B.56 C.62 D.68
答案：C
解析：如图，连接 . ∵ // ，∠ = 28 ，
∴ ∠ = ∠ = 28 . ∵ 是⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 ，
∴ ∠ = 90 + 28 = 118 . ∵ 四边形 为⊙ 的内接四边形，
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第 24 章圆
∴ ∠ + ∠ = 180 ，∴ ∠ = 180 ∠ = 62 ，故选 C.
9.如图，点 ， ， ， ， 都是⊙ 上的点， = ，∠ = 128 ，则∠ 的度数为( )
A.128 B.126 C.118 D.116
答案：D
解析：连接 ， ，如图.
∵ 点 ， ， ， 都是⊙ 上的点，
∴ 四边形 内接于⊙ ，∴ ∠ + ∠ = 180 ，
∴ ∠ = 180 128 = 52 . ∵ = ，
1
∴ ∠ = ∠ = × (180 52 ) = 64 . ∵ 点 ， ， ， 都是⊙ 上的点，
2
∴ 四边形 内接于⊙ ，∴ ∠ + ∠ = 180 ，
∴ ∠ = 180 64 = 116 ，故选 D.
10.如图，在△ 中， = ，⊙ 经过△ 顶点 ， ，与 ， 分别交于点 ， .
求证： = .
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第 24 章圆
证明：如图， 连接 .
∵ = ，∴ ∠ = ∠ . ∵四边形 内接于⊙ ，∴ 易得∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，∴ = ，∴ = ，即 = .
类型 5 有弦的中点时，构造三角形中位线
11.如图， 是⊙ 的直径， ， 是⊙ 上的两个动点（点 ， 不与 ， 重合），在运动过
程中弦 的长度始终保持不变， 是弦 的中点，过点 作 ⊥ 于点 .若 = 6， = 10，
则 的最大值为___，此时 的长度为___.
答案：5 , 4
解析：如图，延长 交⊙ 于 ，连接 .
1 10
∵ ⊥ ，∴ = . ∵ = ，∴ = ，∴ 当 为直径时， 的值最大，为 = 5，
2 2
此时∠ = 90 ，∴ = √ 2 2 = √102 62 = 8 ，∴ = 4 .故答案为 5，4.
12.如图，在半径为 5 的扇形 中，∠ = 90 ，点 是弧 上的一个动点（不与点 ，
重合）， ⊥ ， ⊥ ，垂足分别为 ， .
（1）当 = 6时，求线段 的长.
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第 24 章圆
1 1
解：∵ ⊥ ，∴ = = × 6 = 3. ∵ ∠ = 90 ， = 5 ， = 3，
2 2
∴ = √ 2 2 = 4，即线段 的长为 4.
（2）在△ 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，
请说明理由.
解：存在， 保持不变.连接 ，如图.∵ ∠ = 90 ， = = 5，∴ = √ 2 + 2 =
1 5√2
5√2.∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ 和 分别是线段 和 的中点，∴ = = .
2 2
类型 6 有切线，连圆心与切点，得垂直
13.如图，在Rt△ 中，∠ = 90 ， 为 边上一点，以 为直径的半圆 与 相切于点 .
若 = 3 ， = 3√5，则半圆 的半径为___.
答案：6
解析：连接 ，如图所示.∵ 与半圆 相切于点 ，∴ ⊥ .设半圆 的半径为 ，则 =
3 + ， = .在Rt△ 中，(3√5)2 + 2 = (3 + )2，解得 = 6，∴ 半圆 的半径为 6.
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第 24 章圆
14.如图，四边形 是⊙ 的内接四边形， 是直径， 是 的中点，过点 作⊙ 的切
线 交 的延长线于点 .
（1）求证： ⊥ ；
证明：如图，连接 . ∵ 切⊙ 于 ，∴ ⊥ . ∵ 是 的中点，∴ ∠ = ∠ . ∵ =
，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ // ，∴ ⊥ .
（2）连接 ，若 = 6， = 8，求 的长.
解：如图，设 与 交于点 . ∵ 是⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 ，∠ = 90 ，
∴ ⊥ . ∵ = 6， = 8，∴ = √ 2 + 2 = 10 ，
∴ = 5. ∵ // ， ⊥ ，∴ ⊥ ，∴ = 2 .设 = ，
∵ 2 = 2 2 = 2 2，∴ 62 2 = 52 (5 )2，解得 = 3.6 ，
∴ = 3.6，∴ = √ 2 2 = 4.8，∴ = 2 = 9.6 .
类型 7 连半径，证垂直，得切线
15.如图，在△ 中， = ，以 为直径的⊙ 与 交于点 ，过 作 ⊥ ，交
的延长线于 ，垂足为 .求证：直线 是⊙ 的切线.
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第 24 章圆
证明：连接 ，如图.∵ = ，∴ ∠ = ∠ . ∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ // . ∵ ⊥ ，
∴ ⊥ . ∵ 为半径，∴ 直线 是⊙ 的切线.
16.如图，以△ 的边 为直径的半圆 分别交 ， 于点 ， ，已知 = ，过点 作
⊥ 于点 .求证： 是半圆 的切线.
证明：连接 . ∵ 为半圆 的直径，
∴ ∠ = ∠ = 90 . ∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ，∴ = . ∵ = ，∴ 是△ 的中位线，
∴ // . ∵ ⊥ ，∴ ⊥ . ∵ 是半圆 的半径，∴ 是半圆 的切线.
类型 8 作垂直，证半径，得切线
17.如图，在Rt△ 中，∠ = 90 ，∠ 的平分线交 于 ，以 为圆心， 长为半
径作⊙ ，求证： 是⊙ 的切线.
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第 24 章圆
证明：过点 作 ⊥ 于 ，如图所示.∵ ∠ = 90 ，
∴ ⊥ . ∵ 平分∠ ， ⊥ ，∴ = ，∴ 点 在⊙ 上，∴ 是⊙ 的切线.
类型 9 遇内心，作边的垂线，构造直角三角形
18.如图，点 为△ 的内心，∠ = 60 ，点 ， 分别为 ， 上的点， ≠ ，且
= ，则∠ 的度数是( )
A.120 B.150 C.100 D.无法判断
答案：A
解析：连接 ，过点 作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 ，如图.
∵ 点 为△ 的内心，∴ 是∠ 的平分线.又
= ,
∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ = .在Rt△ 和Rt△ 中，{
= ,
∴ Rt△ ≌Rt△ (HL) ，
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第 24 章圆
∴ ∠ = ∠ .在四边形 中，∠ = ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 180 .又∵ ∠ = 60 ，∴ ∠ = 120 ，即∠ + ∠ = 120 ，
∴ ∠ + ∠ = 120 ，∴ ∠ = 120 .
19.如图，在Rt△ 中，∠ = 90 ， = 8 ， = 6，点 ， 分别是△ 的内心和外心，
则 = ____.
答案：√5
解析：连接 ， ， ，过点 作 ⊥ 于点 ，作 ⊥ 于点 ，作 ⊥ 于点 ，
如图
∵ ∠ = 90 ， = 8， = 6，∴ = √ 2 + 2 = 10.
∵ 为Rt△ 的外心，∴ = = 5. ∵ 为△ 的内心，
∴ = = . ∵ △ = △ + △ + △ ，
1 1 1 1
∴ × 10 + × 8 + × 6 = × 8 × 6，
2 2 2 2
∴ = = = 2. ∵ ∠ = ∠ = ∠ = 90 ， = ，
∴ 四边形 为正方形，∴ = = 2，
∴ = 6 2 = 4. ∵ = ， = ，
∴ Rt△ ≌Rt△ (HL)，∴ = = 4，∴ = = 5 4 = 1 ，
∴ = √ 2 + 2 = √22 + 12 = √5，故答案为√5 .
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第 24 章圆
类型 10 构造隐圆
20.如图，在矩形 中， = 6 ， = 4， 是矩形内部一动点，且满足∠ = ∠ ，
则线段 的最小值是___.
答案：2
解析：∵ 四边形 是矩形，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 . ∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = 90 ，∴ 点 在以 为直径的圆上.
如图， 以 为直径作⊙ ，连接 ，交⊙ 于 ，此时 的值最小.
∵ 2 = 2 + 2 = 42 + 32，∴ = 5 ，∴ = = 5 3 = 2 .
21.如图，四边形 中， = = = ，∠ = 15 ，则∠ = ____.
答案：35
解析：∵ = = ，∴ 点 ， ， 在以 点为圆心， 为半径的圆上.
如图，作⊙ .
由圆周角定理可得∠ = 2∠ ，∠ = 2∠ = 2 × 15 = 30 .
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第 24 章圆
设∠ = ，则∠ = 2 . ∵ = ，∴ ∠ = 2 . ∵ ∠ = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ = 2 30 . ∵ = ，
1
∴ ∠ = ∠ = × (180 30 ) = 75 ，即2 30 + = 75 ，解得 = 35 ，
2
即∠ = 35 .故答案为35
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提分专题 5 圆与辅助线
类型 1 添半径，得等腰
1.如图， 是⊙ 的直径， 是 延长线上一点，点 在⊙ 上，且 = ， 的延长线
交⊙ 于点 ，连接 .若∠ = 20 ，则∠ 的度数是____.
2.如图， ， 是⊙ 的直径，弦 // ，弧 的度数为40 ，则∠ 的度数为____.
类型 2 构造直径所对的圆周角
3.如图， 是⊙ 的直径，点 ， ， 在⊙ 上，若∠ = 20 ，则∠ 的度数是( )
A.110 B.115 C.120 D.125
4.如图， 是半圆 的直径，∠ = 25 ，点 在 上，则∠ 的度数是( )
A.65 B.115 C.130 D.135
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第 24 章圆
5.如图，已知⊙ 的直径为 8， ， ， 三点在⊙ 上，且∠ = 60 ，则 长为_____.
类型 3 遇 圆周角，构造直径
6.如图，⊙ 经过原点和点 (4,0)， 是⊙ 的一条弦，∠ = 30 ，则点 的坐标为( )
A.(2,0) B. 3 4(0, √3) C.(0, √3) D.(3,0)
4 3
7.如图，有位同学把直角三角板的直角顶点 放在破损的圆形玻璃的圆弧上，两直角边与圆弧
分别交于点 ， ，量得 = 8 cm， = 6 cm ，他就知道圆形玻璃的半径是___cm .
类型 4 圆上多点，构造圆内接四边形
8.如图，点 ， ， ， ， 都在⊙ 上， 是直径， // ，∠ = 28 ，则∠ 的度数为
( )
A.28 B.56 C.62 D.68
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第 24 章圆
9.如图，点 ， ， ， ， 都是⊙ 上的点， = ，∠ = 128 ，则∠ 的度数为( )
A.128 B.126 C.118 D.116
10.如图，在△ 中， = ，⊙ 经过△ 顶点 ， ，与 ， 分别交于点 ， .
求证： = .
类型 5 有弦的中点时，构造三角形中位线
11.如图， 是⊙ 的直径， ， 是⊙ 上的两个动点（点 ， 不与 ， 重合），在运动过
程中弦 的长度始终保持不变， 是弦 的中点，过点 作 ⊥ 于点 .若 = 6， = 10，
则 的最大值为___，此时 的长度为___.
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第 24 章圆
12.如图，在半径为 5的扇形 中，∠ = 90 ，点 是弧 上的一个动点（不与点 ，
重合）， ⊥ ， ⊥ ，垂足分别为 ， .
（1）当 = 6时，求线段 的长.
（2）在△ 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，
请说明理由.
类型 6 有切线，连圆心与切点，得垂直
13.如图，在Rt△ 中，∠ = 90 ， 为 边上一点，以 为直径的半圆 与 相切于点 .
若 = 3 ， = 3√5，则半圆 的半径为___.
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第 24 章圆
14.如图，四边形 是⊙ 的内接四边形， 是直径， 是 的中点，过点 作⊙ 的切
线 交 的延长线于点 .
（1）求证： ⊥ ；
（2）连接 ，若 = 6， = 8，求 的长.
类型 7 连半径，证垂直，得切线
15.如图，在△ 中， = ，以 为直径的⊙ 与 交于点 ，过 作 ⊥ ，交
的延长线于 ，垂足为 .求证：直线 是⊙ 的切线.
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第 24 章圆
16.如图，以△ 的边 为直径的半圆 分别交 ， 于点 ， ，已知 = ，过点 作
⊥ 于点 .求证： 是半圆 的切线.
类型 8 作垂直，证半径，得切线
17.如图，在Rt△ 中，∠ = 90 ，∠ 的平分线交 于 ，以 为圆心， 长为半
径作⊙ ，求证： 是⊙ 的切线.
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第 24 章圆
类型 9 遇内心，作边的垂线，构造直角三角形
18.如图，点 为△ 的内心，∠ = 60 ，点 ， 分别为 ， 上的点， ≠ ，且
= ，则∠ 的度数是( )
A.120 B.150 C.100 D.无法判断
19.如图，在Rt△ 中，∠ = 90 ， = 8 ， = 6，点 ， 分别是△ 的内心和外心，
则 = ____.
类型 10 构造隐圆
20.如图，在矩形 中， = 6 ， = 4， 是矩形内部一动点，且满足∠ = ∠ ，
则线段 的最小值是___.
21.如图，四边形 中， = = = ，∠ = 15 ，则∠ = ____.
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