【学霸笔记】周测6 单元检测卷(二)（教师版）人教A版(2019)数学必修第一册--高中同步周周测

周测6　单元检测卷(二)
(时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.不等式(x+3)2<1的解集是(　　)
A.{x|x>-2} B.{x|x<-4}
C.{x|-4答案　C
解析　原不等式可化为x2+6x+8<0，解得-42.设a>0，b>0，A=+，B=，则A，B的大小关系是(　　)
A.A≤B B.A>B
C.A答案　B
解析　因为A=+，B=，
所以A2-B2=a+b+2-a-b=2>0，
所以A2>B2，又因为A>0，B>0，所以A>B.
3.若a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A.a2>b2 B.a-b>0
C.|a|>|b| D.a+b>0
答案　B
解析　当a=1，b=-1时，a2=b2，故A错误；根据不等式的性质可知a>b a-b>0，故B正确.当a=1，b=-1时，a>b，但|a|=|b|，故C错误；
当a=1，b=-1时，a>b，但a+b=0，故D错误.
4.若0A.C.a<<答案　C
解析　因为0因为0所以a<所以a<<5.已知不等式ax2+bx-1>0的解集为，则不等式x2-bx-a≥0的解集为(　　)
A.{x|2≤x≤3}
B.{x|-3≤x≤-2}
C.{x|x≤-3或x≥-2}
D.{x|x≤2或x≥3}
答案　C
解析　因为不等式ax2+bx-1>0的解集为，所以a<0，
则方程ax2+bx-1=0的两根分别为-，-，
由根与系数的关系可得
解得
所以不等式x2-bx-a≥0即为x2+5x+6≥0，
解得x≤-3或x≥-2，
因此不等式x2-bx-a≥0的解集为{x|x≤-3或x≥-2}.
6.已知x>0，y>0，且2x+y=1，若≤x+2y恒成立，则实数m的取值范围为(　　)
A.m<1 B.m>
C.m≤1或m≥ D.m<1或m≥
答案　D
解析　由x>0，y>0，得xy>0，
≤x+2y恒成立，
即≤=+恒成立，
又+=(2x+y)=5++≥5+2=9，
当且仅当x=y=时，等号成立，
故≤9，即-9=≤0，
即
解得m<1或m≥.
7.若a，b是正实数，且+=1，则a+b的最小值为(　　)
A. B.
C.1 D.2
答案　A
解析　因为a+b=(5a+5b)
=[(3a+b)+(2a+4b)]
=[(3a+b)+(2a+4b)]
=
≥=，
当且仅当a=，b=时取等号，
所以a+b的最小值为.
8.已知使不等式x2+(a+1)x+a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x-1≤0，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由3x-1≤0得x≤，
因为使不等式x2+(a+1)x+a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x-1≤0，
则不等式x2+(a+1)x+a≤0的解集是的子集，
又由x2+(a+1)x+a≤0得(x+a)(x+1)≤0，
当a=1时，不等式x2+(a+1)x+a≤0的解集为{-1} ，符合题意；
当a<1时，不等式x2+(a+1)x+a≤0的解集为{x|-1≤x≤-a} ，
则-a≤，所以-≤a<1；
当a>1时，不等式x2+(a+1)x+a≤0的解集为{x|-a≤x≤-1} ，符合题意，
故实数a的取值范围为.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知1≤a≤2，3≤b≤5，则(　　)
A.4≤a+b≤7
B.2≤b-a≤3
C.3≤ab≤10
D.≤≤
答案　AC
解析　因为1≤a≤2，3≤b≤5，
所以4≤a+b≤7，-2≤-a≤-1，1≤b-a≤4，
故A正确，B错误；
因为1≤a≤2，3≤b≤5，
所以3≤ab≤10，≤≤，≤≤，故C正确，D错误.
10.已知正数a，b满足(a-1)(b-1)=1，则下列选项正确的是(　　)
A.+=1 B.+2b≥5
C.a+b≥4 D.a2+b2≥8
答案　ACD
解析　对于A，由题可得ab=a+b，即+=1，故A正确；
对于B，由题意知a>1，b>1，+2b=+2(b-1)+2≥2+2，当且仅当时，等号成立，故B不正确；
对于C，a+b=(a+b)=2++≥2+2=4，当且仅当a=b=2时，等号成立，故C正确；
对于D，a2+b2≥≥=8，当且仅当a=b=2时，等号成立，故D正确.
11.已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为{x|x1A.不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为{x|3aB.x1x2+x1+x2<0的解集为
C.x1x2+x1+x2的最小值为-
D.x1+x2+的最小值为
答案　AC
解析　由x2-4ax+3a2<0(a<0)可化为(x-3a)(x-a)<0，所以3a即不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为{x|3a由不等式的解集知方程x2-4ax+3a2=0的两根为x1=3a，x2=a，
所以x1x2=3a2，x1+x2=4a且a<0，
所以x1x2+x1+x2=3a2+4a<0，解得-因为x1x2+x1+x2=3a2+4a=3-≥-，当且仅当a=-时，等号成立，故C正确；
由x1+x2+=4a+<0知，x1+x2+的最小值为不成立，故D错误.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.若命题“ x∈R，4x2-2x+m<0”为假命题，则实数m的取值范围为　　　　.
答案　
解析　因为命题“ x∈R，4x2-2x+m<0”为假命题，
所以“ x∈R，4x2-2x+m≥0”为真命题，即4x2-2x+m≥0恒成立，
所以Δ=(-2)2-4×4m≤0，解得m≥，
故实数m的取值范围为.
13.已知0答案　3
解析　因为0所以0<3-a<3，
+=··[a+(3-a)]
=
≥=3，
当且仅当=，即3-a=2a，即a=1时等号成立.故+的最小值是3.
14.如图所示，学校决定投资12 000元在风雨操场建一长方体形状的体育器材仓库，利用围墙靠墙角(直角)而建节省成本(长方体一条长和一条宽靠墙角而建)，由于要求器材仓库高度恒定，不靠墙的长和宽所在的面的建造材料造价每米100元(不计高度，按长度计算)，顶部材料每平方米造价300元.在预算允许的范围内，仓库占地面积最大能达到　　　　平方米.
答案　36
解析　设仓库不靠墙的长为x米，宽为y米，且x>0，y>0，
则由题意可得100(x+y)+300xy≤12 000 ，整理得(x+y)+3xy≤120，
∵x>0，y>0，∴x+y+3xy≥2+3xy， 故3xy+2≤120，
解得0<≤6，即0∴仓库占地面积最大能达到36平方米.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)解下列不等式：
(1)-x2+3x+18<0；(6分)
(2)≥2.(7分)
解　(1)-x2+3x+18<0可化为x2-3x-18>0，即(x-6)(x+3)>0，解得x<-3或x>6.
所以不等式的解集为{x|x<-3或x>6}.
(2)因为≥2，
所以-2≥0，则≥0，即≥0，故≤0，
所以解得1所以≥2的解集为{x|116.(15分)已知关于x的不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R.求：
(1)实数m的取值范围；(5分)
(2)函数y=m+的最小值.(10分)
解　(1)由题意得Δ=4m2-4(m+2)≤0，
解得-1≤m≤2，
所以实数m的取值范围为{m|-1≤m≤2}.
(2)由(1)知-1≤m≤2，则1≤m+2≤4，
所以函数y=m+=(m+2)+-2≥2-2=4，
当且仅当m+2=，即m=1时等号成立.
所以函数y=m+的最小值为4.
17.(15分)(1)已知a>0，b>0，且a+b=2，求a2+b2-ab的最小值；(7分)
(2)已知a>b>0，d(1)解　a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=4-3ab，
又ab≤=1，
当且仅当a=b=1时等号成立，
所以4-3ab≥4-3=1，
故a2+b2-ab的最小值为1.
(2)证明　因为d所以-d>-c>0，dc>0，
因为a>b>0，所以-ad>-bc>0，
所以bc-ad>0，
所以-=>0，
所以<.
18.(17分)经过长期观测得到，在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的关系为y=(v>0).
(1)若要求在该时间段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？(8分)
(2)该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(9分)
解　(1)由题意得>10，整理得v2-89 v+1 600<0，
即(v-25)(v-64)<0，解得25所以如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.
(2)由题意得y=≤=，
当且仅当v=，即v=40时等号成立，所以ymax=≈11.1(千辆/时).
故当v=40千米/时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.
19.(17分)已知y=mx2+2x+1(m∈R).
(1)若y>0的解集为{x|n(2)求关于x的不等式y<(m+2)x2-mx+m+1的解集.(9分)
解　(1)由题意y>0的解集为{x|n可得1和n是方程mx2+2x+1=0的两实数解，且m<0，
则1+n=-，1×n=，解得m=-3，n=-.
(2)关于x的不等式y<(m+2)x2-mx+m+1，
即mx2+2x+1<(m+2)x2-mx+m+1，
即2x2-(m+2)x+m>0，
即(2x-m)(x-1)>0，
当m=2时，2(x-1)2>0，不等式y<(m+2)x2-mx+m+1的解集为{x|x≠1}；
当m>2时，不等式y<(m+2)x2-mx+m+1的解集为；
当m<2时，不等式y<(m+2)x2-mx+m+1的解集为.