第 24 章圆
第 24 章全章提分重点
重点 1 圆的相关性质
（弧、弦、圆心角、圆周角、点和圆的位置关系）
1.如图，在⊙ 中， // ，若∠ = 40 ，则∠ 的度数是( )
A.50 B.30 C.25 D.20
2.如图，△ 与⊙ 交于 ， ， ， ，∠ = 40 ，∠ = 60 ，则∠ 的度数是( )
A.60 B.40 C.80 D.100
3.如图，在⊙ 中， = ，则下列结论：① = ；② = ；③∠ = ∠ ；
④ = ，其中正确的是__________（填序号）.
4.如图， 是半圆 的直径，弦 ， 相交于点 ，∠ = 60 ， 是 的中点，则 = __.
28/40
第 24 章圆
5.如图（1），已知 为⊙ 的直径， 为⊙ 上一点， ⊥ 于 ， 为弧 的中点，连接 ，
分别交 ， 于点 和点 .
（1）求证： = .
（2）如图（2），其他条件不变，若 = ，连接 ，求证： ⊥ .
重点 2 垂径定理及其推论
6.如图， 是⊙ 的直径， 是非直径的弦， 与 相交于点 ，则下列条件中不能得到
⊥ 的是( )
A. = B. = C. = D. =
7.已知⊙ 的半径为 5， 是⊙ 的弦，点 在弦 上，若 = 2， = 4，则 = ( )
A.√14 B.√15 C.√17 D.3√2
29/40
第 24 章圆
8.如图（1）所示的装饰盘由圆盘和支架组成，它可以看成是如图（2）所示的几何图形.已知 =
= 5 cm， ⊥ ，垂足为点 ， ⊥ ，垂足为点 ， = 16 cm，⊙ 的半径 = 10 cm，
则圆盘到桌面 最近的距离是( )
A.6 cm B.5 cm C.2 cm D.1 cm
9.如图，⊙ 的直径 = 12，弦 ⊥ 于点 ，连接 ，若 = ，则 的长是___.
10.如图，已知⊙ 中弦 = 8，点 是 上一动点，连接 ， ，过点 作 ⊥ 于点 ，
⊥ 于点 ，连接 .
（1）若点 运动到 的中点，此时点 到弦 的距离为 2，求⊙ 的半径.
（2）在点 运动过程中，线段 的长是否发生变化？若不变，求出线段 的长；
若改变，请说明理由.
30/40
第 24 章圆
重点 3 切线的性质与判定
11.如图， 是⊙ 的弦，作 ⊥ 交⊙ 的切线 于点 ，交 于点 .已知∠ = 20 ，
则∠ 的度数为( )
A.20 B.30 C.40 D.50
12.已知 是⊙ 的直径， 是⊙ 的切线， 是切点， 与⊙ 交于点 .
（1）如图（1），若∠ = 35 ，连接 ，求∠ 的度数.
（2）如图（2），若 为 的中点，求证：直线 是⊙ 的切线.
31/40
第 24 章圆
13.如图，Rt△ 中，∠ = 90 ，点 在 边上，以 为直径作⊙ 交 的延
长线于点 ， = .
（1）求证： 是⊙ 的切线.
（2）若 = 2， = 2√5，求⊙ 的半径.
重点 4 内心与外心
14.在△ 中，∠ = 30 ， = 3，则△ 的外接圆的半径长为___.
15.如图，在△ 中，∠ = 54 ，点 是△ 的内心，则∠ =_____
16.如图，等腰三角形 内接于⊙ ， = ，点 是△ 的内心，连接 并延长交⊙
于点 ，点 在 的延长线上，满足∠ = ∠ .求证：
（1） 所在的直线经过点 .
（2）点 是 的中点.
32/40
第 24 章圆
重点 5 正多边形与圆
17.如图，已知正六边形 内接于⊙ ，若四边形 的面积为2√3，则⊙ 的半径
等于( )
A.1 B.2 C.√2 D.√3
18.已知⊙ 的半径为 1，则它的内接正三角形的边心距为__.
19.如图，⊙ 是正五边形 的外接圆，点 为 上的一点，则∠ 的度数为____.
重点 6 弧长与扇形面积
20.如图，在 Rt△ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ， = 3，以点 为圆心， 的长为半径
画弧，分别交 ， 于点 ， ，则图中阴影部分的周长是______.
21.如图， ， 是以 为直径的半圆上的两点，连接 ， ， ， ，若 = ，∠ = 30 ，
= 12 ，则图中阴影部分的面积为____.
33/40第 24 章圆
第 24 章全章提分重点
重点 1 圆的相关性质
（弧、弦、圆心角、圆周角、点和圆的位置关系）
1.如图，在⊙ 中， // ，若∠ = 40 ，则∠ 的度数是( )
A.50 B.30 C.25 D.20
答案：D
解析：∵ // ，∠ = 40 ，∴ ∠ = ∠ = 40 ，
1
∴ ∠ = ∠ = 20 ，故选 D.
2
2.如图，△ 与⊙ 交于 ， ， ， ，∠ = 40 ，∠ = 60 ，则∠ 的度数是( )
A.60 B.40 C.80 D.100
答案：C
解析：∵ ∠ + ∠ = 180 ，
∴ ∠ = 180 60 = 120 . ∵ ∠ = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ = 120 40 = 80 .故选 C.
3.如图，在⊙ 中， = ，则下列结论：① = ；② = ；③∠ = ∠ ；
④ = ，其中正确的是__________（填序号）.
40/64
第 24 章圆
答案：①②③④
解析：在⊙ 中， = ，∴ = ，故①正确；∵ = ，
∴ = ，即 = ，故④正确；由④得 = ，故②正确；由
④得∠ = ∠ ，故③正确.故答案为①②③④.
4.如图， 是半圆 的直径，弦 ， 相交于点 ，∠ = 60 ， 是 的中点，则 = __.
1
答案：
2
解析：∵ 是半圆 的直径，∴ ∠ = 90 . ∵ ∠ = 60 ，
∴ ∠ = ∠ = 60 ，∴ ∠ = 90 ∠ = 30 . ∵ 是 的中点，
∴ = ，∴ ∠ = ∠ = 30 ，∴ ∠ = ∠ + ∠ = 60 ，
1 1∴ ∠ = 90 ∠ = 30 ， ∴ = .故答案为 .
2 2
5.如图（1），已知 为⊙ 的直径， 为⊙ 上一点， ⊥ 于 ， 为弧 的中点，连接 ，
分别交 ， 于点 和点 .
（1）求证： = .
证明：连接 ，如图（1）.∵AB 为⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 . ∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 . ∵
为弧 的中点，∴ = ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ = .
41/64
第 24 章圆
（2）如图（2），其他条件不变，若 = ，连接 ，求证： ⊥ .
解：连接 ， ，如图（2）.∵∠CFG=∠CGF，∴ 180 ∠ = 180 ∠ ，∴ ∠ = ∠ .
又∵ = ， = ，∴△ ≌△ (SAS)，∴ = ，∴ = . ∵ = ，
∴ = ，∴ ∠ = ∠ ，∴ = . ∵ = ，∴ ⊥ .
重点 2 垂径定理及其推论
6.如图， 是⊙ 的直径， 是非直径的弦， 与 相交于点 ，则下列条件中不能得到
⊥ 的是( )
A. = B. = C. = D. =
答案：B
解析：A 选项，∵ = ， 是⊙ 的直径， 是非直径的弦，∴ ⊥ ，故 A 不符
合题意；B 选项，根据 = 无法判断 ⊥ ，故 B 符合题意；C 选项，∵ = ，
是⊙ 的直径， 是非直径的弦，∴ ⊥ ，故 C 不符合题意；D 选项，∵ = ， 是
⊙ 的直径， 是非直径的弦，∴ ⊥ ，故 D 不符合题意.故选 B.
7.已知⊙ 的半径为 5， 是⊙ 的弦，点 在弦 上，若 = 2， = 4，则 = ( )
42/64
第 24 章圆
A.√14 B.√15 C.√17 D.3√2
答案：C
解析：如图，
过点 作 ⊥ 于点 ，连接 ，则 = 5. ∵ = 2， = 4，∴ = + = 6. ∵ ⊥
，∴ = = 3，∴ = = 1.在Rt△ 中，根据勾股定理得 2 = 2
2 = 52 32 = 16.在Rt△ 中，根据勾股定理得 = √ 2 + 2 = √16 + 1 = √17 ，
故选 C.
8.如图（1）所示的装饰盘由圆盘和支架组成，它可以看成是如图（2）所示的几何图形.已知 =
= 5 cm， ⊥ ，垂足为点 ， ⊥ ，垂足为点 ， = 16 cm，⊙ 的半径 = 10 cm，
则圆盘到桌面 最近的距离是( )
A.6 cm B.5 cm C.2 cm D.1 cm
答案：D
解析：如图，
连接 ， ，过点 作 ⊥ 于点 ，交 于点 ，交⊙ 于点 . ∵ ⊥ ， ⊥ ，
∴ // . ∵ = ，∴ 四边形 是平行四边形.∵ ∠ = 90 ，∴ 四边形 是矩
形，∴ // ， = = 16 cm.∵ ⊥ ，∴ ⊥ ，
∴ = = 8 cm，∴ = √ 2 2 = √102 82 = 6(cm) ，
43/64
第 24 章圆
∴ = = 10 6 = 4(cm). ∵ = = = 5 cm ，
∴ = = 5 4 = 1(cm)，∴ 圆盘到桌面 最近的距离是1 cm ，故选 D.
9.如图，⊙ 的直径 = 12，弦 ⊥ 于点 ，连接 ，若 = ，则 的长是___.
答案：3
解析：连接 ， ， ，如图.∵ = 12 ，
∴ = 6. ∵ ⊥ ，∴ = ，∴ 垂直平分 ，
∴ = .又∵ = ，∴△ 为等边三角形，
∴ ∠ = 60 ，∴ ∠ = ∠ = 60 .又∵ = ，
1
∴△ 为等边三角形.∵ ⊥ ，∴ = = = 3 .故答案为 3.
2
10.如图，已知⊙ 中弦 = 8，点 是 上一动点，连接 ， ，过点 作 ⊥ 于点 ，
⊥ 于点 ，连接 .
（1）若点 运动到 的中点，此时点 到弦 的距离为 2，求⊙ 的半径.
44/64
第 24 章圆
解：如图， 连接 ， ， 交 于点 .设⊙ 的半径为 .
1
∵ 点 是 的中点，∴ ⊥ ， = = = 4 .由题意得 = 2，则 = 2.在
2
Rt△ 中， 2 = 2 + 2 ，即 2 = ( 2)2 + 42，解得 = 5，即⊙ 的半径为 5.
（2）在点 运动过程中，线段 的长是否发生变化？若不变，求出线段 的长；
若改变，请说明理由.
解：线段 的长不变.∵ ⊥ ， = ，∴ = ，同理可得 = ，
1
∴ 是△ 的中位线，∴ = = 4 .
2
重点 3 切线的性质与判定
11.如图， 是⊙ 的弦，作 ⊥ 交⊙ 的切线 于点 ，交 于点 .已知∠ = 20 ，
则∠ 的度数为( )
A.20 B.30 C.40 D.50
答案：C
解析：
连接 ，如图.∵ 是⊙ 的切线，∴ ∠ = 90 . ∵ = ，∴ ∠ = ∠ = 20 ，
∴ ∠ = 70 . ∵ ⊥ ,∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ = 70 ，∴ ∠ = 40 ，故选 C.
12.已知 是⊙ 的直径， 是⊙ 的切线， 是切点， 与⊙ 交于点 .
45/64
第 24 章圆
（1）如图（1），若∠ = 35 ，连接 ，求∠ 的度数.
解：∵ 是⊙ 的切线，∴ ⊥ ，
∴ ∠ = 90 . ∵ ∠ = 35 ，∴ ∠ = 55 . ∵ = ，
∴ ∠ = ∠ = 55 ，∴ ∠ = 180 55 55 = 70 .
（2）如图（2），若 为 的中点，求证：直线 是⊙ 的切线.
证明：如图，连接 ， ， . ∵ 是直径，∴ ∠ = ∠ = 90 . ∵ 为 的中点，∴ =
，∴ = = . ∵ = ， = ，∴△ ≌△ (SSS)，∴ ∠ = ∠ =
90 ，∴ ⊥ .又∵ 点 在⊙ 上，∴ 是⊙ 的切线.
13.如图，Rt△ 中，∠ = 90 ，点 在 边上，以 为直径作⊙ 交 的延
长线于点 ， = .
（1）求证： 是⊙ 的切线.
证明：如图，连接 . ∵ ∠ = 90 ，∴ ∠1 + ∠5 = 90 . ∵ = ，∴ ∠1 = ∠2. ∵ = ，
∴ ∠3 = ∠4.又∵ ∠4 = ∠5，∴ ∠3 = ∠5，∴ ∠2 + ∠3 = 90 ，即∠ = 90 ，∴ ⊥ .又∵
是⊙ 的半径，∴ 是⊙ 的切线.
46/64
第 24 章圆
（2）若 = 2， = 2√5，求⊙ 的半径.
解：在Rt△ 中，∠ = 90 ， = 2， = 2√5，∴ = = 4 .设⊙ 的半径为 ，
则 = = ， = + 2.在Rt△ 中，∠ = 90 ，∴ 2 + 2 = 2，∴ 2 + 42 =
( + 2)2，解得 = 3，∴⊙ 的半径为 3.
重点 4 内心与外心
14.△ 中，∠ = 30 ， = 3，则△ 的外接圆的半径长为___.
答案：3
解析：如图，设△ 的外接圆为⊙ ，连接 ， . ∵ ∠ = 30 ，∴ ∠ = 2∠ = 60 . ∵
= ，∴△ 是等边三角形，∴ = = 3，∴△ 的外接圆的半径长为 3.故答
案为 3.
15.如图，在△ 中，∠ = 54 ，点 是△ 的内心，则∠ =_____
答案：117
解析：∵ ∠ = 54 ，∴ ∠ + ∠ = 180 ∠ = 126 . ∵ 点 是△ 的内心，∴ ∠ +
1
∠ = (∠ + ∠ ) = 63 ，∴ ∠ = 180 63 = 117 .故答案为 117.
2
16.如图，等腰三角形 内接于⊙ ， = ，点 是△ 的内心，连接 并延长交⊙
47/64
第 24 章圆
于点 ，点 在 的延长线上，满足∠ = ∠ .求证：
（1） 所在的直线经过点 .
证明：如图， 连接 ， ， ， . ∵ = ， = ， = ，
∴△ ≌△ (SSS) ，∴ ∠ = ∠ ，∴ 平分∠ . ∵ 点 是△ 的内心，∴ 平
分∠ ，∴ 与 在同一条直线上，∴ 所在的直线经过点 .
（2）点 是 的中点.
解：如图，连接 ，则 = ，∴ ∠ = ∠ ，
1 1
∴ 2∠ + ∠ = 180 ，∴ ∠ + ∠ = 90 . ∵ ∠ = ∠ ，
2 2
∴ ∠ + ∠ = 90 . ∵ 点 是△ 的内心，∴ ∠ = ∠ .又
∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ = ∠ . ∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ + ∠ = 90 .由（1）知 平分∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ ，
∴ = . ∵ ∠ + ∠ = 90 ，∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ，∴ = ，∴ 点 是 的中点.
重点 5 正多边形与圆
17.如图，已知正六边形 内接于⊙ ，若四边形 的面积为2√3，则⊙ 的半径
等于( )
48/64
第 24 章圆
A.1 B.2 C.√2 D.√3
答案：B
解析：
如图，连接 ， 交于点 . ∵ 正六边形 内接于⊙ ，
∴ ∠ = ∠ = 60 . ∵ = = ，∴△ ，△ 均为等边三角形，
∴ = = = = ，∴ 四边形 是菱形，∴ ⊥ ， = ，
√3 1
∴ 易得 = ，∴ = √3 = √3 . ∵ = 2√3 ，
2 2
∴ √3 = 4√3，∴ 2 = 4,解得 = 2（负值舍去），∴⊙ 的半径为 2.故选 B.
18.已知⊙ 的半径为 1，则它的内接正三角形的边心距为__.
1
答案：
2
解析：如图所示，△ 为⊙ 的内接正三角形，连接 ， ，作 ⊥ 于 ，则∠ =
90
1 1 1
. ∵ ∠ = × 360 = 120 ， = = 1 ，∴ ∠ = ∠ = 30 ，∴ = = ，
3 2 2
1
故答案为 .
2
19.如图，⊙ 是正五边形 的外接圆，点 为 上的一点，则∠ 的度数为____.
49/64
第 24 章圆
答案：72
解析：如图，连接 ， . ∵ 多边形 是正五边形，
360 1
∴ ∠ = × 2 = 144 ，∴ ∠ = ∠ = 72 ，故答案为72 .
5 2
重点 6 弧长与扇形面积
20.如图，在 Rt△ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ， = 3，以点 为圆心， 的长为半径
画弧，分别交 ， 于点 ， ，则图中阴影部分的周长是______.
答案：3 + π
解析：如图，连接 .
在Rt△ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ，∴ ∠ = 60 . ∵ = ，∴△ 是等边三角形，
60π×3
∴ ∠ = 60 ， = = 3，∴ 弧 的长度为 = π ，∴ 图中阴影部分的周长是3 + π .
180
故答案为3 + π .
21.如图， ， 是以 为直径的半圆上的两点，连接 ， ， ， ，若 = ，∠ = 30 ，
= 12 ，则图中阴影部分的面积为____.
50/64
第 24 章圆
答案：6π
解析：如图，连接 ， ， 交 于点 ，过点 作 ⊥ 于点 ，则 = = .
∵ 为直径，∴ ∠ = 90 . ∵ ∠ = 30 ， = 12 ，
1
∴ = = = = 6，∠ = 2∠ = 60 . ∵ = ，∴ = .又
2
1
∵ 为半圆，∴ ∠ = ∠ = (180 ∠ ) = 60 . ∵ = = ，
2
1
∴ ∠ = ∠ = (180 ∠ ) = 30 ，△ 为等边三角形，
2
∴ = ，∠ = 90 ，∴ ⊥ ，∴ = 2 . ∵ ⊥ ，
1 1 1
∴ = = = = 3.在Rt△ 和Rt△ 中， = = 3 ，
2 2 2
= √ 2 2 = 3√3， = √ 2 2 = 3√3，∴ = 2 = 6√3 ，
60π×62 1 1
∴ 阴影 = 扇形 + △ △ = + × 6 × 3√3 × 3 × 6√3 = 6π . 360 2 2
故答案为6π .
51/64
